高中数学苏教版2第3章数系的扩充与复数的引入 公开课奖

学业分层测评(十一)第3章第2课时复数的乘方与除法(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.(2023·盐城期末)设复数z满足iz＝-3＋i(i为虚数单位)，则z的实部为________.【解析】由iz＝-3＋i得，z＝eq\f(-3＋i,i)＝1＋3i，则z的实部为1.【答案】12.(2023·吉林一中高二期末)复数eq\f(5,2i-1)的共轭复数是________.【导学号：97220232】【解析】∵eq\f(5,2i-1)＝eq\f(52i＋1,2i-12i＋1)＝-1-2i.∴eq\f(5,2i-1)的共轭复数是-1＋2i.【答案】-1＋2i3.复数eq\f(1-\r(3)i,\r(3)＋i2)＝________.【解析】原式＝eq\f(1-\r(3)i,21＋\r(3)i)＝eq\f(1-\r(3)i2,21＋\r(3)i1-\r(3)i)＝-eq\f(1,4)-eq\f(\r(3),4)i.【答案】-eq\f(1,4)-eq\f(\r(3),4)i4.设i是虚数单位，则eq\f(i3i＋1,i-1)等于________.【解析】(1)∵eq\f(i＋1,i-1)＝-eq\f(1＋i2,1-i1＋i)＝eq\f(2i,-2)＝-i，∴eq\f(i3i＋1,i-1)＝i3·(-i)＝-i4＝-1.【答案】-15.(2023·全国卷Ⅰ改编)设复数z满足eq\f(1＋z,1-z)＝i，则|z|＝________.【解析】由eq\f(1＋z,1-z)＝i，得z＝eq\f(-1＋i,1＋i)＝eq\f(-1＋i1-i,2)＝eq\f(2i,2)＝i，所以|z|＝|i|＝1.【答案】16.(2023·北京高考)若(x＋i)i＝-1＋2i，(x∈R)，则x＝________.【解析】由(x＋i)i＝-1＋2i，得x＝eq\f(-1＋2i,i)-i＝eq\f(-i＋2i2,i2)-i＝2.【答案】27.设i是虚数单位，复数eq\f(1＋ai,2-i)为纯虚数，则实数a的值是________.【解析】eq\f(1＋ai,2-i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2-i2＋i)＝eq\f(2-a＋1＋2ai,5)，由纯虚数定义，则2-a＝0，∴a＝2.【答案】28.已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.【解析】∵eq\f(a＋2i,i)＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝-1＋bi，∴a＝-1，b＝2，∴a＋b＝1.【答案】1二、解答题9.计算：(1)eq\f(3＋2i,2-3i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),2)-\f(i,2)))6；(2)eq\f(-2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1＋i)))2＋eq\f(4-8i2--4＋8i2,4＋3i).【解】(1)原式＝eq\f(i2-3i,2-3i)＋i6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)-\f(\r(3),2)i))6＝i＋i2＝i-1.(2)原式＝eq\f(i2\r(3)i＋1,1＋2\r(3)i)＋eq\f(2,2i)＋eq\f(4-8i2-[-4-8i]2,4＋3i)＝i＋eq\f(1,i)＋eq\f(4-8i2-4-8i2,4＋3i)＝i＋(-i)＋0＝0.10.(1)若eq\f(2＋ai,1＋\r(2)i)＝-eq\r(2)i，求实数a的值.(2)若复数z＝eq\f(2i,1-i)，求eq\x\to(z)＋3i.【解】(1)依题意，得2＋ai＝-eq\r(2)i(1＋eq\r(2)i)＝2-eq\r(2)i，∴a＝-eq\r(2)，(2)∵z＝eq\f(2i,1-i)＝eq\f(2i1＋i,1-i1＋i)＝i(1＋i)＝-1＋i，∴eq\x\to(z)＝-1-i，∴eq\x\to(z)＋3i＝-1＋2i.能力提升]1.复数z满足(1＋2i)·eq\x\to(z)＝4＋3i，则z＝________.【解析】∵eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1-2i,5)＝eq\f(10-5i,5)＝2-i.∴复数eq\x\to(z)＝2-i，∴z＝2＋i.【答案】2＋i2.(2023·浙江高考)已知i是虚数单位，计算eq\f(1-i,1＋i2)＝__________.【解析】eq\f(1-i,1＋i2)＝eq\f(1-i,2i)＝eq\f(1-i,2i)·eq\f(-i,-i)＝eq\f(-1-i,2)＝-eq\f(1,2)-eq\f(1,2)i.【答案】-eq\f(1,2)-eq\f(1,2)i3.当z＝-eq\f(1-i,\r(2))，z100＋z50＋1的值等于________.【解析】z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1-i,\r(2))))2＝-i.∴z100＋z50＋1＝(-i)50＋(-i)25＋1＝(-i)2＋(-i)＋1＝-i.【答案】-i4.已知z为复数，eq\f(z-1,i)为实数，eq\f(z,1-i)为纯虚数，求复数z.【解】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\f(z-1,i)＝eq\f(a-1＋bi,i)＝(a-1＋bi)·(-i)＝b-(a-1)i.因为eq