数学素养与数学教学 (简)

科学数学学科数学教育数学

数学

三种形态数学是一座蕴藏智慧的宝库，数学教育是一把开发智慧的钥匙，而数学教师则是这座宝库的开锁人，其责任重大，影响深远。当把所学的知识都忘记了以后，剩下的就是素质。

——爱因斯坦人们通过数学教育及自身的实践和认识活动，所获得的数学知识、技能、能力、观念和品质等常称为数学素养。

数学教育对人的教育作用主要体现为：培养科学的世界观；培养正确的人生观；培养高尚人格情操；培养深刻理性精神；培养图强意志毅力。数学教育的任务是使教育适合于数学；教育数学的任务是使数学适合于教育．

义务教育阶段数学教学是使学生

“能在教师指导下，从日常和现实生活中发现并提出简单的数学问题，认识了解一些简单的数学知识，产生数学兴趣，会数学的思考问题。”

可见这阶段数学教学重在突出“纯数学”的相对静态的东西，同时兼顾动态的东西。

从“数学教学”到“数学教育”，虽仅一字之差，但“数学教育”以其丰富的内涵充分反映着数学课程的根本变革，而这正是新课改的基础，从“数学教学”到“数学教育”才是数学新课程的根本变革，因此从“数学教学”到“数学教育”的变革成为历史必然。数学素养数学教育与绵阳师范学院唐再良教授一、问渠那得清如许，为有源头活水来--数学教育现状面面观教育对象的变化—421综合症1.教育面临的巨大变化教育内容的变化—知识爆炸知识传播的变化—现代媒体人才需求的变化—素质能力2.教师学习与教学水平学习力就是竞争力，你可以不学习，但是别人不会不学习。要给孩子一杯水，老师要有一桶水。要给孩子一桶水，老师要有一缸水。老师只有固定量的水是不够的，应该有涓涓不断的细流才行。掌握一门教育艺术，比掌握一门学科知识更难。陶行知：有些人一做了教师，便专门教人而忘记自己也是一个永久都不会毕业的学生。因此很容易停止长进，甚而至于未老先衰。只有好学，才是终身进步之保险，也就是常青不老之保证。学然后知不足，教然后知困。教师是天生的职业学习者，是天生的职业读书人。只有活到老、学到老，才能一辈子“站直了”教书。12121212二分之一的抽象与具体（1）理解数学3.数学教师的基本能力14141414四分之一的抽象与具体01020304文化属性：人类以独特思维方式进行的创造活动对象本质：数量关系和空间形式活动特征：抽象--构建关系发展动力：实用需要、科学需要、审美需要、哲学需要价值表现：人类文化的一个支点数学究竟是什么？课程标准：数学是研究数量关系和空间形式的科学你可以热爱数学，你也可以厌恶数学，但你的生活中不能没有数学。因为没有数学，是你生活的错误！为什么把0作为自然数？A、因为0具有自然数的性质B、因为0是测量的起点C、为了使自然数能表示空集

的基数D、因为0是数轴的原点思考？

正确答案B很多人选择了“A、因为0具有自然数的性质”。这说明，这些教师不了解由于集合论的创立而引起的自然数概念的发展。为什么0不能做除数？A、因一个数除以0，商是无穷大B、因为0/0是不定式C、因为0做除数，商无法确定D、因为任何数乘0都得0

正确答案C，0做除数没有意义是一个大家都知道的结论。0做作为除数要么商不存在，要么商不唯一，即商无法确定。为什么要把角的两边定义为射线？A、因为角的大小与边的长短无关B、因为要用角表示方向C、因为边长不同的角也可以重合D、因为多边形的边长可以是任意长正确答案B因为表示方向是角的主要功能之一。下列说法正确的是：A、立正站立的人是一个对称图形B、比10多1/2的数是C、求三角形面积必须知道底和高D、数学归纳法是完全归纳法

正确答案B，

不敢选择唯一正确答案“比10多1/2的数是”的人，就是把分数的概念理解错了。下列说法正确的是：()A.必须是平均分才能用分数表示

B.分数产生于平分整体

C.分数是为了表示小于单位的量而引入的

D.数的乘方的运算结果叫积C

正确答案C。分数的概念虽然简单但不易于被理解。人类历史上最早产生的数是自然数（正整数），以后在度量和平均分时往往不能正好得到整数的结果，这样就产生了分数。因此分数是为了表示小于单位的量而引入。数的乘方的运算结果叫幂。某学校数学期末试题

