第五章第2-4节假设检验

假设检验假设检验的基本概念正态总体均值的假设检验正态总体方差的假设检验引例[1]某厂有一批产品，共200件，须经检验合格才能出厂，按国家标准，次品率不得超过3%，今在其中任意抽取了10件，发现这10件中有2件是次品，问这批产品能否出厂？（即这批产品的次品率“”是否成立？）[2]设箱中有红白两种颜色的球共100个，甲说这里面有98个白球，乙从箱中依次有放回地任取两个,发现两个都是红球，问甲的说法是否正确？引例[3]根据观察一批零件上的疵点数得到如下数据：疵点数频数问：该批零件上的疵点数是否服从泊松分布？假设检验的定义

从样本值出发去判断关于总体分布的一个“说法”是否成立，此处，称“说法”为“假设”。假设检验的分类

某旅游机构根据过去资料对国内旅游者的旅游费用进行分析,发现在10日的旅游时间中,旅游者用的车费、住宿费、膳食费及购买纪念品等方面的费用X是一个近似服从正态分布的随机变量，其平均值为1010元，标准差为205元。而某研究所抽取了样本容量为400的样本，作了同样内容的调查，得到样本平均数为1250元。若把旅游机构的分析结果看作是对总体参数的一种假设，这种假设能否接受？析：此题目即通过样本数据信息判断X的期望μ=1010元是否正确一般用H0表示所提出的假设，称之为原假设用H1表示与原假设对立的假设，称之为备择假设从而此题有H0：μ=1010H1：μ≠1010假设成立，则用X～N（1010，2052）从而样本均值统计量故取α=0.05,则即即Z落在区间(-1.96,1.96)之外的概率仅有0.05,这是一个很小的概率，在一次试验当中几乎是不可能发生的。现代入样本数据计算得故我们有理由怀疑H0：μ=1010即认为平均费用不是1010元。假设检验的基本思想

—小概率事件原理小概率事件原理

小概率事件在一次试验当中几乎不会发生。一般认为概率小于或等于0.05的事件为小概率事件。

设待检验的假设为,先假定成立，若由样本观测值导致了不合理（小概率事件发生了）的现象发生，则认为假设不成立，即应拒绝，否则应接受，即不能拒绝。假设检验中的否定域和接受域

设在原假设成立条件下，得出样本统计量落入某个区域W的概率α

很小，从而由样本观测值计算的统计量若落入该区域，则认为假设不成立，即应拒绝，称区域W为H0拒绝域（否定域）。假设检验的主要任务：在给出的小概率α下把原假设的否定域找出来。假设检验中的两类错误

由于检验法则是依据样本作出的，因此假设检验的结果可能犯两类错误：

第一类错误：当原假设为真时，作出的决定却是拒绝，即“弃真”，犯这类错误的概率记为，即

第二类错误：当原假设不正确时，作出的决定却是接受，即“取伪”，犯这类错误的概率记为，即

称为显著性水平．也是小概率事件发生的概率，的大小依具体情况确定，通常取

=0.05，0.01．

说明

在确定检验法则时，应尽可能使犯两类错误的概率都较小．但是，一般说来，当样本容量给定以后，若减少犯某一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往会增大，一般原则：控制犯第一类错误即“弃真”的概率，即给定然后通过增大样本容量来减小.假设双(尾)侧检验单侧（尾）检验H0m=m0mm0mm0H1m≠m0m<m0m>m0双侧检验与单侧检验

把待检验的假设称为原假设（零假设或基本假充），把原假设的对立面称为备择假设（对立假设）,记为。假设检验的一般步骤1、确定原假设和备择假设。2、选择适当的统计量，确定当成立时的分布形式。3、对给定的显著水平，确定否定域使得：

(W形式须表示否定之意)4、代入样本观测量计算检验统计量的值.5、作出结论：注:一般情况下,人们总是把希望证明的假设作为备择假设.

