第9章机械振动和机械波

第九章

机械振动和机械波本章重点：9.1；9.2；9.5；9.6本章作业：机械振动：物体在某一位置附近所作的周期性往复运动。波动：振动状态在空间或媒质中的传播过程。简称为波。机械振动在弹性媒质中的传播称为弹性波。变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波。振动:描述物体状态的物理量在某一数值附近所作的周期性变化。

简谐振动是最简单、最基本的振动，是研究各种复杂振动的基础。

振动和波动是紧密联系的两种物质运动形式，振动的规律是研究波动的必备基础。9.1简谐振动物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就称为简谐振动。9.1.1简谐振动的特征和运动方程弹簧振子：一个质量可忽略的弹簧和一个刚体所组成的振动系统。下面以水平弹簧振子为例讨论。坐标原点O为平衡位置；取坐标轴x向右，所受弹性力为：负号表示弹性力F的方向与位移的方向相反，始终指向运动物体的平衡位置，故称之为线性回复力。1、受力特征

在线性回复力作用下物体沿x轴围绕平衡位置O点作周期性往复运动。（2）平衡位置是物体受力为零的位置。（1）位移是相对平衡位置的。说明2、动力学方程特征由牛顿第二定律，有：则有：加速度与离开平衡位置的位移大小成正比，方向相反。令：简谐振动的动力学微分方程注意：ω仅由系统本身决定，与振动情况无关。若某系统的运动规律满足上述微分方程，且ω由系统性质决定，则该系统做简谐振动。（该判断方法具有一般性，不仅适用于机械振动）。3、运动学方程（振动方程）由：可解得：或：简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。A—振幅（离开平衡位置的最大距离）ω—角频率（2π秒内振动次数或单位时间相位改变）—相位（描述运动状态的量）—初相位利用上述判据判断是否做简谐振动的步骤：(1)确定研究对象，分析受力。(2)找出平衡位置（受合外力为零的点），写出回复力（或回复力矩）的表达式。(3)写出动力学方程（利用牛顿第二定律或刚体定轴转动定律）。4、简谐振动的判椐若位移x，满足或或结论：如果质点所受的力可以表示为或质点的位移与时间的关系可以表示为或则质点做简谐振动。5、简谐振动的速度和加速度由：

1)v、a

与x

的ω相同。2)4)三者相位依次差π/2

。3)a

与

x方向相反，且成正比。说明对时间t求一阶和二阶导数，得9.1.2描述简谐振动的特征量(1)振幅A(2)角频率描述物体振动强弱的物理量描述振动状态恢复的快慢。周期T

:振动物体作一次完全振动（即一次往复运动）所经历的时间。单位：秒（s）频率ν：周期的倒数，即单位时间内物体振动的次数。单位：赫兹（Hz）则称为角频率或圆频率，单位为对于弹簧振子，固有周期固有频率(3)初相位、相位和相位差—t=0时的相位，反映初始时刻振动物体的运动状态。初相位—描述物体振动状态的物理量相位相位差：同相

两振动步调相反。①同相和反相两振动步调相同。反相

txoA1A2x1x2同相x2xox1t反相A1A2两个同频率的简谐振动：②超前和滞后x2比x1较早达到正最大。x1比x2较早达到正最大。(4)振幅和初相位的确定由：初始条件：写为：联立1)和2)式，得：b）仅由中之一不能决定，需由其中两个方程可求出。

a）

尚需满足1）和2）所决定的状态。注意例题1、单摆：质量m，摆长l，试分析单摆的运动规律。解：单摆受力如图所示。取逆时针方向为角位移θ的正方向，则重力沿摆球运动轨迹的切向分量为：负号表明该力的方向与角位移的方向相反。若θ很小，则有：即：摆球的切向运动方程为：因此，单摆在小角度下的摆动是简谐振动。其中：单摆的周期：

