高中数学苏教版本册总复习总复习 2023版学业分层测评4

学业分层测评(四)同角三角函数关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.若sinθ＝－eq\f(3,5)，tanθ＜0，则cosθ＝________.【解析】∵sinθ＝－eq\f(3,5)＜0，tanθ＜0，∴θ为第四象限角，∴cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(4,5).【答案】eq\f(4,5)2.化简：(1＋tan2α)·cos2α＝________.【解析】原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sin2α,cos2α)))·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.【答案】13.已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，则sin4α－cos4α＝________.【解析】∵sinα＝eq\f(\r(5),5)，∴sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))eq\s\up5(2)－1＝－eq\f(3,5).【答案】－eq\f(3,5)4.已知α是第二象限角，tanα＝－eq\f(1,2)，则cosα＝________.【导学号：48582023】【解析】∵tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2)，∴cosα＝－2sinα.又sin2α＋cos2α＝1，∴eq\f(5,4)cos2α＝1，又α为第二象限角，∴cosα＜0，∴cosα＝－eq\f(2\r(5),5).【答案】－eq\f(2\r(5),5)5.化简：eq\r(1－cos24)＝________.【解析】eq\r(1－cos24)＝eq\r(sin24)＝|sin4|，∵π<4<eq\f(3π,2)，∴sin4<0，∴|sin4|＝－sin4.【答案】－sin46.已知eq\f(cosx,sinx－1)＝eq\f(1,2)，则eq\f(1＋sinx,cosx)等于________．【解析】由1－sin2x＝cos2x，可得eq\f(1＋sinx,cosx)＝－eq\f(cosx,sinx－1)＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)7.若sinα＋cosα＝eq\r(2)，则tanα＋eq\f(1,tanα)的值为________．【解析】tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα).又sinα＋cosα＝eq\r(2)，∴sinαcosα＝eq\f(1,2)，∴tanα＋eq\f(1,tanα)＝2.【答案】28.已知0<α<π，sinα·cosα＝－eq\f(60,169)，则sinα－cosα的值等于________．【解析】∵sinα·cosα<0,0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα>0，∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(289,169)，∴sinα－cosα＝eq\f(17,13).【答案】eq\f(17,13)二、解答题9.已知tanx＝2，求：(1)eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)的值；(2)eq\f(2,3)sin2x＋eq\f(1,4)cos2x的值．【解】(1)eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3.(2)eq\f(2,3)sin2x＋eq\f(1,4)cos2x＝eq\f(\f(2,3)sin2x＋\f(1,4)cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq\f(\f(2,3)tan2x＋\f(1,4),tan2x＋1)＝eq\f(\f(2,3)×4＋\f(1,4),4＋1)＝eq\f(7,12).10.已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.【导学号：48582023】【证明】因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，所以eq\f(sin2α,cos2α)＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2β,cos2β)＋1))，所以eq\f(1,cos2α)＝eq\f(2,cos2β)，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.[能力提升]1．若角α的终边在直线x＋y＝0上，则eq\f(sinα,\r(1－cos2α))＋eq\f(\r(1－sin2α),cosα)＝________.【解析】∵eq\f(sinα,\r(1－cos2α))＋eq\f(\r(1－sin2α),cosα)＝eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(|cosα|,cosα).又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在第二、四象限．当α在第二象限时，原式＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(－cosα,cosα)＝0，当α在第四象限时，原式＝eq\f(sinα,－sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝0.【答案】02.化简：eq\f(\r(1－2sin20°cos20°),sin20°－\r(1－sin220°))＝________.【解析】原式＝eq\f(\r(sin20°－cos20°2),sin20°－\r(cos220°))＝eq\f(|sin20°－cos20°|,sin20°－|cos20°|)＝eq\f(cos20°－sin20°,sin20°－cos20°)＝－1.【答案】－13.若A∈(0，π)，且sinA＋cosA＝eq\f(7,13)，则eq\f(5sinA＋4cosA,15sinA－7cosA)＝________.【解析】(sinA＋cosA)2＝eq\f(49,169)，∴1＋2sinAcosA＝eq\f(49,169)，∴2sinAcosA＝－eq\f(120,169)<0，∵A∈(0，π)，∴sinA>0，cosA<0，∴(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝eq\f(289,169)，∴sinA－cosA＝eq\f(17,13)，∴sinA＝eq\f(12,13)，cosA＝－eq\f(5,13)，故eq\f(5sinA＋4cosA,15sinA－7cosA)＝eq\f(8,43).【答案】eq\f(8,43)4.已知关于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋2m＝0的两根为sinθ和cosθ(θ∈(0，π))，求：(1)m的值．(2)eq\f(sinθ,1－cotθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)的值eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中cotθ＝\f(1,tanθ))).(3)方程的两根及此时θ的值．【导学号：48582023】【解】(1)由根与系数的关系可知，sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2)，①sinθ·cosθ＝m.②将①式平方得1＋2sinθ·cosθ＝eq\f(2＋\r(3),2)，所以sinθ·cosθ＝eq\f(\r(3),4)，代入②得m＝eq\f(\r(3),4).(2)eq\f(sinθ,1－cotθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cos2θ,cosθ－sinθ)＝eq\f(sin2θ－cos2θ,sinθ－cosθ)＝sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2).(3)因为已求得m＝eq\f(\r(3),4)，所以原方程化为2x2－(eq\r(3)＋1)x＋eq\f(\r(3),2)＝0，解得xeq\s\do5(1)＝eq\f(\r(3),2)，xeq\s\d