高中数学人教A版第二章基本初等函数（Ⅰ）指数函数 省赛获奖

10．指数函数应用张长印学习目标1．进一步了解指数函数模型的实际背景．2．能灵活应用指数函数有关知识解决幂指数大小比较问题、函数值域问题、最值问题及单调性问题．3．能利用指数函数知识解决与指数有关的方程问题、不等式问题及图象问题．一、夯实基础基础梳理3．题型分析？（1）利用指数函数单调性比较大小（2）指数型函数的单调性（3）解简单的指数不等式基础达标1．函数在上是减函数，则的取值范围满足（）A． B． C． D．2．函数（且）的图象在第一、三、四象限，则必有（）A． B．C． D．3．把函数的图象先向右平移两个单位再向下平移两个单位得到函数的图象，则函数=（）A． B． C． D．4．函数（）的图象恒过定点，则点的坐标是__________．5．（1）求函数的值域和单调区间．（2）若与的图象关于直线对称，求的表达式．二、学习指引自主探究1．我们一般采用什么策略比较与（）大小？2．在解决较复杂的数学问题时，我们经常需要解一些简单的指数方程和指数不等式，对于下列指数方程和指数不等式，其解分别是什么（其中是未知数，是已知数，）？（1）；（2）；（3）．3．我们知道指数函数有几个性质是与底数的取值无关的，比如：所有的指数函数都过点，定义域都是，值域都是，都是非奇非偶函数，类似地请思考下列问题：（1）函数能否恒过一定点，与底数的取值无关？（2）当函数满足什么要求，才能使函数的值域一定是，与底数的取值无关？4．函数与的单调性有何关系？（1）试根据下列条件，用“单调增函数”、“单调减函数”填空：的取值单调增函数单调减函数单调减函数单调增函数（2）请选择表格中的一个结论进行论证．（3）若是单调函数，则是单调函数吗？案例分析1．比较下列各数的大小:（1）； ； ； ； ；（2），，，，．【解析】（1）先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，①； ②； ③； ④； ⑤，显然，以0、1为界将五个数可以分成三类：①>1，④<0，②③⑤三个数均在0到1之间，注意到这三个数的底数相同，利用指数函数在实数集上递减，所以③>②>⑤．综上所述：．（2），，，，，因为函数在上单调递增，，所以．注：比较幂的大小的一般思路如下：（1）将两个数化成同底数幂的形式，再利用指数函数的单调性进行比较；（2）将两个数化成同指数幂的形式，再利用指数函数图象在轴的右侧“右侧底大图高”；在轴的左侧“左侧底大图低”；（3）寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较．如比较与，我们可以以为中间数，与利用指数函数的单调性进行比较，得，而与由“右侧底大图高“得，因此；再如本题是先以0、1为桥梁将五个数分成三类的．2．函数是（）A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数【答案】B【解析】，，故函数是偶函数．3．已知指数函数在区间上的最大值与最小值的差是1，求的值．【解析】根据指数函数的单调性，用表示指数函数在区间上的最大值与最小值，列方程求解．若，则在区间上是增函数，最大值是与最小值是，则，解得，又，．若，则在区间上是减函数，最大值是与最小值是，所以，解得，又，．综上，．注：当指数函数的底数是含有字母的参数时，应对底数是否大于1进行分类讨论．4．求函数，的值域．【解析】令，，则，，即，故值域为．5．函数的定义域为，值域为，以下六个结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中一定正确的结论是__________．【答案】（4）（5）【解析】令，则，显然，设函数，的值域为，，且，，且．故正确的结论是（4）（5），其它不正确．三、能力提升能力闯关1．若函数，满足，则的单调递减区间是（）A． B．C． D．2．已知函数（且）．