高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程2．4抛物线第2章242

2.4.2抛物线的几何性质1.了解抛物线的简单几何性质.(重点)2.会用抛物线的几何性质处理简单的实际问题.(难点)[基础·初探]教材整理抛物线的几何性质阅读教材P49例1以上部分，完成下列问题.1.判断正误：(1)抛物线是中心对称图形.()(2)抛物线的范围是x∈R.()(3)抛物线是轴对称图形.()【解析】(1)×.在抛物线方程中，以－x代x，－y代y，方程发生了变化，故抛物线不是中心对称图形.(2)×.抛物线的方程不同，其范围就不同，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R.(3)√.抛物线y2＝±2py(p＞0)的对称轴是x轴，抛物线x2＝±2py(p＞0)的对称轴是y轴.【答案】(1)×(2)×(3)√2.抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点的距离是aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＞\f(p,2)))，则点M的横坐标是________.【解析】由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－eq\f(p,2)的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－eq\f(p,2).【答案】a－eq\f(p,2)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]抛物线的方程及其几何性质(1)设O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点，P为C上一点，若PF＝4eq\r(2)，则△POF的面积为________.(2)已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此拋物线的标准方程.【精彩点拨】(1)利用抛物线的对称性及等边三角形的性质求解；(2)设出抛物线的标准方程，根据抛物线的对称性表示出三角形的面积，解方程可得抛物线方程中的参数，即得抛物线的方程.【自主解答】(1)如图，设P(x0，y0)，由PF＝x0＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，得x0＝3eq\r(2)，代入抛物线方程得yeq\o\al(2,0)＝4eq\r(2)×3eq\r(2)＝24.所以y0＝2eq\r(6).所以S△POF＝eq\f(1,2)OF·y0＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(6)＝2eq\r(3).【答案】2eq\r(3)(2)由题意，设拋物线方程为y2＝ax(a≠0).焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，直线l：x＝eq\f(a,4)，∴A、B两点的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，\f(a,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，－\f(a,2)))，∴AB＝a，∵△OAB的面积为4，∴eq\f(1,2)·eq\f(a,4)·a＝4，∴a＝±4eq\r(2)，∴拋物线的方程为y2＝±4eq\r(2)x.1.求抛物线的标准方程时，目标就是求解p，只要列出一个关于p的方程即可求解.2.求抛物线的标准方程要明确四个步骤：(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)；(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；(3)找关系(根据条件列出关于p的方程)；(4)得出抛物线的标准方程.[再练一题]1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程.【导学号：24830048】【解】∵椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1的焦点在y轴上，∴椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1短轴所在的直线为x轴.∴抛物线的对称轴为x轴.∴设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0).∴|eq\f(m,4)|＝5，∴m＝±20.∴所求抛物线的方程为y2＝20x或y2＝－20x.抛物线中的应用题河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高eq\f(3,4)米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？【精彩点拨】建系→设方程→求方程→求出相关量→解决问题【自主解答】如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝eq\f(8,5)，∴抛物线方程为x2＝－eq\f(16,5)y.∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航.设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－eq\f(16,5)yA，得yA＝－eq\f(5,4).又知船露出水面上部分为eq\f(3,4)米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋eq\f(3,4)＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航.1.本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.2.以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程.(2)利用已求方程求点的坐标.[再练一题]2.某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如2­4­1图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由.图2­4­1【解】建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－3，－3)，A(3，－3).设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，将B点的坐标代入，得9＝－2p·(－3)，∴p＝eq\f(3,2)，∴抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0).∵车与箱共高m，∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5m.设抛物线上点D的坐标为(x0，－，D′的坐标为(－x0，－，则xeq\o\al(2,0)＝－3×(－，解得x0＝±eq\r(\f(3,2))＝±eq\f(\r(6),2).∴|DD′|＝2|x0|＝eq\r(6)＜3，故此车不能通过隧道.[探究共研型]直线与抛物线的综合应用探究1直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的长是多少？【提示】由抛物线的定义可知AF＝x1＋eq\f(p,2)，BF＝x2＋eq\f(p,2)，所以AB＝AF＋BF＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p.探究2斜率为k的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的长是多少？【提示】设直线l的方程为y＝kx＋m，则AB＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(x1－x22＋kx1＋m－kx2－m2)＝eq\r(1＋k2x1－x22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|.这个公式称为弦长公式.(1)已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________.(2)求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为eq\r(15)的抛物线方程.【导学号：24830049】【精彩点拨】(1)应用焦半径公式求解；(2)应用弦长公式求解.【自主解答】(1)抛物线的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0)).设直线方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，与方程y2＝6x联立得：4k2x2－(12k2＋24)x＋9k2＝0.设直线与抛物线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).∴x1＋x2＝eq\f(3k2＋6,k2)，∴x1＋x2＋3＝eq\f(3k2＋6,k2)＋3＝12.∴k2＝1，∴k＝±1.故弦所在直线的倾斜角是eq\f(π,4)或eq\f(3,4)π.【答案】eq\f(π,4)或eq\f(3,4)π(2)设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)①直线方程变形为y＝2x＋1②设抛物线截直线得弦长为AB，将②代入①整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，则AB＝eq\r(1＋22\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－4,4)))2－4×\f(1,4))))＝eq\r(15).解得a＝12或a＝－4.故所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.(1)一般的弦长公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|.(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(3)求弦长时，为简化计算常常借助根与系数的关系，这样可以避免分别求x1，x2的麻烦，如果是利用弦长求参数的问题，只需要列出参数的方程或不等式即可求解，而(x1，y2)或(y1，x2)一般是求不出来的.[再练一题]3.已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________.【解析】抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l的方程为y＝eq\f(4,3)(x－2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－2，,y2＝8x，))得B点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2)).∴AB＝AF＋BF＝2＋8＋2＋eq\f(1,2)＝eq\f(25,2).∴AB的中点到准线的距离为eq\f(25,4).【答案】eq\f(25,4)[构建·体系]1.过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________.【解析】PQ＝x1＋x2＋2＝10.【答案】102.如图2­4­2，已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________.图2­4­2【解析】设△AOB边长为a，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(a,2)))，∴eq\f(a2,4)＝6×eq\f(\r(3),2)a.∴a＝12eq\r(3).【答案】12eq\r(3)3.如图2­4­3所示是抛物线形拱桥，当水面在1时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米.【导学号：24830050】图2­4­3【解析】设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，－2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则22＝－2p×(－2)，得p＝1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，－3)，则xeq\o\al(2,0)＝6，解得x0＝±eq\r(6)，所以水面宽为2eq\r(6)米.【答案】2eq\r(6)4.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则PB＋PF的最小值为________.【解析】将x＝3代入y2＝4x得y＝±2eq\r(3)，∵2eq\r(3)＞2，故点(3,2)在抛物线内部.如图，过点B作BQ垂直于准线于Q，交抛物线于点P1，连P1F，由抛物线定义知P1F＝P1Q，则PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝3＋1＝4.即PB＋PF的最小值为4.【答案】45.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且AM＝eq\r(17)，AF＝3，求此抛物线的标准方程.【解】设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，设A(x0，y0)，由题知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).∵AF＝3，∴y0＋eq\f(p,2)＝3，∵AM＝eq\r(17)，∴xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(p,2)))2＝17，∴xeq\o\al(2,0)＝8，代入方程xeq\o\al(2,0)＝2py0得，8＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的