高中数学北师大版1第一章常用逻辑用语学业分层测评2

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【解析】∵－2＜x＜1x＞1或x＜－1，且x＞1或x＜－1－2＜x＜1，∴“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分，也不必要条件．【答案】C2．a＜0，b＜0的一个必要条件为()A．a＋b＜0 B．a－b＞0\f(a,b)＞1 D．eq\f(a,b)＜－1【解析】a＋b＜0a＜0，b＜0，而a＜0，b＜0⇒a＋b＜0.【答案】A3．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】ab≠0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,b≠0))，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.【答案】C4．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是()A．a≤0 B．a＞0C．a＜－1 D．a＜1【解析】∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．∴x1x2＜0.即eq\f(1,a)＜0⇔a＜0，本题要求的是充分条件．由于{a|a＜－1}⊆{a|a＜0}，故答案应为C.【答案】C5．设0＜x＜eq\f(π,2)，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】因为0＜x＜eq\f(π,2)，所以0＜sinx＜1.由x·sinx＜1知xsin2x＜sinx＜1，因此必要性成立．由xsin2x＜1得xsinx＜eq\f(1,sinx)，而eq\f(1,sinx)＞1，因此充分性不成立．【答案】B二、填空题6．满足sinα＝eq\f(1,2)的一个充分条件是α＝____(填一角即可)．【解析】∵α＝eq\f(π,6)⇒sinα＝eq\f(1,2)，∴sinα＝eq\f(1,2)的一个充分条件可以是α＝eq\f(π,6).【答案】eq\f(π,6)7．(2023·赤峰高二检测)已知“x＞k”是“eq\f(3,x＋1)＜1”的充分条件，则k的取值范围是________．【导学号：32550004】【解析】解不等式eq\f(3,x＋1)＜1得，x＜－1或x＞2，∵x＞k⇒x＞2或x＜－1∴k≥2.【答案】[2，＋∞)8．已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．若p是綈q的充分条件，则实数m的取值范围是________．【解析】∵A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，∴∁RB＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}．∵p是綈q的充分条件，∴A⊆∁RB，∴m－2＞3或m＋2＜－1，∴m＞5或m＜－3.【答案】(－∞，－3)∪(5，＋∞)三、解答题9．分别判断下列“若p，则q”命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p：sinθ＝0，q：θ＝0；(2)p：θ＝π，q：tanθ＝0；(3)p：a是整数，q：a是自然数；(4)p：a是素数，q：a不是偶数．【解】(1)由于p：sinθ＝0⇐q：θ＝0，p：sinθ＝0q：θ＝0，所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件．(2)由于p：θ＝π⇒q：tanθ＝0，p：θ＝π⇐/q：tanθ＝0，所以p是q的充分条件，p是q的不必要条件．(3)由于p：a是整数q：a是自然数，p：a是整数⇐q：a是自然数，所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件．(4)由于p：a是素数⇔/q：a不是偶数，所以p是q的不充分条件，p是q的不必要条件．10．已知p：4x＋k≤0，q：x2－x－2＜0，且p是q的必要条件，求k的取值范围．【解】由4x＋k≤0，得x≤－eq\f(k,4)；由x2－x－2＜0，得－1＜x＜2.设A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(k,4)))))，B＝{x|－1＜x＜2}，由p是q的必要条件，得A⊇B.∴－eq\f(k,4)≥2，∴k≤－8.即k的取值范围为(－∞，－8]．[能力提升]1．不等式1－eq\f(1,x)＞0成立的充分条件是()A．x＞1 B．x＞－1C．x＜－1或0＜x＜1 D．x＜0或x＞1【解析】x＞1⇒1－eq\f(1,x)＞0，故选A.【答案】A2．(2023·天津高二检测)设a，b为向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，∴cos〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0，∴a·b＝|a||b|⇒a∥b.而∵a∥b夹角可为π，∴a·b＝－|a||b|，∴a·b＝|a||b|⇐/a∥b，故选A.【答案】A3．(2023·长春高二检测)如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．【解析】否命题为真，则逆命题为真．∴“若B，则A”为真，∴B⇒A，而原命题为假设AB，∴A是B的必要条件．【答案】必要4．已知p：x2－2x－3＜0，若－a＜x－1＜a是p的一个必要条件但不是充分条件，求使a＞b恒成立的实数b的取值范围．【解】由于p：x2－2x－3＜0⇔－1＜x＜3，－a＜x－1＜a⇔1－a＜x＜1＋a(a＞0)