第三章叠加方法与网络函数

第三章叠加方法与网络函数教学内容§3-1线性电路的比例性网络函数§3-2叠加原理§3-3叠加方法与功率计算§3-4数模转换器的基本原理1、了解线性电路的比例性和网络函数的概念；

2、掌握叠加原理的应用;3、掌握叠加方法与功率计算。教学目的§3－1线性电路的比例性网络函数

由线性元件及独立电源组成的电路为线性电路。独立电源是非线性二端元件（其伏安特性曲线不是过原点的直线！），但它们是电路的输入，对电路起着激励的作用。也就是说，电压源的电压、电流源的电流与所有其他元件的电压、电流不同，后者只是激励引起的响应。因此，尽管电源是非线性的，但只要电路的其他部分是由线性元件组成，响应与激励之间将存在着线性关系。例如，如图所示为一单激励（输入）的线性电路，若以R2的电流i2为响应（输出），则可得：

由于R1、R2、R3均为常数，这是一个线性关系，可表示为：i2

＝KuS，显然，若us增大m倍，i2也随之增大m倍。这样的性质称为“齐次性”或“比例性”，它是“线性”的一个表现。该电路中的其他任何一个电压或电流对激励uS也都存在类似的线性关系。

对单一激励的线性、时不变电路，指定响应对激励之比定义为网络函数，用H表示，即H=响应/激励。激励可以是电压源电压或电流源电流，响应可以是任一支路的电压或电流。对电阻电路，H为一实数。策动点函数：响应和激励在同一端口。转移函数：响应和激励不在同一端口。

由于响应和激励都可以是电压或电流，因而策动点函数和转移函数又可具体地分6种情况：

响应

激励名称策动点函数电流电压策动点电导Gi

电压电流策动点电阻Ri转移函数电流电压转移电导GT

电压电流转移电阻RT

电流电流转移电流比Hi

电压电压转移电压比Hu在输入uS作用下的几个网络函数为：输出为电流i2时的转移电导：输出为电流i3时的转移电导：输出为电流i1时的策动点电导：输出为电压u2时的转移电压之比：输出为电压u1时的转移电压之比：

结论：对任何线性电阻电路，网络函数都是实数。

H（实数）激励（电压或电流）响应（电压或电流）

实数H与组成电路的元件（电阻、受控源）的参数和连接方式有关。由于策动点电阻和电导互为倒数，因此，在计算策动点函数时可任意选用电压或电流作为激励。但在计算转移函数时，必须明确激励量和响应量，不可搞错。在明确上述前提后，便可运用前两章所学方法求得所需的网络函数。响应与激励的关系可用方框图来表示：例3-1电桥电路如图所示，若输入电压为us，试求转移电压比uo/us。解：uo=u3-u4故得：由分压关系可得：讨论：

当R2R3=R1R4时，H=0。虽有输入，而无输出，称为平衡电桥。当R2R3≠R1R4时，H≠0，均小于1，即输出电压不能大于输入电压。（当线性正电阻电路不含受控源时，这是一个一般规律。）例3-2

求梯形网络输出电压uo对输入电压us的函数关系。解：由于已知uo与us的关系可表为uo=Hus，本题的任务在于求出常数H，又由于上述关系对任何一对uo、us值均成立，可以任选一uo值，求出相应的us值，即可解决问题。

设uo=1V，运用欧姆定律、KCL、KVL得：分配图为

由此可见，当uo=1V时，us=3V，故知H=1/3

所以转移电压比为uo/us=1/3

网络函数H可认为是表征由输入端至某一指定输出端之间电路“整体”性质的一个参数，用以代替原来所需众多的元件参数。（这类参数称为副参数，元件参数称为原参数。）

作业：P1083-4§3－2叠加原理

由独立电源和线性电阻元件(线性电阻、线性受控源等)组成的电路，称为线性电阻电路。描述线性电阻电路各电压电流关系的各种电路方程，是以电压电流为变量的一组线性代数方程。作为电路输入或激励的独立电源，其uS和iS总是作为与电压电流变量无关的量出现在这些方程的右边。求解这些电路方程得到的各支路电流和电压(称为输出或响应)是独立电源uS和iS的线性函数。电路响应与激励之间的这种线性关系称为叠加性，它是线性电路的一种基本性质。

现以图(a)所示双输入电路为例加以说明。

列出图(a)电路的网孔方程：)(S3S32121==++iiuiRiRR

求解上式可得到电阻R1的电流i1和电阻R2上电压u2

iiiRRRR1"1'1S212S211+=+-++=uRi

其中：)(S3S32121==++iiuiRiRR+电流i1的叠加：+电压u2的叠加：

从上可见:电流i1和电压u2均由两项相加而成。第一项i1

和u2是该电路在独立电流源开路(iS=0)时，由独立电压源单独作用所产生的i1和u2。第二项i1和u2是该电路在独立电压源短路(uS=0)时，由独立电流源单独作用所产生的i1和u2。