中有一道题如下：果篮里有7个苹果，请将它分放在果盘里，每个果盘放两个，问可以分几个果盘？还余几个苹果？

学生解答如下：

教研会上，有老师提出问题，这个算式怎么读？观点1:7除以2商3余1.观点2:7个苹果每个果盘放2个，可以放3个果盘余一个。教研会上两种观点僵持不下。你认为问题出在哪里？教材是教师实施教学的主要资源，是实现课程目标的重要载体；是实施课程理念的重要媒介。（2）理解教材教材只是课标的一个例子。

要创造性地使用教材，要对教材进行“再创造”，要结合教材，选择更好的、更切合所教班级学生的实际教学材料，要把以文字形式呈现的教学内容转化为生动有趣、富有实效的教学活动。

新课改教材实行一纲多本，经审定可以使用的有人教版、苏教版、北师大版、西师大版、冀教版、湘教版、沪教版、浙教版、鲁教版、粤教版等多种版本。你对教材这部分内容的理解和教学想法是什么？1.课程简介？2.数学要做什么？（计量、大小、多少、长短、高矮、方位、合分）3.数学是什么？（用符号描述自然界事物的联系）4.教材包含的知识内容有哪些？教材有哪些需要商榷的地方？（逻辑结构、体例选取、认知规律等）05066）了解基数（几）和序数（第几）；7)为认识6-10以及今后认识更大

的数（数系）和它们的关系打

下基础；（学数学犹如修房子）8）引入运算“加法”和“减法”以及

它们的符号表示；9）理解加法的的结果叫“和”；减法的结果叫“差”；10）代数学开始：物←数←式←体←结构←代数学11）了解加法运算特点：可交换，两个得一个；；12）了解加法运算的特点：被减数，减数，差

的位置关系，（现在）不能交换；13）初步建立数学本质和特点感性认识；14）初步建立数学方法的感性认识；读懂教材课程内容定位课程目标要求教学核心思想教材编写意图前后知识结构主体文本框架例题习题关联读懂教材的核心：数学本质现在式——属于什么知识？过去式——历史背景是什么？将来式——对后续学习有什么价值？带有余数的除法反应的数学什么本质？与初中数学和高等数学有何联系？有学生在做带有余数的除法时，他是这样做的：

他问老师做对没有。老师回答说：“我们教的是20以内的带有余数的除法，这不是我们学习的内容”。你怎么看？（3）理解教学

数学教学是教师与学生围绕着数学教材这一“教学文本”进行“对话”的过程。在教学过程中，教学需要“沟通”与“合作”。

07张景中院士对于数学教学提出的三要求：

逻辑结构尽可能简单；概念引入要平易直观；要建立有力而通用的解题工具。一个目的：把数学变得容易些！张景中院士提出的教学目的和教学三原则：教学三原则：在学生头脑里找概念；从概念里产生方法；方法要形成模式。教学本质上是催生新观念的过程，而不是传递现成知识技能的过程。学生不是装知识技能的“袋子”，教师也不是“装袋人”。观念在不断诞生出来，教学永远是鲜活的和生长的。“教育成功的程度即是它所导致的学生不可预期的行为结果增加的程度。”

08以下引入“角”的实例中，你认为最好的是()A.三脚架

B.五角星

C.课桌的角

D.钟面的时针和分针

D

正确答案D。

本题是针对教师的教学理念而设计的，教学理念既受教学观和儿童数学学习心理的影响，也受到专业知识的影响，例如，由于大钟和小手表的针长短相差很大，但是它们的转过同样的角度所用的时间却相同，恰好体现了角的大小和边的长短无关；描述圆周运动是角的重要功能之一，中学数学中，角是用一条射线绕端点旋转来定义的，这几点就决定用钟面的时针和分针来引入角是最恰当的。下列引入小数实例中，你认为最好的是()A.物价B.身高C.十进分数D.不能整除的除法

A

正确答案A。

本题仍是针对教师的教学理念而设计的，教学理念受教学观和儿童数学学习心理的影响，小数运用最广泛的方面是表示物价，而物价也是儿童最熟悉的，因此用物价来引入小数是最恰当的。选择“不能整除的除法”只从数学内在需要来考虑问题，没有认识到数学的现实性；选择“十进分数”的人则没有考虑到儿童的数学学习心理：十进分数在生活中很少看到。

