高中数学人教A版第二章数列 全国公开课

第二章第1课时基础巩固一、选择题1．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a的值为eq\x(导学号54742466)(C)A．3 B．0C．－1 D．任意实数[解析]S1＝a1＝3＋a，S2－S1＝a2＝32＋a－3－a＝6，S3－S2＝a3＝33＋a－32－a＝18，eq\f(18,6)＝eq\f(6,3＋a)，所以a＝－1.2．若等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5的值为eq\x(导学号54742467)(D)A．21 B．42C．63 D．84[解析]∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21，又∵a1＝3，∴1＋q＋q2＝7，∵an>0，∴q>0，∴q＝2，∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84.3．等比数列{an}中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为eq\x(导学号54742468)(C)A．2 B．－2C．2或－2 D．2或－1[解析]S4＝1，S8＝S4＋q4·S4＝1＋q4＝17∴q＝±2.4．在等比数列{an}中，a1＝a，前n项和为Sn，若数列{an＋1}成等差数列，则Sn等于eq\x(导学号54742469)(C)A．an＋1－a B．n(a＋1)C．na D．(a＋1)n－1[解析]利用常数列a，a，a，…判断，则存在等差数列a＋1，a＋1，a＋1，…或通过下列运算得到：2(aq＋1)＝(a＋1)＋(aq2＋1)，∴q＝1，Sn＝na.5．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是eq\x(导学号54742470)(D)A．7 B．9C．63 D．7或63[解析]由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(21－S10)2＝S10(49－21)，∴S10＝7或63.6．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq\x(导学号54742471)(C)A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)C．eq\f(32,3)(1－4－n) D．eq\f(32,3)(1－2－n)[解析]∵eq\f(a5,a2)＝q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).∴an·an＋1＝4·(eq\f(1,2))n－1·4·(eq\f(1,2))n＝25－2n，故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝eq\f(81－\f(1,4n),1－\f(1,4))＝eq\f(32,3)(1－4－n)．二、填空题7．(2023·湖南理，14)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝3n－\x(导学号54742472)[解析]考查等差数列与等比数列的性质．∵3S1,2S2，S3成等差数列，∴4S2＝3S1＋S3，∴4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3⇒a3＝3a2⇒又∵{an}为等比数列，∴an＝a1qn－1＝3n－1.[方法点拨]条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别．8．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝\x(导学号54742473)[解析]由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a12n－1＝93，,a1·2n－1＝48))⇒2n＝32⇒n＝5.三、解答题9．(2023·福建文，17)等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝\x(导学号54742474)(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．[解析](1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝4，,a1＋3d＋a1＋6d＝15，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝1.))所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n.所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝eq\f(21－210,1－2)＋eq\f(1＋10×10,2)＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.10．(2023·全国卷Ⅲ理，17)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan.其中λ≠\x(导学号54742475)(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S3＝eq\f(31,32)，求λ.[解析](1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝eq\f(1,1－λ)，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(λ,λ－1).因此{an}是首项为eq\f(1,1－λ)，公比为eq\f(λ,λ－1)的等比数列，于是an＝eq\f(1,1－λ)(eq\f(λ,λ－1))n－1.(2)由(1)得Sn＝1－(eq\f(λ,1－λ))n.由S5＝eq\f(31,32)得1－(eq\f(λ,λ－1))5＝eq\f(31,32)，即(eq\f(λ,λ－1))5＝eq\f(1,32).解得λ＝－1.能力提升一、选择题11．设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，则S101的值为eq\x(导学号54742476)(A)A．2 B．200C．－2 D．0[解析]设公比为q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a∴S101＝eq\f(a11－q101,1－q)＝eq\f(2[1－－1101],1＋1)＝2.12．(2023·福建理，8)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于eq\x(导学号54742477)(D)A．6 B．7C．8 D．9[解析]由韦达定理得a＋b＝p，a·b＝q，因为p>0，q>0，则a＞0，b＞0，当a，b，－2适当排序后成等比数列时，－2必为等比中项，故a·b＝(－2)2＝4，故q＝4，b＝eq\f(4,a).当适当排序后成等差数列时，－2必不是等差中项，当a是等差中项时，2a＝eq\f(4,a)－2，解得a＝1，b＝4，；当b是等差中项时，eq\f(8,a)＝a－2，解得a＝4，b＝1，综上所述，a＋b＝p＝5，所以p＋q＝9，选D．13．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝eq\x(导学号54742478)(B)A．eq\f(15,2) B．eq\f(31,4)C．eq\f(33,4) D．eq\f(17,2)[解析]{an}是正数组成的等比数列，∴a3＝eq\r(a2a4)＝1，又S3＝7，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝1,\f(a11－q3,1－q)＝7))，消去a1得，eq\f(q2＋q＋1,q2)＝7，解之得q＝eq\f(1,2)，∴a1＝4，∴S5＝eq\f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝eq\f(31,4).二、填空题14．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝\x(导学号54742479)[解析]若q＝1时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然S6≠4S故q≠1，∴eq\f(a11－q6,1－q)＝4·eq\f(a11－q3,1－q)，∴1＋q3＝4，∴q3＝3.∴a4＝a1q3＝3.15．将正偶数集合{2,4,6,8，…，2n，…}中的数从小到大按第n组有2n个数进行分组如下：eq\o(\s\up7(第一组),\s\do5({2，4}))eq\o(\s\up7(第二组),\s\do5({6，8，10，12}))eq\o(\s\up7(第三组),\s\do5({14，16，18，20，22，24，26，28}))eq\o(\s\up7(…),\s\do5(…))则2023位于第9组.eq\x(导学号54742480)[解析]前n组共有2＋4＋8＋…＋2n＝eq\f(2×2n－1,2－1)＝2n＋1－2个数．由an＝2n＝2023得n＝1009，∴2023为第1009个偶数．∵29＝512,210＝1024，∴前8组共有510个数，前9组共有1022个数，因此2023位于第9组．三、解答题16．(2023·全国卷Ⅰ文，17)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，anbn＋1＋bn＋1＝\x(导学号54742481)(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．[解析](1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列．通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝eq\f(bn,3)，因此数列{bn}是首项为1，公比为eq\f(1,3)的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝eq\f(1－\f(1,3)n,1－\f(1,3))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2×3n－1).17．(2023·安徽文，18)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝\x(导学号54742482)(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝eq\f(an＋1,SnSn＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析](1)∵{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a4＝9，,a1<a4，,a1a4＝8，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a4＝8，))⇒q3＝eq\f(a4,a1)＝8⇒q＝2⇒an＝a1qn－1＝2n－1.(2)由(1)可知S