高中数学人教B版本册总复习总复习 2023版第2章第2章函数的应用(ⅰ)

2．3函数的应用(Ⅰ)1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理几类函数模型阅读教材P65～P68“探索与研究”以上部分，完成下列问题．常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1,f2x，x∈D2,……,fnx，x∈Dn))1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图2­3­1所示，判断下列说法的对错．图2­3­1(1)甲比乙先出发．()(2)乙比甲跑的路程多．()(3)甲、乙两人的速度相同．()(4)甲先到达终点．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为()A．52 B．C．53 D．52或53【解析】因为利润＝收入－成本，当产量为x件时(x∈N)，利润f(x)＝25x－(x2－80x)，所以f(x)＝105x－x2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(105,2)))2＋eq\f(1052,4)，所以x＝52或x＝53时，f(x)有最大值．【答案】D[小组合作型]一次函数模型的应用(1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒()A．2000套 B．3000套C．4000套 D．5000套(2)如图2­3­2所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：图2­3­2①通话2分钟，需要付电话费________元；②通话5分钟，需要付电话费________元；③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．【解析】(1)因利润z＝12x－(6x＋30000)，所以z＝6x－30000，由z≥0，解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．(2)①由图象可知，当t≤3时，电话费都是元．②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．③易知当t≥3时，图象过点(3,，(5,6)，利用待定系数法求得y＝(t≥3)．【答案】(1)D(2)①②6③y＝(t≥3)1．一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．2．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．[再练一题]1．某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份元，卖出的价格是每份元，卖不掉的报纸还可以每份元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？该销售点一个月最多可赚得多少元？【导学号：60210056】【解】设每天从报社买进x份报纸，易知250≤x≤400，设每月赚y元，则y＝×20＋×250×10＋(x－250)××10－×30＝＋1050，x∈[250,400]．因为y＝＋1050是定义域上的增函数，所以当x＝400时，ymax＝120＋1050＝1170(元)．故每天从报社买400份报纸时，所获的利润最大，每月可赚1170元.二次函数模型的应用商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【精彩点拨】(1)先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；(2)由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．【自主解答】(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k＜0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)，y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100,300])，∵k＜0，∴x＝200时，ymax＝－10000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，即x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.[再练一题]2．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100eq\r(6t)(0≤t≤24)，求供水开始几小时后，水池中的存水量最少．【解】设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100eq\r(6t)(0≤t≤24)，设u＝eq\r(t)，则u∈[0，2eq\r(6)]，y＝60u2－100eq\r(6)u＋400＝60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u－\f(5\r(6),6)))2＋150，∴当u＝eq\f(5\r(6),6)即t＝eq\f(25,6)时，蓄水池中的存水量最少．[探究共研型]分段函数模型的应用探究1分段函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1，,f2x，x∈D2，,……,fnx，x∈Dn))的定义域和值域分别是什么？如何求分段函数的最大值和最小值？【提示】分段函数f(x)是各段自变量取值范围的并集，即D1∪D2∪…∪Dn，分段函数的值域是各段值域的并集．先求出各段在其自变量取值范围内的最大值和最小值，然后分别比较各段最大值和最小值，各段最大值的最大者就是分段函数的最大值，各段最小值的最小者就是分段函数的最小值．探究2解实际应用问题时，如何确定所要应用的函数模型是否为分段函数？【提示】根据题意，判断题设中的自变量变化是否遵循不同的规律，若是，则所要应用的函数模型为分段函数，反之则不是．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t，0≤t≤10，,25－\f(1,2)t，10<t≤20))(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．【精彩点拨】(1)由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)由(1)分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y的最大值与最小值．【自主解答】(1)由已知，由价格乘以销售量可得：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t))80－2t，0≤t≤10,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,2)t))80－2t，10<t≤20))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋3040－t，0≤t≤10,50－t40－t，10<t≤20))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋10t＋1200，0≤t≤10,t2－90t＋2000，10<t≤20))(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0,5)递增，在t∈(5,10]递减，∴ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝1200(当t＝0或10时取得)．②当10＜t≤20时，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10,20]递减，ymax＝1200(t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)，由①②知ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起．[再练一题]3．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解】(1)当0＜x≤30时，y＝900；当30＜x≤75，y＝900－10(x－30)＝1200－10x；即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0<x≤30，,1200－10x，30<x≤75.))(2)设旅行社所获利润为S元，则当0＜x≤30时，S＝900x－15000；当30＜x≤75，S＝x(1200－10x)－15000＝－10x2＋1200x－15000；即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0<x≤30，,－10x2＋1200x－15000，30<x≤75.))因为当0＜x≤30时，S＝900x－15000为增函数，所以x＝30时，Smax＝12000；当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，即x＝60时，Smax＝21000＞12000.所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润．1．一等腰三角形的周长为20，底边y是关于腰长x的函数，则它的解析式为()A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5<x<10)【解析】依题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.又y>0，∴20－2x>0，∴x<10.又2x>y，∴2x>20－2x，∴x>5，∴5<x<10.【答案】D2．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．【解析】L(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500，当Q＝300时，L(Q)的最大值为2500万元．【答案】25003．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．【解析】设彩电的原价为a，∴a(1＋·80%－a＝270，∴＝270，解得a＝2250.∴每台彩电的原价为2250元．【答案】22504．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元.【导学号：60210057】【解析】设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售