数学教学可以这样理解：数学是爸爸，教学是妈妈，既有爸爸，又有妈妈，才是一个快乐的家庭。切不可用教学来代替数学。数学教学要体现教育数学，是要突出数学本质的教学。理解数学是教好数学的前提。理解教材，理解教学，理解学生是课程改革的三大基石。教学经验、艺术、智慧是教师的看家本领。问题：这个学生缺的究竟是什么？任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？”一位学生是这样解题的：

52×150×12=……（4）理解学生接下来师生的对话如下：“告诉我，你为什么这么列式？”“老师，我错了。”“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？”“除。”“怎么除？”“大的除以小的。”“为什么是除呢？”“老师，我又错了。”“你说，对的该是怎样呢？”“应该把它们加起来。”“我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？”“老师，我早上不吃大饼的。”“那你吃什么？”“我经常吃粽子。”“好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？”“老师，我一天根本吃不了两个粽子。”“那你能吃几个粽子？”“吃半个就可以了。”“好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？”“两个半。”“怎么算出来的？”“两天一个，5天两个半。”……案例：数学抽象父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？”子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从来不用橘子”。学生的认知基础学生的生活经验学生的兴趣需要学生的心理特征学生的思维路径学生的错误习惯学生的情感态度学生的社会背景读懂学生的核心：思维的视角过去式——他将会怎么想？现在式——他为什么是那样想？将来式——应该让他怎样想？读懂学生古人在学习方面的误导昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路；衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴

众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。头悬梁，锥刺股；书山有路勤为径，学海无涯苦作舟

4.教师境界与教学效果09一个学生写在试卷上的一段话“数学，你是个坏蛋，你害我脑细胞不知死了多少。我美好的青春年华就毁在你的手上，你总是打破别人的梦，你为什么要做个人见人恨，人做人更恨的家伙呢？如果没有你，我将笑得多灿烂呀！如果你离开我，我绝不责怪你无情。”学生是否喜欢数学很大程度取决于教师的境界。教学是一门科学，更是一门艺术。学数学、做数学、用数学、发展数学才是数学教学的真谛。不少老师把做数学作业作为一种惩奖，致使学生讨厌并害怕数学。学习应是一件快乐的事！是否激发了学生的学习愿望？是否把学生作为教学的出发点？是否为学生的思考留下充分的空间？是否让学生有充分的学习活动机会？是否保护了学生的创造性思维？教学过程中，我们要随时反思我们的教学：这段话给数学教师的深刻启迪“教师与数学，二者理应相互交融、合二为一。一个优秀的数学教师站在讲台上，他就是数学！他的身上应该自然散发着一种独特的数学光华与气息，一种源自于理性、智慧、思辨的内在气质。”这种光华和气息不断的潜移默化作学生，使其不断的吸收和感悟着数学中蕴含的无穷智慧。（1）教师的教学境界10授人以鱼。授人以鱼是教学的第一境界，是给学生一杯水。授人以鱼的过程中，要有授人以渔的前瞻意识。这就要求我们在进行知识教学的时候，要注意构建知识结构，在建构过程体验方式方法。授人以渔。授人以渔是教学的第二重境界，是要教给学生自己去找水，这样学生就有喝不完的水。捕鱼的方法是不可穷尽的，授人以渔只是授给学生基础的、典型的捕鱼方法。学生从模仿开始，逐步内化，形成自己的捕鱼技能、技巧。悟其渔识。悟其渔识是教学的第三种境界。匠人与大师的差别在于，匠人只有技能、技巧，他从师傅那里学会了知识，且具备了模仿能力。匠人只会复制前人的东西，只有技能技巧，缺少对事物的见识。而大师是在得到了“鱼”、在学会了“渔”的基础与过程中，悟出了“渔识”，他能进行开创性的劳动，不但有创新的物质产品，而且还有独特的思想产品。

（2）教师的知识境界

理性---思辨与刚毅的融合。数学家丘成桐说：我读《史记》象欣赏歌剧，一幕幕地展开。华彩乐章如：高山仰止，景行景止。历史是宏观的。学习历史会使人用宏观观点考察事物。我提出的数学想法往往和别人的不一样，就是得力于《史记》。