例题2、

一长为

l

的均匀细棒悬于其一端的光滑水平轴上，做成一复摆。此摆作微小摆动的周期为多少？

解：均匀细棒可看作刚体，分析所受力矩：取逆时针为正方向。θ很小，则：即：由转动定律：所以是简谐振动，其周期为：例题3、一质点沿x轴作简谐振动，其角频率。在t=0时刻，其初始位移，初始速度。求此简谐振动的表达式。解：质点的振动方程及速度表达式分别为则根据初始条件可得：将初始条件和角频率代入振动方程有所以因此可以确定所以该质点作简谐振动的表达式为例题4、一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。求此简谐振动的表达式。x/m解：质点作简谐振动，其振动方程及速度表达式分别为由振动曲线可知时，由图可知，即可以确定则该简谐振动的表达式为9.1.3简谐振动的旋转矢量表示法—振幅A

作坐标轴Ox,自O点作一矢量

OM

，用表示。

t

时刻与x轴的夹角—

相位ωt+

以恒定角速度ω

绕O点作逆时针转动

—角频率ω

在t=0时与x轴的夹角—初相

矢量的端点M

在x

轴上的投影点P

的坐标为：所以，P点的运动为简谐振动。P点的速度和加速度分别代表着简谐振动的速度和加速度。例题5、一作简谐振动的物体，其振动曲线如图所示。试写出该振动的表达式。解：振动方程为由振动曲线可知，振幅为t=0时，且其初始速度作旋转矢量图，如右图。可得其振动初相位为又t=1s时，由旋转矢量图可知：则振动方程为：例题6、一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12

m，周期T=2

s，当t=0时，质点对平衡位置的位移x0

=0.06m，此时向x轴正向运动。求：(1)此振动的表达式。(2)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间。

利用旋转矢量法求解，根据初始条件就可画出振幅矢量的初始位置，从而得到：

解

(1)取平衡位置为坐标原点。设振动方程为：(2)由旋转矢量图可知，从起始时刻到第一次质点通过原点，旋转矢量转过的角度为：

v0>0时，在3，4象限。v0

<0时，在1，2象限。

x0

>0

时，在1，4象限。x0<0

时，在2，3象限。讨论：9.1.4简谐振动的能量2、简谐振动的势能

1、简谐振动的动能3、简谐振动的总能量(以弹簧振子为例)振动能量曲线如右图①Ep与Ek

振幅相同，变化规律相同，周期相同，相位相反。②系统总能量守恒，与振幅的平方成正比，动能与势能相互转换，系统与外界无能量交换（无阻尼自由振动系统）③E∝A2，这是一切振动形式的共同性质。说明④将对时间求一阶导数，得即：对同一物理现象，用动力学观点分析得到的简谐振动的微分方程式和从能量观点分析得到的简谐振动的微分方程式，结论是相同的。9.2简谐振动的合成9.2.1同方向同频率的两个简谐振动的合成：则合振动的运动方程：设质点同时参与两个独立的同振动方向，同频率的简谐振动有:令其中：

合成结果仍为简谐运动合振动与分振动在同一方向，且有相同频率。说明：

用旋转矢量法研究同方向、同频率简谐振动的合成：由旋转矢量图可以直接得到合振动的振幅及初相位。讨论：(1)

(2)同相，合振幅最大反相，合振幅最小当A1

=A2时，质点静止。(3)一般情况（相位差任意）相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用此动画有错误9.2.2同方向不同频率的两个简谐振动的合成

两振动的相位差随时间变化。一般情况下，合振动不再是简谐振动。合振动的运动方程为：设两振动的振幅相同，都为A0，初相相同为。两频率都较大，而频率差很小的情况。合振幅出现时大时小的现象—拍现象讨论:x1x2ttxt当

都很大，且相差甚微时，可将视为振幅变化部分，合成振动是以为角频率的周期振动。单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频。拍现象的应用：

