高中数学苏教版3第一章计数原理 公开课

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．10个人分成甲、乙两组，其中甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)【解析】由题意可知，共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(6,6)＝210种分法．【答案】210种2．某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有________种．【解析】由题意可知，共有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(4,5)＝100(种)．【答案】1003．凸十边形的对角线的条数为________．【解析】Ceq\o\al(2,10)－10＝35(条)．【答案】35条4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有________个．【解析】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以交点有Ceq\o\al(4,9)＝126(个)．【答案】1265．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．【解析】6人中选4人的方案有Ceq\o\al(4,6)＝15种，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种．【答案】14种6．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有________对．【解析】3(Ceq\o\al(4,6)－3)＝36(对)．【答案】367．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________．【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选2个位置，使对应数字相同，其他2个不同，有Ceq\o\al(2,4)＝6个信息符合．第二类：与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选1个位置，使对应数字相同，其他3个不同，有Ceq\o\al(1,4)＝4个信息符合．第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个对应位置上的数字都不同，有Ceq\o\al(0,4)＝1个信息符合．由分类计数原理知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6＋4＋1＝11.【答案】118．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种.【导学号：29440016】【解析】6位游客选2人去A风景区，有Ceq\o\al(2,6)种，余下4位游客选2人去B风景区，有Ceq\o\al(2,4)种，余下2人去C，D风景区，有Aeq\o\al(2,2)种，所以分配方案共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝180(种)．【答案】180二、解答题9．α，β是两个平行平面，在α内取四个点，在β内取五个点．(1)这些点最多能确定几条直线，几个平面？(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？【解】(1)在9个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定直线才能达到最多，此时，最多能确定直线Ceq\o\al(2,9)＝36条．在此条件下，只有两直线平行时，所确定的平面才最多．又因为三个不共线的点确定一个平面，故最多可确定Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋2＝72个平面．(2)同理，在9个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所作三棱锥才能达到最多．此时最多能作Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)＝120个三棱锥．10．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．【解】(1)每个小球都有4种方法，根据分步计数原理，共有46＝4096种不同放法．(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,4)＝1560(种)不同放法．(3)法一按3,1,1,1放入有Ceq\o\al(1,4)种方法，按2,2,1,1，放入有Ceq\o\al(2,4)种方法，共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝10(种)不同放法．法二(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四份，共有Ceq\o\al(3,5)＝10(种)不同放法．能力提升]1．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法有________种．【解析】最高的同学只能站在中间，它别无选择；从剩下的6名同学中任选3名，有Ceq\o\al(3,6)种不同的方法，他们由高到低的排列次序唯一；剩下的3名同学由高到低的排列次序也唯一．∴不同的排法共有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)＝20(种)．【答案】202．(2023·泰州高二检测)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有________种.【导学号：29440017】【解析】1,2,3，…，9中奇数有1,3,5,7,9，偶数有2,4,6,8.若取出的4个不同数的和为奇数，则有以下几种可能．(1)取出3个偶数和1个奇数，共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＝20(种)．(2)取出3个奇数和1个偶数，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,4)＝40(种)．故共有20＋40＝60种不同的取法．【答案】603．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”【解析】由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M＝{0}，N＝{－1，1}．当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从N中取，共有Ceq\o\al(2,5)×23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从N中取，共有Ceq\o\al(3,5)×22种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从N中取，共有Ceq\o\al(4,5)×2种方法．故总共有Ceq\o\al(2,5)×23＋Ceq\o\al(3,5)×22＋Ceq\o\al(4,5)×2＝130种方法，即满足题意的元素个数为130.【答案】130个4．将1,2,3，…，9这9个数字填在如图1­3­1所示的九个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大．当3,4固定在图中位置时，所填写空格的方法共有多少种？34图1­3­1【解】由