深邃---凝重与深刻的结晶。唐朝大诗人王维“明月松间照，清泉石上流”的诗句，成为中国文化“对仗”的不朽典范，曾令多少文人墨客所倾倒。若用数学中“对称”、“变中不变”的眼光来认识诗句，那就有一种别有洞天的感觉．“明”——“清”（都是形容词）“月”——“泉”（都是自然景物，名词）“松”——“石”（也是自然景物，名词）“间”——“上”（都是介词）“照”——“流”（都是动词）文学中对仗之美在于它的不变性，数学的本质之美也在于“变中不变”．假如上联的词语变到下联，含义、词性、格律全都变了，就成了白开水，还有什么味道？

智慧--创造与力量的凝炼。数学教学就是数学语言的教学，不断符号化。数学家之所以有饭吃，在于能够运用符号获得。语文靠想象，将符号（方块字）用语法表示出来，说话写下来就是文章。数学靠理性，将数学符号通过运算、演绎得到结论，这是人为构造的语言。语文、数学、诗词、定理，都是符号运作。语文是“饭”，不吃要死，容易煮熟。便宜。数学是“菜”，不吃菜也可以活，但身体弱。比较贵。烧菜很难。吃菜必须合理。

数学符号是诗。诗词是“酒”，酒可以不喝，酿酒更难。有人喜欢，闲时享受才喝。定理也是酒。浪漫--理想与激情交融。初唐诗人陈子昂诗云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下。”这是古人乃至今天人们对时间与空间的认识。时间的模型是一条两端无限的直线：诗人处在原点。天地各为两个平面，悠悠地、无限地伸展着。我们的几何就是在这样的空间里展开的。

数学的文采，揭示了数学的文化内涵，表现简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则。

数学教学既要授之以鱼，还要授之以渔，更要悟其渔识。数学教学要让学生增长智慧，让学生变得更加聪明！中小学数学教师，应该具有文学家的感情、科学家的自信、数学家的表达方式，要把感情引为动力，把实验作为过程，把理性视为目标，把理性转为激情.一位数学人眼中的零我是圆圈，我是点点。我是空虚，我是饱满。我是静止，我是发展。我是衰迈，我是华年。我是可摸的平面，我是无底的深渊。我可以有减无增，我可以有增无减。我有时小得不可捉摸，我有时大得难以计算。我是忧患，我是喜欢。我能成为锁链，我能变作花环。我是完整的自己，我是我的对立面。二、“昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路。”

–新课改新在哪里？课程改革有两大基本特征——理念是全新的

1.教育价值观的根本转向；

2.民主、科学、开放的课程理念。——内容是整体的

1.课程与教材改革是突破口；

2.基础教育的全部变革包括：

①侧重课程教材本身的改革：目标、结构（类型）、政策、标准、资源、教材

②由课程教材改革牵动出来的改革：教学、考试、评价、管理、培训、培养新课程改革的三大主题教学观念的更新：先导；教学行为、教师角色与职责；学习方式的转变：关键、归宿；教学制度的重建：保障；以校为本的制度化建设。

（这是课程改革在实施过程中的三个标志性体现）这次改革要求从思想观念变革开始教育思想教育认识：解决知与不知的问题教育观念：态度倾向和情感色彩的认识（解决行为问题）教育理念：理想化和信仰化的观念（解决价值追求的问题）这次改革倡导新的课程观和教学观：——课程是民主的、开放的、科学的（文本课程—经验课程），课程不仅是预设的，而且更是生成的；——教学不只是忠实地传递和接受课程的过程，而更是课程创生与开发的过程；——教师与学生是课程的有机组成部分。这次改革要求教师角色、教学行为根本转变学生学习的促进者教育教学的研究者课程的开发者学校制度的建设者学生学习的传授者教育教学的执行者课程的实施者学校制度的贯彻者

传统

课改新结构提升了课程的灵活性和弹性，体现时代性、基础性、选择性。新设置内容设置螺旋式上升，打破了传统的以知识结构为中心的严谨逻辑结构的编排体系，采用了符合学生认知发展规律。新课程“新在”哪里？新方式关注新的教学和学习方式、强调现代信息技术。新理念—学生发展为本注重“以人为本”的新理念，将情感、态度、价值观纳入三维目标之中，教材的地位、作用、功能在新课程理念作用下悄悄的变化。新内容新增具有时代脉搏的内容（如随机现象和模型思想等）。“新”启示（给课堂教学）（1）应“新”在问题情境与数学本质的有机融合；（2）应“新”在知识发现过程与学生思维过程的有机融合；（3）应“新”在学生的主体意识与学习方式的有机融合；教学是交往——教师应具有学生意识教学是引导——教师应具有方法意识教学是启迪——教师应具有问题意识教学是合作——教师应具有合作意识教学是创造——教师应具有课程意识教学是关注——教师应具有人文意识三、“小楼昨夜又东风，故国不堪回首月明中。”---新课改情况扫描1.数学新课程改革现状扫描“让人欢喜，让人忧”111、追逐形式化：创设情境、小组合作、交流探究、多媒体辅助