用音叉振动校准乐器测定超声波测定无线电频率调制高频振荡的振幅和频率等9.2.3同频率相互垂直的两个简谐振动的合成消去参数t，得轨迹方程。椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差。运动方程：轨迹：1、两个分振动同相。合运动是简谐振动，角频率与初相不变。运动方程：合运动是简谐振动，角频率与初相不变。轨迹：2、两个分振动反相轨迹：y比x相位超前/2，椭圆轨道运动的方向是顺时针，即右旋的。3、轨迹：y比x相位滞后/2，椭圆轨道运动的方向是逆时针，即左旋的。4、9.2.4不同频率相互垂直的两个简谐振动的合成（1）若两分振动的频率差异很小，可近似看成同频率的合成，不过相位差不是定值而是在缓慢地变化，故合振动是不稳定的，由直线→椭圆→直线，重复进行。xA1yo-A1A2-A2A2xA1yo-A2-A1A1yoA2x-A2-A1（2）若两分振动的频率差别较大，但有简单的整数比，则合振动的轨迹是稳定的封闭曲线（李萨如图形）。9.3阻尼振动、受迫振动和共振9.3.1阻尼振动1、阻尼的分类a、摩擦阻尼：机械能转化为热能。b、辐射阻尼：能量辐射出去，形成波（音叉、乐器等）。

实验表明当速度不太大时：为阻尼系数

。动力学方程：振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。2、阻尼振动的动力学方程：粘滞阻力：由系统本身的性质决定。

固有角频率由阻尼系数决定。阻尼因子(1)时，阻尼较小（欠阻尼），此方程的解：式中：3、阻尼振动的动力学方程的解：欠阻尼特点：

振幅随时间t

作指数衰减。近似为简谐振动。阻尼振动周期比系统的固有周期长。临界阻尼：物体不能往复运动的临界情况。从周期运动变为非周期振动。(3)时，为临界阻尼。应用：阻尼装置可应用于机器减振或仪器指针调节。(2)时，阻尼较大（过阻尼）。无振动发生、非周期运动欠阻尼临界阻尼过阻尼9.3.2受迫振动系统在周期性外力持续作用下所作的等幅振动。1、受迫振动的定义阻尼力:弹性力:2、受迫振动的运动微分方程策动力：在阻尼较小的情况下，微分方程的解为：阻尼振动，随时间的推移而消失简谐振动，稳定解。

经一段时间受迫振动变为以策动力的频率为振动频率的简谐振动。其振幅为：初相位：9.3.3共振

当策动力的角频率为某一定值时,受迫振动的振幅达到最大值的现象称为位移共振。共振的振幅共振的角频率

位移共振时，振幅最大，故振动系统能量最大，系统形变最大。1、位移共振：2、速度共振：

当策动力的角频率为某一定值时,受迫振动的速度振幅达到最大值的现象称为速度共振。共振的角频率注意：位移共振与速度共振，条件不同。

速度共振时，速率最大，系统动能最大。也称能量共振。共振的速度振幅速度振幅随阻尼的减小而增大,但共振频率皆为3、共振的危害及应用：利：乐器利用之可提高音效、电磁共振选台(收音机)、核磁共振。害：桥梁、建筑物等。1940年11月7日塔科玛海峡大桥的共振断塌9.4机械波的产生和传播9.4.1机械波的产生3、横波和纵波(1)横波:传播方向与振动方向垂直（如：绳上波）

任一波，例如水波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。2、机械波产生的条件:

(1)要有振源(波源)；(2)要有传播振动的弹性媒质。1、机械波:机械振动在弹性媒质中的传播。(2)纵波:传播方向与振动方向平行（如：声波）横波有波峰和波谷；只能在固体中传播。纵波有疏部和密部；可在固体、液体和气体中传播。由弹性力结合的连续媒质注意：波动只是振动状态在媒质中的传播，不论横波还是纵波，在传播过程中，媒质中各质点并不随波前进，只是在各自的平衡位置附近振动。(2)波前:某时刻在最前面的波面(3)波射线:沿波的传播方向作的射线,简称波线在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直.(1)波面:t时刻相位相同的点组成的空间曲面(波阵面)4、波的几何描述——波面、波线、波前波面波线波线波面可用任意一条波线上的波动情况代表整个波的传播情况。9.4.2描写波动的物理量

横波:相邻的两个波峰（或波谷）之间的距离;

