高中数学人教A版2第一章导数及其应用 课时跟踪检测（八）生活中的优化问题举例

课时跟踪检测（八）生活中的优化问题举例层级一学业水平达标1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8 \f(20,3)C．－1 D．－8解析：选C瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.2．把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()\f(3\r(3),2)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2解析：选D设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，则S(x)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12－x,3)))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x2,9)－\f(8x,3)＋16))，∴S′(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)x－\f(8,3))).令S′(x)＝0，得x＝6，当x∈(0,6)时，S′(x)＜0，当x∈(6,12)时，S′(x)＞0，∴当x＝6时，S(x)最小．∴S＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,9)×62－\f(8,3)×6＋16))＝2eq\r(3)(cm2)．3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400，,80000x>400，))则总利润最大时，每年生产的产品是()A．100 B．150C．200 D．300解析：选D由题意，总成本为：C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))P′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400，))令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()\r(4V) B．2eq\r(3,V)\r(3,4V) \f(1,2)V解析：选C设底面边长为x，则高为h＝eq\f(4V,\r(3)x2)，∴S表＝3×eq\f(4V,\r(3)x2)×x＋2×eq\f(\r(3),4)x2＝eq\f(4\r(3)V,x)＋eq\f(\r(3),2)x2，∴S表′＝－eq\f(4\r(3)V,x2)＋eq\r(3)x，令S表′＝0，得x＝eq\r(3,4V).经检验知，当x＝eq\r(3,4V)时，S表取得最小值．5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A．R B．2R\f(4,3)R \f(3,4)R解析：选C设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4,3)R.当0<h<eq\f(4R,3)时，V′>0；当eq\f(4R,3)<h<2R时，V′<0.因此当h＝eq\f(4,3)R时，圆锥体积最大．故应选C.6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．总利润L＝－＋2(15－x)＝－＋＋30(x≥0)．令L′＝－＋＝0，得x＝.∴当x＝10时，L有最大值.答案：7．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD＝x，则点C坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，点B坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\f(x2,4)))，∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2,\r(3))(舍)，x2＝eq\f(2,\r(3))，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,\r(3))))时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))，2))时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，当x＝eq\f(2,\r(3))时，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝eq\f(500,\r(x)).总利润y＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200(x>0)，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．答案：259．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去)．当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．10．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝eq\f(3x,4x＋32)(x∈N*)．(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？解：(1)由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．因为次品率p＝eq\f(3x,4x＋32)，当每天生产x件时，有x·eq\f(3x,4x＋32)件次品，有xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))件正品．所以T＝200xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))－100x·eq\f(3x,4x＋32)＝25·eq\f(64x－x2,x＋8)(x∈N*)．(2)T′＝－25·eq\f(x＋32·x－16,x＋82)，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．当0<x≤16时，T′≥0；当x≥16时，T′≤0；所以当x＝16时，T最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利．层级二应试能力达标1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件解析：选Cy′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0.所以当x＝9时，y取得最大值．2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为()A．2πr2 B．πr2C．4πr2 \f(1,2)πr2解析：选A设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则S＝2πr1t＝2πr12eq\r(r2－r\o\al(2,1))＝4πr1eq\r(r2－r\o\al(2,1)).∴S＝4πeq\r(r2r\o\al(2,1)－r\o\al(4,1)).令(r2req\o\al(2,1)－req\o\al(4,1))′＝0得r1＝eq\f(\r(2),2)r.此时S＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)r))2)＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\f(\r(2),2)r＝2πr2.3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为()A．80元 B．85元C．90元 D．95元解析：选B设每件商品定价x元，依题意可得利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝eq\f(170,2)＝85.因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为()\f(R,2)和eq\f(3,2)R \f(\r(5),5)R和eq\f(4\r(5),5)R\f(4,5)R和eq\f(7,5)R D．以上都不对解析：选B设矩形的宽为x，则长为2eq\r(R2－x2)，则l＝2x＋4eq\r(R2－x2)(0<x<R)，l′＝2－eq\f(4x,\r(R2－x2))，令l′＝0，解得x1＝eq\f(\r(5),5)R，x2＝－eq\f(\r(5),5)R(舍去)．当0<x<eq\f(\r(5),5)R时，l′>0，当eq\f(\r(5),5)R<x<R时，l′<0，所以当x＝eq\f(\r(5),5)R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为eq\f(\r(5),5)R，eq\f(4\r(5),5)R.5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝eq\f(400,x)，∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x，令f′(x)＝4－eq\f(1600,x2)＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)，x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小．答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________m时，帐篷的体积最大．解析：设OO1为xm，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.则由题设可得正六棱锥底面边长为eq\r(32－x－12)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)．帐篷的体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)＝eq\f(\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－1＋3))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.所以当x＝2时，V最大．答案：27．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2＋3x))＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2<x≤3时，g′(x)<0，∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．8．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行