2、评价表层化：热衷于教学的“术”；忽略教育的“道”

3、哗众取宠的观摩课受热捧：功利的作秀——大大方方唱样板戏浪漫的激情——莽莽撞撞就爱上它无辜的茫然——逡逡巡巡被牵着走无奈的走样——恍恍惚惚找不到家。4、可怜教师的境遇：被悬吊在半空中——上不通下不达5、我们走的已经太远，以至于我们忘记了起点和为什么而出发！新课程实施十余年的过程中衍生一种“文化现象”：让学生的思维“动”起来！

让孩子自主发现和提出问题；不轻易告诉孩子解决问题的明确目标；让孩子置身于解决问题的困境中；避免过早地告诉学生答案；让学生在问题解决的过程中尝试犯错误；自己发现一些事情远比被告知来得高兴；让孩子享受发现乐趣：“怎么会是这个样子呢？原来是这个样子！”2.新课改期望的数学教学效果例：杨辉三角形之美审美发现结构美--质地美规律寻找数字之间具有怎样的关系11111111111104433255610…杨辉三角形中的数字结构与牛顿二项式定理系数特征之间的美妙联系拓展故事：观察赏析：让学生的兴趣“舞”起来！

让孩子“玩一玩”数学；鼓励孩子的“非常规思维”；以数学之用调动孩子的心灵；用数学之美穿越孩子的心灵；为孩子提供展现发散思维的空间；挖掘历史故事的新意；挑战孩子的思辨智慧。例3：一个圆、三条直线（线段、射线），构造有实际意义的图形。NOOK1110101117040发散思维--生活经验--审美体验--文化陶冶让教育的功能“立”起来！

数学地思考不会自然地得到发展，是一个长期的过程；如果我们忽略让孩子数学地思考的机会，数学教育的结果将难以想象；数学知识的获得尤其是数学能力的形成同样也是一个长期的过程；孩子在数学上的发展往往要经历如下境界：独上高楼，望断天涯路衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处要有“6年一节课”的大概念，而不要把一节课当6年上。要启发学生提问，不怕被学生的问题难住（如爱迪生）。情境更有趣了但问题的挑战性变浅了--数学的意境变淡了内容更丰富了但知识的系统性变散了--思想的意蕴变薄了学习更开放了但思维的想象力变窄了--教学的节奏变乱了课堂更活跃了但文化的感染力变弱了--课程的目标跑偏了新旧理念，剪不断理还乱3.新课程“教”的如何？--小曲好唱口难开！问题：合作学习

在一堂数学公开课上，女生：你的头发有点乱。男生：你的眉毛画得太浓。评课者：这堂课合作学习搞得很好，学生很活跃。反思：这是课标中的合作学习理念吗？新理念暴露教学的新问题创设情境--导入新课分组活动--合作交流探索新知--总结规律联系实际--巩固应用（1）数学问题生活化（2）简约问题繁琐化（3）复杂问题简单化（4）动脑问题动手化（5）讲授问题活动化（6）生成问题盲目化问题：商场有一套服装72元，小强身边只有面值10元的人民币，问小强至少要带几张这样的人民币才能买回这套服装？甲：8张——８０元足够！乙：9张——８０元不够！来往还要打车呢。丙：7张——７０元就够！可以打折嘛。例子：圆饼中的几何学反思：这是生活数学化吗？这是数学生活化吗？4.新课程“难”在何处？（4）对教师数学素养和教学能力要求很高；（1）新课程内容偏多，课时紧张；（3）教学内容的度（难度、深度、广度）难把握；（2）课程体系结构和衔接问题不尽合理；（5）新课程中的评价困难；（6）教辅资料缺少、教学负担重等等；（7）旧观念（传统教法、学法）难于破除。感叹：新课程，都是教材惹得祸！（8）从操作层面理解和把握新教材的理念都有难度；对新增内容的合理性和操作性感到困惑；新教材“新”在哪里？“改”在何处？“难”在哪里？不明不白。一线教师的声音