纵波:相邻的两个密部（或疏部）之间的距离。波长反映了波的空间周期性。1、波长:同一波线上相邻的、相位差为2π的两质元间的距离。

即一个完整波形的长度.（）2、周期：波前进一个波长的距离所需要的时间，或一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间（T

）周期反映了波的时间周期性。3、频率：单位时间内波前进距离中所包含的完整波的数目。（

）4、波速：在波动过程中，某一振动状态在单位时间内传播的距离叫做波速，也称相速。（u

）②液体、气体中(仅有纵波)B——液体或气体的容变弹性模量ρ——媒质的密度①固体中横波:纵波:其中:G——切变弹性模量Y——杨氏弹性模量

——固体媒质的密度③柔绳和弦线中横波其中:F—张力μ—质量线密度说明：3）波长由波源和媒质共同决定。同一频率的波其波长将随媒质的不同而不同。仅由波源决定，与媒质无关。1）2）波速的大小取决于媒质，与频率无关。5、波程差对应的相位差波线上相距为的两点间的相位差为由于波线上单位长度对应的相位差为，所以：9.5平面简谐波

在平面波的传播过程中，若波源作简谐振动，媒质中各质元均按余弦（或正弦）规律振动，则此平面波称为平面简谐波。9.5.1平面简谐波的波函数1、平面简谐波平面简谐波是一种最简单、最基本的波动过程。2、波函数

波动过程中，各质元的位移y随时间t和质元所在空间位置x变化的函数关系称为波函数，又称为波的表示式。x表示不同质元在x轴上的坐标。y表示离开平衡位置的位移。3、平面简谐波波函数的建立

在理想无吸收的均匀无限大媒质中，要建立平面简谐波的波函数，只要得到波线上任意点的振动表达式即可。

要写出波线上任意点P的振动表达式，可从点P与点O之间的波程差或时间差两个方面来考虑:（假设波沿x正方向传播）（1）由波程差求波函数点P的相位落后于点O的相位，落后的相位为：设O点质元的振动方程为则P点的振动方程为：由于点P是任意一点，因此波动过程中任意一点的振动位移随时间的变化规律为此即沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数。（2）由时间差求波函数

点P的振动时间落后于原点O。振动从点O传到点P所需的时间为P点在t时刻重复的是O点t-△t时刻的振动状态：波函数的不同形式波函数9.5.2波函数的物理意义1、x确定时（x=x0）为该处质点的振动方程，对应曲线为该处质点振动曲线。2、t确定时（t=t0）为该时刻各质点位移分布，对应曲线为该时刻波形图。x确定时t确定时其中:注意:波形图与振动曲线的区别3、t,x都变化时，表示不同时刻,不同平衡位置处各质元的位移情况，即所有质元位移随时间变化的整体情况

—行波。

波形曲线(波形图)波函数描述了波形(相位)的传播，速度为u在△t时间内，整个波形以速度u向前推进了△x=u△t。例题1、一平面简谐波沿x轴的正方向传播，已知其波函数为

