高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系 习题课直线与平面垂直

习题课直线与平面垂直一、选择题(每个5分，共30分)1．直线a与直线b垂直，直线b⊥平面α，则直线a与平面α的位置关系是()A．a⊥αB．a∥αC．a⊂αD．a⊂α或a∥α答案：D解析：直线a⊂α或a∥α.2．一点P到平面四边形ABCD四条边的距离相等，则四边形ABCD是()A．某圆的内接四边形B．某圆的外切四边形C．正方形D．任意四边形答案：B解析：作PO⊥面ABCD，∵P到各边的距离都相等，∴O到各边的距离也相等．故四边形应为某圆的外切四边形．3．若一条直线a与平面α内的一条直线b所成的角为30°，则下列说法正确的是()A．直线a与平面α所成的角为30°B．直线a与平面α所成的角大于30°C．直线a与平面α所成的角小于30°D．直线a与平面α所成的角不超过30°答案：D解析：因为直线与平面所成的角为直线与平面内所有直线所成的角的最小角，因此直线a与平面α所成的角不超过30°，故选D.4．关于直线m、n与平面α、β，有下列四个命题：①m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中正确命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③答案：D解析：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n为错误命题，可能出现直线相交的情况；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n为错误命题，可能出现直线相交的情况．在①④的条件下，m、n的位置关系不确定．5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，m∥n，m⊥α，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：对于①，由α∥β，m⊥α，得m⊥β，再由m∥n，得n⊥β，命题①正确；对于②，若m∥α，m∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与m平行，故命题②错误；对于③，因为α∩β＝l，可知l⊂α，又l∥γ，γ∩α＝n，所以l∥n，同理可得l∥m，所以m∥n，命题③正确；对于④，由n⊥α，n⊥β，得α∥β，再由m⊥α，可得m⊥β，命题④正确．综上可知，正确命题的个数为3.6．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，沿MN将四边形MBCN折起，使点B，C分别落在B1，C1处，且二面角B1－MN－A的大小为120°，则B1D与平面AMND所成的角的正切值为()\f(\r(2),5)\f(4,5)\f(\r(3),5)\f(3,5)答案：C解析：过点B1作B1E⊥AB于点E，连接DE.由题意，知∠B1MA为二面角B1－MN－A的平面角，∠B1DE为B1D与平面AMND所成的角．设AB＝2，则MB1＝1，又∠B1MA＝120°，所以∠B1ME＝60°，则ME＝eq\f(1,2).B1E＝eq\f(\r(3),2)，则DE＝eq\r(1＋\f(1,2)2＋22)＝eq\f(5,2)，所以tan∠B1DE＝eq\f(B1E,DE)＝eq\f(\r(3),5)，故选C.二、填空题(每个5分，共15分)7．PA、PB、PC是从点P引出的三条射线，且每两条射线的夹角都为60°，则PC与面PAB所成的角的余弦值为________．答案：eq\f(\r(3),3)解析：如图所示，点O为点C在平面PAB内的射影，则∠CPO为PC与平面PAB所成的角，作OD⊥PA设PD＝1，则PC＝2，OP＝eq\f(2\r(3),3).∴cos∠CPO＝eq\f(PO,PC)＝eq\f(\r(3),3).8．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则DS＝________.答案：9解析：因为直线AB与CD交于点S，所以A，B，C，D四点共面．又平面α∥平面β，所以BD∥AC，△ACS与△BDS相似，所以eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,DS)，即eq\f(8,6)＝eq\f(12,DS)，所以DS＝9.9．如图，底面为正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M，N分别为CC1，BB1的中点，则点N到截面A1BM的距离为________答案：eq\f(\r(2),4)解析：如图，连接B1M.因为N为BB1的中点，所以点N到截面A1BM的距离为B1到截面A1BM的距离的eq\f(1,2).设点B1到截面A1BM的距离为h，因为VB1－A1BM＝VM－A1B1B，所以h＝eq\f(3VM－A1B1B,S△A1BM).因为直三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M为CC1的中点，所以A1B＝eq\r(2)，BM＝A1M＝eq\f(\r(5),2)，点M到平面A1B1B距离为eq\f(\r(3),2)，等腰三角形A1BM中底边A1B上的高为eq\f(\r(3),2)，所以h＝eq\f(3VM－A1B1B,S△A1BM)＝eq\f(3×\f(1,3)×\f(\r(3),2)×\f(1,2)×12,\f(1,2)×\r(2)×\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(2),2)，所以点N到截面A1BM的距离为eq\f(\r(2),4).三、解答题10．(15分)如图，AA1，BB1为圆柱的母线，BC是底面圆的直径，D，E分别是BB1，A1C的中点(1)证明：DE∥平面ABC；(2)证明：A1B1⊥平面A1AC证明：(1)如图，取AA1的中点F，连接DF，EF.∵D，E分别是BB1，A1C的中点，∴DF∥AB，EF∥AC∴DF∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DF∩EF＝F，∴平面DEF∥平面ABC.又DE⊂平面DEF，∴DE∥平面ABC.(2)∵AA1，BB1为圆柱的母线，∴AB∥A1B1.∵AA1垂直于底面圆所在的平面，∴AA1⊥AB.又BC是底面圆的直径，∴AB⊥AC.又AC∩AA1＝A，∴AB⊥平面A1AC又A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面A1AC11．(15分)如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE＝3，DE＝4.(1)求证：平面ADE⊥平面ABCD；(2)求直线BE与平面ABCD所成的角的正弦值．解：(1)∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD.∵CD⊥AD，AE∩AD＝A，AD，AE⊂平面ADE，∴CD⊥平面ADE.又CD⊂平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD.(2)过点E作EH⊥AD于H，连接BH.由(1)，知平面ADE⊥平面ABCD，又平面ADE∩平面ABCD＝AD，∴EH⊥平面ABCD，∴BH为BE在平面ABCD内的射影，∴∠EBH为BE与平面ABCD所成的角．又CD∥AB，∴AB⊥平面ADE，∴AB⊥AE，∴△ABE为直角三角形．又AE＝3，DE＝4，∴AD＝5，∴AB＝5，∴BE＝eq\r(34)，且HE＝eq\f(12,5)，∴sin∠EBH＝eq\f(HE,BE)＝eq\f(6\r(34),85)，即直线BE与平面ABCD所成的角的正弦值为eq\f(6\r(34),85).12.(15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正切值．解：(1)证明：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD.因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD.(2)设平面ABM