第十章机械振动和电磁振荡

机械振动和电磁振荡第十章1教学基本要求：掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系.掌握描述简谐运动的旋转矢量法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析.掌握简谐运动的基本特征，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义。理解同方向、同频率简谐运动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点.了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律.理解电磁振荡规律21.机械振动：物体在一定位置附近的来回往复运动.摆的运动，一切发声体的运动、机器零部件的颤动等.2.简谐运动（simpleharmonicmotion，SHM）:物体离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦（或正弦）函数的规律随时间变化，简称谐振动.谐振子作简谐运动的物体.

简谐运动复杂振动合成分解§10-1谐振动一、谐振动的特征及其表达式3忽略阻力时，弹簧振子的小幅振动和单摆的小角度振动。弹簧振子的振动4平衡位置振动的成因：回复力+惯性令物体所受力的大小与物体对其平衡位置成正比且方向相反，这种力称为线性回复力，这是物体做谐振动的动力学特征.5简谐运动的特征：加速度与位移的大小x成正比，方向相反.6积分常数，根据初始条件确定解方程得：图图图取78

1.振幅：离开平衡位置的最大位移.2.周期：完成一次完整振动的时间.3.频率：单位时间完成振动的次数.

周期

频率

圆频率图二、描述谐振动的特征量

9

10弹簧振子周期：周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关，常称为固有周期和固有频率。注意5.常数A和的确定

对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.11取

讨论12分析：

三、谐振动的旋转矢量图示法13振幅、角频率以及相位可以非常直观地表示出来.14

用旋转矢量图画简谐运动的x—t图15讨论相位差：表示两个相位之差.

1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.16同步2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）为其它超前落后反相若

=2-1>0,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。17用旋转矢量表示相位关系:同相反相

18

（2）求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速度；0.0519解:（1）由旋转矢量图可知20解:

由旋转矢量图可知（负号表示速度沿x轴负方向）

（2）求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速度；21解:

因为，由旋转矢量图可知22（1）t=0s时，物体所处的位置和所受的力；解:23

代入24代入上式得25

26解法二:起始时刻t时刻271.

单摆令转动正向时四、几种常见的谐振动(角谐振动)28simplependulum*2.

复摆（可绕固定轴O摆动的刚体）令（C点为质心）转动正向29compoundpendulum总结：简谐运动的描述和特征4）加速度与位移成正比而方向相反2）简谐运动的动力学描述3）简谐运动的运动学描述弹簧振子1）物体受线性回复力作用平衡位置复摆单摆30线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒.以弹簧振子为例（振幅的动力学意义）五、谐振动的能量31简谐运动能量图4T2T43T能量32能量守恒简谐运动方程推导33六、用能量法解谐振动问题

（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？解（1）34时，由（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？35

振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为无阻尼自由振动。在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。阻尼：消耗振动系统能量的原因。阻尼种类：摩擦阻尼辐射阻尼

对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于速度:

§10-2阻尼振动36

37

38角频率振幅

阻尼振动位移时间曲线准周期运动.减幅振动.振动变慢了.阻尼越大，振幅减小的越快，周期越长。三种阻尼的比较

b）过阻尼

a）欠阻尼

c）临界阻尼最快停在平衡位置。3940阻尼的控制机器：加大摩擦阻尼—减振、防振.声源、乐器：加大辐射阻尼—辐射大的声能.精密仪表：临界阻尼—较快地、较准确地进行读数、测量.

解：（1）41（2）有阻尼时（3）4243§10-3受迫振动共振

衰减项（减幅振动）稳态项（等幅谐振动）44

受迫振动的位移时间曲线45

初始阶段系统的振动较复杂，可看成减幅振动和等幅振动的合成。经过一段时间达到稳定后的等幅振动。46

稳态时受迫振动的表达式：47

共振频率：共振振幅：二、共振481.位移共振（displacementresonance）：驱动力的角频率使位移振幅达到最大值的现象。49共振频率大阻尼小阻尼阻尼位移共振特点：驱动力的角频率略小于系统的固有频率；阻尼越小，二者越接近，振幅也越大。502.速度共振（velocityresonance）

表明：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，速度幅值达到最大值。当阻尼很小时，速度共振与位移共振可以不加区分。51小号发出的声波足以使酒杯破碎随后在大风中因产生共振而断塌1940年华盛顿的塔科曼大桥在大风中产生振动

发生共振时由于振幅过大可能损坏机器、设备或建筑。

避免和减小共振的方法：破坏外力的周期性、改变物体的固有频率5253

由于共振可能引起巨大的损坏，所以在工程技术中防振和减振是一项十分重要的任务。

据报导，我国某城市有三栋新建的十一层居民楼经常摇晃，引起居民的恐慌。后来发现距居民楼800米处有一家锯石厂，四台大功率锯石机的工作频率为，恰好等于居民楼的固有频率，楼的摇晃原来是一种共振现象。一、LC振荡电路无阻尼自由电磁振荡（无能量损耗）LCEKLC

电磁振荡电路L+CAL+CCLCBLCD§10-4电磁振荡（电路中电压和电流的周期性变化）54二、无阻尼电磁振荡的振荡方程K++++A----BLC电磁振荡电路5556

电路中任一时刻的电流：

﹡无阻尼自由振荡中的电荷和电流随时间的变化

O﹡57三、无阻尼电磁振荡的能量

58

例在LC电路中，已知，初始时两极板间的电势差，且电流为零.求：（1）振荡频率；（2）最大电流；当时59

例在LC电路中，已知，初始时两极板间的电势差，且电流为零.求：（3）电容器两极板间的电场能量随时间变化的关系；（4）自感线圈中的磁场能量随时间变化的关系；

（5）证明在任意时刻电场能量与磁场能量之和总是等于初始时的电场能量.60

LRC

电路在外加周期性电动势持续作用下产生的振荡，称为受迫振荡。受迫振荡微分方程：稳定状态下其解为：四、受迫振荡电共振电动势61其中—感抗—电抗—容抗1Cw—阻抗62周期性电动势作用下，电流振幅达到最大值电共振

当电路满足时，电流振幅最大即收音机中的调谐，即调节电容器的电容使电路与其某一种频率的无线电信号发生共振，以选取电台.63

鉴于电磁振荡和机械振动的规律类似，应用力电类比可把电磁振荡和机械振动对应起来，具体关系如下表所示：机械振动电磁振荡(串联电路)位移

x速度

v质量

m劲度系数

k阻力系数

γ驱动力

F弹性势能

kx2/2动能

mv2/2电荷

q电流

i电感L电容的倒数

1/C电阻

R电动势

ε电场能量

q2/2C磁场能量

Li2/2五、力电对比64一两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动§10-5一维谐振动的合成651）相位差讨论662）相位差673）一般情况2）相位差1）相位差相互加强相互削弱68二多个同方向同频率简谐运动的合成多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动692）1）

个矢量依次相接构成一个闭合的多边形.讨论70三两个同方向不同频率简谐运动的合成频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.71合振动频率振幅部分讨论,的情况

方法一72合振动频率振幅部分振幅

振动频率拍频（振幅变化的频率）73

方法二：旋转矢量合成法74（拍在声学和无线电技术中的应用）拍频振幅

振动圆频率75思考：什么是拍的现象？产生的条件是什么？如果两振动的振幅不等，即是否也有拍现象？答：频率相近的两具同方向的简谐运动合成后，合振动为振幅随时间