(SI)求：(1)波的振幅、波长、周期和波速；(2)媒质中质元振动的最大速度；(3)画出t1=0.0025s和t2=0.005s时的波形曲线。

解:(1)将已知的波函数写成标准形式将上式与比较，可得(2)媒质中质元的振动速度为其最大值为(3)t1=0.0025s时，波形表达式为t2=0.005s时，波形表达式为y/mt/s波形图如下所示：例题2、一平面简谐波以400m/s的波速沿x轴正方向传播。已知坐标原点O处质元的振幅为0.01m，振动周期为0.01s，并且在t=0时刻，其正好经过平衡位置沿正方向运动。求：(1)波函数；(2)距原点2m处的质点的振动方程；(3)若以2m处为坐标原点，写出波函数。解：(1)由题意，原点处质元在t=0时，初始位移y0=0，初始速度v0>0，根据旋转矢量法得其初相位为因此O点的振动方程为所以其波函数为(3)如果坐标原点设在2m处，则由(2)知新坐标原点振动方程所以新坐标下的波函数为例题2、一平面简谐波以400m/s的波速沿x轴正方向传播。已知坐标原点O处质元的振幅为0.01m，振动周期为0.01s，并且在t=0时刻，其正好经过平衡位置沿正方向运动。求：(1)波函数；(2)距原点2m处的质点的振动方程；(3)若以2m处为坐标原点，写出波函数。(2)将x=2m代入波函数，得到2m处质点的振动方程为例题3、有一平面简谐波沿x方向传播，已知P点的振动规律为，在下列四种坐标选择下，写出波函数及距P点为b的A点的振动方程。解：四种情况下A点的振动都比P点落后，根据相位差可写出它们对应的波函数：（此时A点为任意点，坐标为x）P、A间距为b时，四种情况下A点的振动方程均为：A点相位比P点落后例题4、一平面简谐波在t=0时的波形如图(a)所示，在波线上x0=1m处质元P的振动曲线如图(b)所示。求该平面简谐波的波函数。y/mx/m图(a)y/mt/s图(b)解:由图(a)可得由图(b)可得由图(b)可知P点处质元在t=0时向下运动，因此波是沿x轴负方向传播的。则对于O点处，t=0时：由旋转矢量法可得O处质元的初相为所以波函数为例题5、一平面简谐波在t=1s时的波形如图所示。若已知波的振幅A、波速u和波长λ，求：(1)该简谐波的波函数；(2)P点处质点的振动方程。yx对于x=0处的质点，在t=1s时：解：(1)由于波沿x轴负方向传播，设波函数为由旋转矢量法：所以波函数为:(2)将代入波函数，得P点处质点的振动方程为：9.5.3波动方程将平面简谐波的波函数对时间t和对x分别求二阶偏导数，有:平面波波动方程推广:任何物理量满足上式，则以波动形式传播。9.5.4波的能量波的传播过程:(1)振动状态的传播(相位)(2)能量的传播1、波的能量：以棒内简谐纵波为例：

细长棒，沿x轴放置，密度、横截面为S。任取质元dx，质元的体积为，质量为。设平面纵波的波函数为（设）：则质元的振动速度为质元的振动动能为（1）质元的动能（2）质元的势能

波在传播过程中，质元不断受到相邻质元的挤压和拉伸而产生弹性形变，因而具有弹性势能。

假设在t

时刻，质元左端的振动位移为y，右端的位移为y+dy，则质元的伸长量为dy，其应变为①根据胡克定律(Y为杨氏模量)又考虑到可以得出则质元的弹性势能为将①式代入，结合，整理可得质元的势能为：（3）质元的总机械能:（4）能量密度:（单位体积内波的能量）（5）平均能量密度（能量密度在一个周期内的平均值）说明①的相位、大小均相同；机械能不守恒。(注意与振动能量相区别)所以，波动过程中，某个质元的动能和势能同时达到最大（平衡位置处），也同时达到最小（最大位移处），而总机械能随时间作周期性变化。②波动是能量传递的一种方式，能量以速度

u传播。2、波的能流密度：

（描述波的能量传播的物理量）（1）能流：单位时间内垂直通过波传播方向上某一面积的能量称为通过该面积的能流。（2）平均能流：单位时间内垂直通过某一面积的平均能量。

如右图。dt

时间内，通过面积S的平均能量就等于体积Sudt中的能量。

所以，单位时间内通过面积S的平均能量，即平均能流为单位：W波的能流也称为波的功率。（3）能流密度:单位时间内通过垂直波传播方向单位面积的平均能流，称为能流密度或波的强度。单位:W/m2

能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。

波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量。吸收的能量转换为媒质的内能和热。因此，波的振幅要减小、波的强度将减弱，这种现象称为波的吸收。（3）波的吸收：α为吸收系数，取决于媒质和波的频率9.6波的叠加原理波的干涉9.6.1波的叠加原理当几列波在媒质中传播时：不论是否相遇，各列波仍将保持其原有的频率、波长、振动方向等特征继续沿原来的传播方向前进，不受其它波的影响。在几列波相遇处，质元的振动是各列波单独存在时对该质元所引起振动的合成。