某厂为了提高电池的寿命进行了工艺改革。从生产的一大批产品中随机抽取10只，测得其寿命均值为h，S=4.8h.已知旧工艺条件下的电池服从正态分布N（200,25），试问新产品与旧产品的寿命是否一致？

解：检验由于新工艺的未知，因此选择统计量，故拒绝H0。令α=0.05，得正态总体均值的假设检验

一、单个正态总体均值的假设检验

假设总体，是来自总体X的样本，为样本均值，检验假设

当H0成立时，检验统计量

对于给定的显著性水平，拒绝域为

(1)总体方差已知时，总体均值的假设检验

某厂商声称其新开发的合成的钓鱼线的强度X服从正态分布,且平均强度为8千克,标准差为0.5千克.现从中随机抽出50条钓鱼线,测试结果为平均强度为7.8千克.问:能否接受该厂商的声称?

解：检验对于给定的显著性水平α=0.01,当H0成立时,有故拒绝H0。计算P值代入样本数据计算得及

解：检验问在

水平下检验折断力均值有无变化?代入样本数据计算得故拒绝H0。计算P值

eg.某车间生产钢丝,有X表示钢丝的折断力,由经验判断,其中.今换了一批材料,从性能上看,估计折断力的方差不会有什么变化,但不知道折断力的均值和原先有无差别.现抽得样本,测得其折断力为:当H0成立时

假设总体，是来自总体X的样本，为样本均值，检验假设

对于给定的显著性水平，拒绝域为

检验假设

对于给定的显著性水平，拒绝域为

一、单个正态总体均值的假设检验

(1)总体方差已知时，总体均值的假设检验总体均值的假设检验10年前的研究指出,1岁男婴的身高单位为:cm.现在随着生活条件的改变,很可能平均身高和过去不同了.现随机抽200位1岁男婴,调查数据得平均身高为79.87cm,请问根据这组调查数据,是否可以认为男婴的平均身高增高了?

解：检验对于给定的显著性水平α=0.01,否定域为代入样本数据计算得，故拒绝H0,接受H1即可以认为男婴的平均身高增高了.总体均值假设检验

假设总体，是来自总体X的样本，为样本均值，为样本方差。检验假设

当H0成立时，检验统计量

对于给定的显著性水平，拒绝域为

一、单个正态总体均值的假设检验

(2)总体方差未知时，总体均值的假设检验某乡统计员报告，其所在乡平均每个农户的家庭年收入为5000元，为核实其说法，县统计局从该乡随机抽取25户农户，得到平均年收入为4650元，标准差为150元，假定农户的年收入X服从正态分布。试在α=0.05的显著水平下检验乡统计员的说法是否正确。

解：检验对于给定的显著性水平α=0.05,否定域为样本容量n=25,故否定域为：代入样本数据

计算得：故拒绝H0，即认为乡统计员的说法不正确。

解：检验代入样本数据

计算得故不应拒绝H0,即认为包装机工作正常。

水泥厂用自动包装机包装水泥,每袋额定重量是50kg,某日开工后随机抽查了9袋,称得其重量如下:设每袋重量,问该日包装机工作是否正常?当H0成立时故显著性水平时,H0的否定义域为:总体均值的假设检验

假设总体，是来自总体X的样本，为样本均值，为样本方差。检验假设

对于给定的显著性水平，拒绝域为

检验假设

对于给定的显著性水平，拒绝域为

一、单个正态总体均值的假设检验

(2)总体方差未知时，总体均值的假设检验Eg.某厂生产的一种金属线,其抗拉强度的均值为10620千克.据说经过工艺改进后其抗拉强度有所提高.为检验,从新生产的产品中,随机抽取了10根,测得平均抗拉强度为10631千克,标准差为81千克,高抗拉强度X服从正态分布,问:在的显著性水平下,可否认为抗拉强度比过去提高了?

