高中数学北师大版3第二章概率（省一等奖）

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．设随机变量ξ～N(2,2)，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝()A．1 B．2\f(1,2) D．4【解析】∵ξ～N(2,2)，∴Dξ＝2.∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝eq\f(1,22)Dξ＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).【答案】C2．下列函数是正态密度函数的是()A．f(x)＝eq\f(1,\r(2σπ))，μ，σ(σ>0)都是实数B．f(x)＝eq\f(\r(2π),2π)C．f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))D．f(x)＝eq\f(1,\r(2π))【解析】对于A，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A错误；对于B，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B正确；对于C，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝eq\r(2)，故C不正确；对于D，指数部分缺少一个负号，故D不正确．【答案】B3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝6，则P(X＞4)等于()A．8 B．7C．6 D．5【解析】由于X服从正态分布N(3,1)，故正态分布曲线的对称轴为x＝3，所以P(X＞4)＝P(X＜2)，故P(X＞4)＝eq\f(1－P2≤X≤4,2)＝7.【答案】B4．某厂生产的零件外直径X～N,5)，单位：mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为()A．上、下午生产情况均为正常B．上、下午生产情况均为异常C．上午生产情况正常，下午生产情况异常D．上午生产情况异常，下午生产情况正常【解析】根据3σ原则，在(8－3×,8＋3×]即,]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．【答案】C5．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0<X<1)等于()A．5 B．C． D．【解析】由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X～N(3,1)，∴P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝P(0<X<6)＝；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(1<X<5)＝，P(0<X<6)－P(1<X<5)＝2P(0<X<1)＝.∴P(0<X<1)＝5.【答案】A二、填空题6．已知正态分布落在区间，＋∞)内的概率为，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．【解析】由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间，＋∞)内的概率为，得μ＝.【答案】7．已知正态分布总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值为________．【解析】区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以均值μ为1.【答案】18．(2023·哈尔滨高二检测)如果随机变量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3＜ξ≤－1)＝，则P(ξ≥1)＝________.【解析】P(ξ≥1)＝P(ξ≤－3)＝－P(－3＜ξ≤－1)＝－＝.【答案】三、解答题9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2]内取值的概率为，求：(1)X在(0,4]内取值的概率；(2)P(X>4)．【解】(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如图．因为P(0<X≤2)＝P(2<X≤4)，所以P(0<X≤4)＝2P(0<X≤2)＝2×＝.(2)P(X>4)＝eq\f(1,2)1－P(0<X≤4)]＝eq\f(1,2)(1－＝.10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？【解】由于X～N(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．能力提升]1．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c等于()A．1 B．2C．3 D．4【解析】∵ξ～N(2,9)，∴P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．又∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，∴3－c＝c－1，∴c＝2.【答案】B2．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内()【导学号：62690049】A．(90,110) B．(95,125)C．(100,120) D．(105,115)【解析】P(100＜X＜120)＝P(110－2×5＜X＜110＋2×5)＝%，又%×60＝%≈57%.故选C.【答案】C3．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈R.给出以下四个命题：①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数；③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)【解析】画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如图：由图可得：①图象关于x＝μ对称，故①正确；②随着x的增加，F(x)＝P(ξ<x)也随着增加，故②正确；③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10；④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④.【答案】①②④4．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图2­6­5(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数eq\x\to(x)和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P<Z<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间,的产品件数，利用①的结果，求EX.附：eq\r(150)≈.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝.【解】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))和样本方差s2分别为eq\o(x,\s\up6(－))＝170×＋180×＋190×＋200×＋210×＋220