——波的叠加原理——波传播的独立性原理

能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。注意：波的叠加原理仅在弱波条件时成立，强冲击波则不成立。遵守叠加原理的波称为线性波，否则称为非线性波。9.6.2波的干涉1、干涉现象:

在一定条件下，两波相遇，在媒质中某些位置的点振幅始终最大，另些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变，这种现象称为波的干涉现象。2、产生干涉的条件：两波源具有恒定的相位差。两波源的振动方向相同。两波源具有相同的频率。满足上述条件的称为相干波。3、干涉加强、减弱条件：设有两个频率相同的波源S1

和S

2

传播到P

点引起的振动为：在P

点的振动为同方向同频率振动的合成。由叠加原理，P点合振动为：其中：干涉加强的条件干涉减弱的条件当两波源的初相位相同时，相干条件可写为：干涉加强干涉减弱

例题1、如图所示，S1和S2是两相干波源，相距1/4波长，S1比S2的相位超前。设两列波在S1、S2连线方向上的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点处的合成波的强度如何？又在S2外侧各点处的强度如何？解：(1)

S1外侧各点以任意点M表示，两波在此相遇时的相位差为：所以在S1外侧各点的合振幅A=0，波的强度也为零。(2)S2外侧各点以任意点N表示，两波在此相遇时的相位差为：所以在S2外侧各点的合振幅A=2A0，合振动强度:为两波源单独存在时强度的4倍。

解选S1处为坐标原点O，向右为x轴正方向,设点S1

的振动初相位为零,由已知条件可得波源S1和S2作简谐振动的运动方程分别为:S1

发出的向右传播的波的波函数为:S2

发出的向左传播的波的波函数为:

例题2、在同一媒质中相距为20m

的两平面简谐波源S1

和S2

作同方向，同频率(=100Hz

)的谐振动，振幅均为A=0.05m，点S1

为波峰时，点S2

恰为波谷，波速u=200m/s

。求：两波源连线上因干涉而静止的各点位置。因干涉而静止的点的条件为:化简上式,得:所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为:将代入,可得:9.6.3驻波（驻波是干涉的特例）1、驻波:两列振幅相同，而传播方向相反的相干波，其合成波是驻波。

设有两列相干波，振幅相同，初相皆为零，分别沿x轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为：2、驻波的形成:其合成波称为驻波，其表达式：整理可得：驻波方程

各点作频率相同、振幅不同的简谐振动。

振幅为随x变化3、驻波的特征：（1）波节和波腹：波节：振幅为零的点称为波节。波腹：振幅最大的点称为波腹。两相邻波节间的距离

/2。两相邻波腹间的距离

/2。相邻波节与波腹间的距离/4。的各点。即:波节的位置为：的各点。即:波腹的位置为：（应用）：可用之测量波腹间的距离，来确定波长。（2）相位：（3）波形：相位为相位为*在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。

结论：*两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。波形不传播。能量不传播——“驻”驻波表达式中不含项，所以驻波不是行波。分段振动

当一列波从波疏媒质入射到波密媒质的界面时，反射波在反射点有π的相位突变，等效于波多走或少走半个波长的波程，这种现象称为半波损失。弹性波：ρu

较大的媒质称为波密媒质；

较小的媒质称为波疏媒质。波疏媒质波密媒质形成的驻波在界面处是波腹。无半波损失无半波损失密疏波疏媒质波密媒质形成的驻波在界面处是波节。半波损失半波损失密疏9.6.4半波损失

例题3设入射波的波函数为，在x=0处发生反射，反射点为一自由端，求：（1）反射波的波函数；（2）合成波（驻波）的波函数，并由合成波的波函数说明哪些点是波腹，哪些点是波节？