以上叙述表明，由两个独立电源共同产生的响应，等于每个独立电源单独作用时产生的响应之和。线性电路的这种叠加性称为叠加原理。

叠加原理陈述为：由全部独立电源在线性电阻电路中产生的任一电压或电流，等于每一个独立电源单独作用所产生的相应电压或电流的代数和。

iSiSimS

S2211S2S211nnmKKKuHuHuHy++...++++...+=

式中uSk(k=1,2,…,m)表示电路中独立电压源的电压;

iSk(k=1,2,…,n)表示电路中独立电流源的电流。

Hk(k=1,2,…,m)和Kk(k=1,2,…,n)是常量，它们取决于电路的参数和输出变量的选择，而与独立电源无关。

也就是说，只要电路存在惟一解，线性电阻电路中的任一结点电压、支路电压或支路电流均可表示为以下形式：

在计算某一独立电源单独作用所产生的电压或电流时，应将电路中其它独立电压源用短路(uS=0)代替，而其它独立电流源用开路(iS=0)代替。

上式中的每一项y(uSk)=HkuSk或y(iSk)=KkiSk是该独立电源单独作用，其余独立电源全部置零时的响应。这表明y(uSk)与输入uSk或y(iSk)与输入iSk之间存在正比例关系，这是线性电路具有“齐次性”的一种体现。

上式中还表明在线性电阻电路中，由几个独立电源共同作用产生的响应，等于每个独立电源单独作用产生的响应之和，这是线性电路具有可“叠加性”的一种体现。利用叠加原理反映的线性电路的这种基本性质，可以简化线性电路的分析和计算，在以后的学习中经常用到。例3-3

利用叠加原理求电路中的电压uo

解：根据下图运用分流公式，可求得例3-3

利用叠加原理求电路中的电压uo

解：根据下图运用分流公式，可求得例3-3

利用叠加原理求电路中的电压uo

解：根据下图运用分压公式，可求得例3-3

利用叠加原理求电路中的电压uo

解：由叠加原理，可得

uo=uo1+uo2+uo3···例3-4

已知r=2Ω，求ix。解：对含受控源的电路应注意：叠加原理中说的只是独立电源的单独作用，受控源的电压或电流不是电路的输入，不能单独作用。受控源应和电阻一样，保留在电路中。等效电路如下图。10V电压源单独作用时，受控源电压的数值为2i’x。由此可得以支路电流表示的KVL方程为：-10＋3i’x

＋2i’x

＝0解得i’x

＝2A3A电流源单独作用时，受控源的电压为2i’’x，电流为i’’。由两类约束关系求解i’’x如下：i’’-i’’x＝3（KCL）

2i’’x

＋i’’＋2i’’x

＝0（KVL及VCR）解得i’’x＝-0.6A电源同时作用ix＝i’x

＋i’’x

＝（2-0.6）A＝1.4A例3-6

如图所示的电路内部结构不知，但只含线性电阻，在激励us和is作用下，其实验数据为：当us=1V，is=1A时，u=0；当us=10V，is=0时，u=1V；求当us=0，is=10A时，u为多少？解：u=H1us+H2is此式在任何us和is时均成立，代入已知条件得

H1+H2=0，

10H1=1解得：H1=0.1,H2=-0.1Ω故知:u=0.1us-0.1is当us=0，is=10A时，u=-1V作业:

P1083-6；

P1093-9一、某一电阻元件的功率：叠加方法是本书所述的电路分析三大基本方法之一，功率则是电路分析中除电压、电流外的一个重要对象，本节通过几个例子来阐明叠加方法在功率计算中应注意的问题。解当36Ｖ电压源单独作用时，可求得§3－3叠加方法与功率计算例3－8

设在图3－7所示电路中，uS＝36V、iS＝9A、R1=12Ω、R2＝6Ω，试用叠加方法求解R2的电流i2和功率P2。当9A电流源单独作用时，可求得

因此，流经R2的电流

故得R2的功率如果分别求出每一电源单独作用时R2的功率，则可得原因很简单：尽管由叠加原理可得

从本例可以看出：电阻的功率不能由叠加原理直接求得，因为功率与电流（压）的二次方有关，不是线性关系。一般来说，功率不服从叠加原理，只有在一些特殊情况下，才能例外。我们可以用叠加方法求得电流、电压后再去计算功率。但故得电压源功率解(1)由上例的计算结果可得

例3－9接续上例，试求两电源对该电路提供的总功率。并试由每一电源单独作用时对电路提供的功率的代数和求解。二、电路总功率电压源消耗功率36W，即对电路提供功率－36W。又电流源端电压为故得电流源功率(2)从另一角度来计算。电压源单独作用时，由图(b)可知电流源提供功率432W。两电源对电路提供的总功率为电压源功率对电路提供功率72W。电流源单独作用时，由图(c)可知电流源功率

由此可见：电源对电路提供的总功率等于电压源单独作用时对电路提供的功率和电流源单独作用时对电路提供功率的总和。这对不含受控源的线性电阻电路是一个普遍规律，且可延伸为电压源组（即多个电压源）和电流源组各自提供功率的叠加。对电路提供功率324W。两电源对电路提供的总功率为和(1)中所得结果一致。例3-10含受控源电路如图所示，试求两电源向电路提供的总功率。（r=2Ω）解：运用叠加原理求解u、i。电压源单独作用时故得电压源吸收的功率为电压源提供功率－12W。电流源两端电压电流源吸收的功率为电流源提供功率78W。故得两电源向电路提供的总功率

与实际的功率66W不符。本例验证了例3-9最后所述的规律。如果用叠加原理直接求电源提供的功率，可得电压源单独作用时吸收的功率为电流源单独作用时两电源向电路提供的总功率为作业：P1093-12小结1、对单一激励的线性、时不变电路，指定响应对激励之比定义为网络函数，用H表示，即H=响应/激励。激励可以是电压源电压或电流源电流，响应可以是任一支路的电压或电流。对电阻电路，H为一实数。

响应与激励的关系可用方框图来表示：H（实数）激励（电压或电流）响应（电压或电流）