（1）求的定义域和值域；（2）讨论的单调性．8．设，求函数的最大值和最小值．拓展迁移1．已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．2．已知，（1）是否存在实常数，使函数是奇函数，若存在，求出常数的值，若不存在，请说明理由；（2）画出函数的图象，并利用图象回答：为何值时，方程无解？有一解？有两解？挑战极限1．已知为实数，且，求证：．课程小结1．比较幂值的大小，一种是能化为同底数幂，利用指数函数的单调性进行比较，如比较与的大小；如不能化成同底数幂（如和），往往寻找一个恰当的“中间数”为桥梁进行比较，若中间数且，则，中间数往往取1，这种方法也叫插值法；对于指数相同的两个幂（如与）的大小比较可利用幂函数的图象进行比较，也可以引入指数函数，，在这两个指数函数图象上找出对应的点，再利用指数函数图象在轴的右侧“右侧底大图高”判断．2．了解函数图象的一种基本变换：平移变换．通过函数，与函数的图象变换，了解的图象可由的图象向右或向左平移个单位得到：的图象可由的图象向上或向下平移个单位得到．3．了解函数图象的一种基本对称关系．通过函数与函数的图象的对称性，了解函数与的图象关于轴对称．了解函数与的图象关于轴对称，函数与的图象关于原点对称．

10．指数函数应用基础达标1．．【解析】因为函数在上是减函数，所以，即有．2．．【解析】由题意知，且，∴且．3．．【解析】（逆向思考）把函数的图象先向上平移两个单位再向左平移两个单位得到函数的图象，则函数．4．（1，3）．【解析】∵，∴图象恒过定点．5．【解析】（1）令，则，∵，∴，∴函数的值域为．因为在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．（2）设上任意一点，则关于的对称点为．∵在上，∴，∴．自主探究1．【解析】分下列几种情形：（1）若，引入指数函数，利用此函数的单调性可比较与的大小；（2）若，引入指数函数，在这两个指数函数图象上找出对应的点，不难从图象上看出与大小；（3）若，则我们有两种策略进行比较：①寻找特殊值，比如，作为中间比较量，分别比较与的大小，与的大小，看看能否形成大小传递；②取作为中间比较量，分别比较与的大小，与的大小看看能否形成大小传递．对于上述三种情形所使用的方法，我们分别称之为单调性比较法；图象比较法；传递比较法．2．【解析】（1）．（2）当时，；当时，．（3）当时，；当时，．3．【解析】（1）令，得到，所以函数恒过定点．（2）当且仅当函数的值域为时，函数的值域是，与底数的取值无关．4．【解析】（1）单调增函数；单调减函数；单调增函数；单调减函数．（2）已知，在上是减函数，求证：是上的增函数．证明：任取，且，因为函数在单调递减，所以，在上单调递减，所以，即，所以在上单调递增．（3）若是单调函数，则是单调函数，当时它们的单调性一致，当时它们的单调性相反．能力闯关1．．【解析】由得，∴（舍去），即．由于在上递减，在上递增，所以在上递增，在上递减．2．【解析】（1）易得的定义域为．设，解得，①∵，∴当且仅当时，关于的方程①有解．解，得．∴的值域为．方法二：．∵，∴，∴，∴．（2）．当时，∵为增函数，且．∴为减函数，从而是上的增函数．当时，类似地可得是上的减函数．8．【解析】设，∵，∴，原式化为：，当时，；当时，，；当时，；当时，．拓展迁移1．【解析】（1）∵是奇函数，定义域为，∴，即，∴，又，．经检验时，∴是奇函数，所以．（2）方法一：由（1），易知在上为减函数．又∵是奇函数，∴不等式等价于，因为减函数，由上式解得：，即对一切有：，从而判断式．方法二：由（2）知．又由题设条件得：，即．整理得．因底数，故．上式对一切均成立，从而判别式．2．（1）；（2）当时，方程无解；当时，方程有唯一解；当时，方程有两个不同的实数解．【解析】（1）方法一：∵．∴，∴函数是奇函数当且仅当．方法二：是奇函数．（2）先把图象向下平移