解：（1）依题意，在x=0处反射，因此入射波在反射点的振动方程为

反射方向上任意一点P比反射点落后相位，又由于无半波损失，因此反射波的波函数为（2）合成波的波函数为显然，那些点，振幅最大(2A)，即波腹；

的那些点，振幅最小(0)，是波节。例题4一列沿x轴正方向传播的入射波的波函数为。该波在距坐标原点O为x0=5λ处被一垂直面反射，如图，反射点为一波节。求：(1)反射波的波函数；(2)驻波的表达式；(3)原点O到x0间各个波节和波腹的坐标。解（1）从入射波的波函数可以确定在原点的振动方程为反射波在O点的振动相位比入射波在O点的振动相位要落后所以反射波在O点的振动方程为据此可写出反射波的波函数反射波的波函数为：（2）驻波表达式为（3）因为原点O和x0=5λ处均为波节，鉴于相邻波节的间距为λ/2，可知各波节点的坐标为又两波节之间为一波腹，故波腹点的坐标为9.7惠更斯原理波的衍射9.7.1惠更斯原理惠更斯提出:

媒质中波动传播到达的各点都可以看作是发射子波的波源，在其后的任意时刻，这些子波波面的包络（与所有子波的波前相切的曲面或曲线）就是新的波前，这就是惠更斯原理。荷兰物理学家惠更斯(C.Huygens，1629-1695)球面波平面波惠更斯原理适用于任何形式的波动。

波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘前进，这种现象称为波的衍射。9.7.2波的衍射衍射现象是波动的重要特征之一。衍射现象显著与否，与障碍物的大小有关。波的衍射波长相同的水波通过宽度不同的窄缝靠近狭缝的边缘处，波面弯曲，波线改变了原来的方向，即绕过了障碍物继续前进。AB可用惠更斯原理定性解释波的衍射现象9.8多普勒效应一、多普勒效应如果波源或观察者或两者都相对于媒质运动，并且在二者连线方向上有相向或相反的运动分量时，则观察者接收到的频率将不同于波源发出的频率，这种现象称为多普勒效应。波源频率：单位时间内波源振动的次数或单位时间内发出的“完整波”的数目。观察者接收到的频率：观察者在单位时间内接收到的

“完整波”的个数。波的频率：单位时间内通过媒质中某点的“完整波”的数目。首先区别下面三种频率:二、三种不同情况下频率的变化表示波源相对于媒质的运动速度。表示观察者相对于媒质的运动速度。表示媒质中的波速三种速度1、波源相对于媒质静止，观察者以速度vR相对于媒质运动

观察者接收到的频率（单位时间内接收到完整波的个数）:①观察者以速度vR

接近波源S：波在媒质中传播时的波长为。单位时间内波相对于观察者传播的距离:波源不动：波的频率

等于波源的频率。②观察者以速度vR离开波源S：表明:观察者接收到的频率提高。同理可得观察者接收到的频率：特例：即观察者与波面同速运动，接收不到声波。表明:观察者接收到的频率降低。当时，①若波源S以速度vs接近观察者：2、观察者静止，波源相对于媒质以速度vs

运动波在媒质中的波长：波的频率为：波长:波传播时,在同一波线上两个相邻的相位差为2

的质元之间的距离。观察者静止：观察者接收到的频率等于波的频率。波被挤压②若波源S以速度vs离开观察者，

表明:观察者接收到的频率升高。表明:观察者接收到的频率降低。同理可得观察者接收到的频率：由于观察者不动，则观察者接收到的频率等于波的频率

：3、波源和观察者同时相对媒质运动：①当波源和观察者相向运动时：观察者接受到的频率为：②当波源和观察者彼此离开时，观察者接受到的频率为：利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速、振动体的振动和潜艇的速度用来报警和监测车速在医学上，如做超声心动、多普勒血流仪。马赫波：当波源的速度超过波的速度时，波源前方不可能有任何波动产生。如冲击波。多普勒效应的应用例题1、当汽车迎着一固定波源驶来时，波源向汽车发射频率为100kHz的超声波。相对波源静止的观察者测得从汽车反射回来的超声波的频率为110KHz。已知空气中声速u=340m/s。求：汽车行驶的速度v。

解:波源：固定波源；静止观察者：汽车；向着波源运动。速度为v

。[第一步]所以汽车接收到的频率：根据[第二步]观察者：人（接收器），静止。根据解得波源：汽车；向着观察者运动。汽车发出的波的频率即是它接收到的频率

解:在式中已知u=330m/s，vsA=0，