第八章线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数

第八章线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数(P148)基本内容:常点和正则奇点邻域上的幂级数解法;勒让德多项式、贝塞尔函数等特殊函数;非齐次方程的通解.

本章难点:正则奇点邻域上的幂级数解法.本章既是本课程下篇的基础,也是学习近代物理的基础,所以学好本章具有重要意义.2/6/20231第八章§8.1常点邻域方程的级数解

勒让德方程1常点邻域方程的级数解2勒让德方程2/6/20232第八章1常点邻域方程的级数解方程的一般形式定解条件：

(8.1)（8.2）为应用解析函数理论设p(z)、q(z)、y(z)是分别由p(x)、q(x)、y(x)唯一确定的复变函数.为了书写方便变量仍记作x.2/6/20233第八章1)方程的常点：在是解析的，则2)解的存在和唯一性定理：设函数在则(8.1)存在唯一的满足条件(8.2)的解析函数3)求解步骤：b)将、、在并比较(x-x0)的同幂项系数，给出系数{ak}的递推公式；称为方程的常点。内是解析的，.；c)运用系数递推公式，将系数确定至两个积分常数；上的幂级数展开式代入方程，d)讨论.确定x0为方程常点，设2/6/20234第八章2勒让德方程[在第十二章“球坐标系下的分离变数法”中，勒让德多项式和球函数要用此处结果，在那里取值待定、而1)同一般形式比较,均在上解析，故是方程的常点x0=0.

2/6/20235第八章2)设

将以上诸式代入勒让德方程，得↓的系数：…∴2/6/20236第八章3)定系数：

2/6/20237第八章4)讨论：解在上是绝对且一致收敛的，在物理上需要考虑处的收敛问题，P151具体论证了y0(x)在x=1发散所以,要求有限值,是数学问题有物理意义的必然要求.，y0(x)退化为l=2n次多项式,y1(x)仍发散舍去；：多项式,

y0(x)仍发散舍去.总之,l=整数：方程的两个特解中有一个退化为l次多项式(l阶勒让德多项式),另一个发散级数解舍去..y1(x)退化为l=2n+1次2/6/20238第八章5)阶勒让德多项式∵

∴上式中k=1,2,…,2/6/20239第八章若选取则使得yl(1)=1,此时yl(x)称为l阶勒让德多项式由上式易得，、、、注:本征值问题本征值：本征函数：[Pl(x)的表达式在第十二章中要用]、…2/6/202310第八章§8.2正则奇点邻域方程的级数解柱贝塞尔方程(P153)1.正则奇点邻域方程的级数解4.柱贝塞尔方程(m=0或整数的情况)2.柱贝塞尔方程(和正整数的情况)3.柱贝塞尔方程(m=半整数的情况)2/6/202311第八章1正则奇点邻域方程的级数解（1）（2）当(1)与(3)总是线性无关的2)在正则奇点邻域上方程幂级数独立解或（3）1)方程的奇点x0:是p(x)高于一阶或q(x)高于二阶的极点.

正则奇点x0:(Fuchs富克斯定理)是p(x)不高于一阶的极点或q(x)

的不高于二阶的极点.在奇点x0邻域上运用级数解法是不方便的,故本课程只研究正则奇点邻域上的幂级数解.2/6/202312第八章3)指标方程p-1是p(x)在上展开式中的负一次幂项系数上展开式中的负二次幂项系数a)判定x0为正则奇点代入方程→各幂次系数为零→c)s1-s2=非整数，取系数递推公式中s=s1、s2分别给出y1、y2；若s1-s2=整数，仍取系数递推公式中s=s1、s2分别给出y1、y2，d)必要的讨论.4)求解步骤：b)将若二者线性相关，则另取代入方程从头开始；q-2是q(x)在2/6/202313第八章思考与讨论题1.何谓方程的常点？在常点邻域方程的幂级数解有怎样的形式？2.二阶线性齐次常微分方程在常点邻域的幂级数解法的主要步骤有哪些？其中要注意的要点是哪些？作业：p175：8.1(1)、(3)，8.22/6/202314第八章2柱贝塞尔方程(和正整数的情况)(在柱坐标系、球坐标系中求解定解问题时将遇到)在区域上解析，显然x0=0是的单极点，q(x)的二阶极点，所以x0=0是方程的正则奇点；1)2)设2/6/202315第八章

而∴—系数递推公式，(k=1,2,…)c0任意，s1=m,s2=-m,s1-s2=2m≠0或正整数2/6/202316第八章2)给出如下[其中利用了取则—m阶贝塞尔函数；给出第二个特解：—-m阶贝塞尔函数类似取2/6/202317第八章a)若m是非整数与非半整数时，与线性独立，通解b)m阶贝塞尔函数中m的对任何实数都适用，只是与线性相关.当m=整数时3)讨论：2/6/202318第八章3柱贝塞尔方程(m=半整数的情况)先讨论的情况：:,c0任意,所以2/6/202319第八章当取:时，推导同2，可得

当取时，常数任意2/6/202320第八章则1)可以验证：,显然它与线性无关,所以方程的通解为因此,在保证与线性独立的前提下,可取,则2)对的情况，可知与线性独立，则阶贝塞尔方程的通解为的初等函数表示见第十三章P285～286.；阶贝塞尔讨论：则2/6/202321第八章4柱贝塞尔方程(或整数的情况)=(当k+1-m=0或负整数时，Γ(k+1-m)→∞)它与线性相关,所以第二个特解应取为:经过P161～164的推导(推导过程较为复杂,故不作要求),可得与线性独立的第二个特解为阶诺依曼(Neumann)函数所以当m为0或正整数时，m阶贝塞尔方程的通解为综上所述：只要是实数，通解总可以写成上式2/6/202322第八章﹡§8.3高斯方程和库默尔方程(P167)

§8.4非齐次方程的通解(P172)非齐次方程：相应的齐次方程：1齐次方程的通解2非齐次方程的通解（1）（2）2/6/202323第八章若已知第一个特解为y1(x),则齐次方程的通解为只所以为通解,是因为上式中含有两个不定积分;若两个不定积分改为带有固定下限的积分，则上式为与y1独立的第二个特解.（3）由y1、y2组成的朗斯基行列式：证明:设y1、y2是独立特解，则（4）1齐次方程的通解2/6/202324第八章

再由(3)、(4)∴证毕.2/6/202325第八章2非齐次方程的通解含有两个积分常数是方程(1)的通解;而y1、y2分别是(2)的两个线性独立特解.设y3是(1)的任意特解（5）y1×上式-y3

×(3)式，令，则上式成为为求作如下代换：，2/6/202326第八章则上方程化为：而∴∴

由(5)与(6)式∴=（6）2/6/202327第八章由齐次方程的第二个特解∴此式中含有两个不定积分，所以实际上是非齐次常微分方程的通解.证毕.2/6/202328第八章[例]求方程解:化为一般形式(必须)易得:∴齐次方程的通解，所以第二个特解为