解：检验假设

对给定显著性水平，否定域为：

样本容量n=10,故否定域为

代入样本数据

计算得：故接受H0，即认为抗拉强度没有明显提高。设为取自总体N(1，12)的样本，

为取自总体N(2，22)的样本，分别表示两个样本的均值与方差

总体均值的假设检验假设检验

二、两个正态总体均值之差的假设检验

(1)两个总体方差12,

22已知时，总体均值的假设检验相互独立，故对给定的显著性水平，否定域为：取检验统计量则当成立时，

类似

对于给定的显著性水平，拒绝域为

检验假设

对于给定的显著性水平，拒绝域为

检验假设

[例7.7]

装配一种小部件可采用两种不同的生产工序,据称,装配时间服从正态分布,且根据过去经验,工序1的标准差为2分钟,工序2的标准差为3分钟.为了研究两种工序的装配时间是否有差异,各抽10个样本进行试验,检查结果为分钟,分钟,试以进行显著性检验.

解：检验假设

等价于检验假设

对于给定的显著性水平

,否定域为

代入样本数据

计算得：故接受H0，即认为两种工序在装配时间之间没有显著差异.及

当成立时，（2）方差未知，但时，均值差的假设检验假设检验

取检验统计量故对给定的显著性水平，否定域为：

类似

对于给定的显著性水平，拒绝域为

检验假设

对于给定的显著性水平，拒绝域为

检验假设

[例7.8]

为比较两种牧草对乳牛的饲养效果,随机从乳牛群中选出12头,喂以脱水牧草；选出13头喂以枯萎的牧草.根据一个月的观察,得到食用枯萎牧草的乳牛的平均每日乳量磅,；食用脱水牧草的乳牛的平均每日产乳量磅.问这些资料是否足以证明食用枯萎牧草的乳牛的平均牛乳产量大于食用脱水牧草的乳牛?(设)试以检验.

解：检验假设

对给定的显著性水平，否定域为：代入样本数据

计算得：故接受H0，即不认为食用枯萎牧草的乳牛的平均牛乳产量大于食用脱水牧草的乳牛的产量.

及查表得:故否定域为:总体方差的假设检验

假设总体，是来自总体X的样本，为样本均值，为样本方差。检验假设选取统计量

故对于给定的显著性水平，拒绝域为

一、单个正态总体方差的假设检验当H0成立时,

[例7.16]

某车间生产铜丝,生产一向比较稳定。今从中随抽取10根,测得铜丝折断力的均值为,方差为,问:在的显著性水平下,可否仍然相信该车间生产的铜丝折断力方差仍然为64?

解：检验假设

选取统计量

对给定显著性水平，H0否定域为：

查表得代入样本数据

计算得：故接受H0，即可认为方差仍为64.故否定域为:总体方差的假设检验

假设总体，是来自总体X的样本，为样本均值，为样本方差。检验假设选取统计量

对于给定的显著性水平，拒绝域为

一、单个正态总体方差的假设检验检验假设

对于给定的显著性水平，拒绝域为

设为取自总体N(1，12)的样本，

为取自总体N(2，22)的样本，分别表示两个样本的均值与方差

总体方差的假设检验假设检验

二、两个正态总体方差之比的假设检验选取统计量则当H0成立时

对给定的显著性水平有对给定的显著性水平的否定域为:总体方差的假设检验检验假设选取统计量

对于给定的显著性水平，拒绝域为

一、双正态总体方差比的假设检验检验假设

对于给定的显著性水平，拒绝域为

[例7.18]

某种脱脂乳品在处理前后分别取样,分析其含脂率,得到数据如下:

解：检验假设

对于给定的显著性水平

,否定域为处理前处理后假定处理前后含指率都服从正态分布,问处理前后含指率方差是否不变?选取统计量代入样本数据

计算得：

故接受H0，即认为处理前后方差没有显著变化.查表得:故否定域为0000

<

0

>

0单正态总体均值检验Z-检验

(2已知)原假设

H0备择假设

H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域0000

<

0

>

0T检验法

(2未