高中数学人教A版5证明不等式的基本方法 综合法与分析法

第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法A级基础巩固一、选择题1．若a＞0，b＞0，则必有()\f(b2,a)＞2b－a \f(b2,a)＜2b－a\f(b2,a)≥2b－a \f(b2,a)≤2b－a解析：因为a2＋b2≥2ab，a＞0，所以a＋eq\f(b2,a)≥2b，即eq\f(b2,a)≥2b－a.答案：C2．设x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则()A．x＋y≥2(eq\r(2)＋1) B．xy≤eq\r(2)＋1C．x＋y≤2(eq\r(2)＋1)2 D．xy≥2(eq\r(2)＋1)解析：因为x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，所以(x＋y)＋1＝xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2).所以(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，解得x＋y≥2(eq\r(2)＋1)．答案：A3．若a＞b＞0，下列各式中恒成立的是()\f(2a＋b,a＋2b)＞eq\f(a,b) \f(b2＋1,a2＋1)＞eq\f(b2,a2)C．a＋eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b) D．aa＞ab解析：因为a＞b＞0，所以a2＞b2，所以eq\f(b2＋1,a2＋1)＞eq\f(b2,a2).答案：B4．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是()A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(3)D．abc(a＋b＋c)≤eq\f(1,3)解析：因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加，得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，即a2＋b2＋c2又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，故选项B成立．答案：B5．已知a，b∈R，则“a＋b＞2，ab＞1”是“a＞1，b＞1A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＞1，b＞1时，两式相加得a＋b＞2，两式相乘得ab＞1.反之，当a＋b＞2，ab＞1时，a＞1，b＞1不一定成立．如：a＝eq\f(1,2)，b＝4也满足a＋b＞2，ab＝2＞1，但不满足a＞1，b＞1.答案：B二、填空题6．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，则实数a，b应满足的条件是________．解析：aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)⇔(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))2＞0⇔a≥0，b≥0，且a≠b.答案：a≥0，b≥0，且a≠b7．若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，已知下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2.其中正确的不等式的序号为________．解析：因为eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，所以b＜a＜0，故②③错．答案：①④8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，则eq\f(a＋b,c)的取值范围是________．解析：因为a2＋b2＝c2，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2所以eq\f(a＋b,c)≤eq\r(2)，又因为a＋b＞c，所以eq\f(a＋b,c)＞1.所以eq\f(a＋b,c)的取值范围是(1，eq\r(2)]．答案：(1，eq\r(2)]三、解答题9．求证：eq\r(7)＜2eq\r(5)－eq\r(3).证明：21＜25⇒eq\r(21)＜5⇒2eq\r(21)＜10⇒10＋2eq\r(21)＜20⇒(eq\r(7)＋eq\r(3))2＜(2eq\r(5))2⇒eq\r(7)＋eq\r(3)＜2eq\r(5)⇒eq\r(7)＜2eq\r(5)－eq\r(3).所以原不等式成立．10．已知：a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1＜a＋b＜eq\f(4,3).证明：因为a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2.所以a2＋ab＋b2＝a＋b.所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b.所以a＋b＞1.要证a＋b＜eq\f(4,3)，只需证3(a＋b)＜4，只需证3(a＋b)2＜4(a＋b)，即3(a2＋2ab＋b2)＜4(a2＋ab＋b2)，只需证a2－2ab＋b2＞0，只需证(a－b)2＞0，而a，b为不相等的正数，所以(a－b)2＞0一定成立．故a＋b＜eq\f(4,3)成立．综上所述，1＜a＋b＜eq\f(4,3).B级能力提升1．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是()A．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4B．a3＋b3≥2ab2C．a2＋b2＋2≥2a＋2\r(|a－b|)≥eq\r(a)－eq\r(b)解析：因为a＞0，b＞0，所以(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥2eq\r(ab)·2eq\r(\f(1,ab))≥4，当且仅当a＝b时等号成立，故A恒成立；a3＋b3≥2ab2，取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，则B不成立；a2＋b2＋2－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故C若a＜b，则eq\r(|a－b|)≥eq\r(a)－eq\r(b)恒成立；若a≥b，则(eq\r(|a－b|))2－(eq\r(a)－eq\r(b))2＝2(eq\r(ab)－b)≥0，所以eq\r(|a－b|)≥eq\r(a)－eq\r(b)，故D恒成立．答案：B2．若n为正整数，则2eq\r(n＋1)与2eq\r(n)＋eq\f(1,\r(n))的大小关系是________．解析：要比较2eq\r(n＋1)与2eq\r(n)＋eq\f(1,\r(n))的大小，只需比较(2eq\r(n＋1))2与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(n)＋\f(1,\r(n))))eq\s\up12(2)的大小，即4n＋4与4n＋4＋eq\f(1,n)的大小．因为n为正整数，所以4n＋4＋eq\f(1,n)＞4n＋4.所以2eq\r(n＋1)＜2eq\r(n)＋eq\f(1,\r(n)).答案：2eq\r(n＋1)＜2eq\r(n)＋eq\f(1,\r(n))3．(2023·课标全国Ⅱ卷)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)；(2)eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(c)＋eq\r(d))2＝c＋d＋2eq\r(cd)，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(eq\r(a)＋eq\r(b))2>(eq\r(c)＋eq\r(d))2.因此eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d).(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，由(1)得eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d).②若eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)，则(eq\r(a)＋eq\r(b))2>(e