新课程改革进行到现在，专家们众说纷纭，我们也莫衷一是。还好，真正每天在教室里和新课程打交道的，站在讲台上能够决定点什么的，和孩子们朝夕相处的，还是我们一线教师，而教育变革的最终力量可能还是我们这些‘草根’。（10）教师的综合能力、专业素养和教学能力参差不齐，难于适应新课程但这不是教师的错！感概：新课改，众说纷纭，专家高高在上，不接地气；教师雾里看花，无所适从；新课程，单相思，想说爱你不容易！

（9）教材的变化使教师的教学遇到很大的困难，使教师失去了原有教学中积累的经验，每位教师都成了“新教师”；四、俱往矣，数风流人物，还看今朝

--数学新课标理念探微数学文化的涵义①如何彰显数学文化人类在数学活动中所积累的精神创造的静态结果和动态过程表层元素：数学概念、定理、公式、思想、方法深层元素：数学家信念品质、审美追求、理性思考、思维过程内核：数学家在创造数学过程中所反映的科学与人文精神挖掘--转化数学文化的基本素材数学与自然和人类生活之关联：宇宙现象和人类生活蕴涵的数学知识原理--数学在自然和人类生活中的表征与应用数学本身的特征：美妙的形、有趣的数、精致的数学概念、公式、定理、数学规律、深邃的数学哲理数学家的创造活动：数学家的成长经历、思维技巧、思想方法、学习态度、个性品质、科学与人文精神例说：中华太极图中的数学文化数学元素几何：圆--圆弧--同心圆通过圆心的任一直径将圆二等分代数：二分之一文化特质对称美--均衡美--和谐美--动态美--辩证美。

例：时间和空间

初唐诗人陈子昂诗云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下。”这是古人乃只今天人们对时间与空间的认识。时间的模型是一条两端无限的直线：诗人处在原点。天地各为两个平面，悠悠地、无限地伸展着。我们的几何就是在这样的空间里展开的。实际上，地球上的几何就超出了这个范围：非欧几何。数学问题情境的涵义②如何创设问题情境调动学生认知系统活动的数学问题的信息场创设问题情境的切入点与数学内容相关的生活现实与新知识相关联的旧知识生活中素朴的空间形式和数量关系数学问题的还原模式及再创造模式2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，241，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，252，3，5，7，11，13，17，19，235，10，15，251，11，211，2，3，6例说：给出1～25这些数字，让学生进行分类，用框图表示,并发现其中关系。知识考察：序概念；奇偶性；质数与合数；因数与倍数；位值能力考察：数感；分类；抽象；归纳；发散思维；语言转译文化意蕴：数字特性；数字多种属性例说：合情推理与演绎推理观察算式：34+43=77，51+15=66，26+62=88，你发现了什么？可能的猜想：这样的两位数能被11整除验证：74+47=121问题：能否证明结论是正确的呢？（a×10+b)+(b×10+a)=11a+11b=11(a+b)问题解决的涵义③如何凸显问题解决寻求某一问题的既定状态与目标状态之间的路径问题解决的意义发现问题--提出问题--分析问题--解决问题数学发展的内在逻辑--最基本的数学素养贯穿课程标准的核心概念之一培育数学思维能力积累数学思想和经验提升创新意识的基础和载体问题背景：4根火柴可以摆一个方框，7根火柴可以摆两个方框，那么，（1）多少根火柴可以摆三个方框？（2）摆五个方框比摆三个方框多用多少根火柴？（3）用31根火柴能摆多少个方框？（4）如果摆成了50个方框，用了多少根火柴？摆成n个方框呢？说明：（1）为问题的单一结构（2）为问题的多元结构（3）为问题的关联结构（4）为问题的扩展和抽象结构例说：数学问题的层次结构火材根数=3×方框个数+1ABCDABCABCDE例说：观察·归纳·猜想·类比（1）在第一个图形中，有多少条线段？多少条射线？（2）在第二个图形中，有多少条线段？多少条射线？（3）在第三个图形中，有多少条线段？多少条射线？（4）如果一条直线上有n个点，会分成多少条线段？多少条射线？n个点，分成n-1条线段，两条射线。④如何培养数感意识数感的涵义人对数字本身特征及数字之间关联的意识以及灵活地解决数字问题的能力培养数感意识的途径让儿童认识并理解数字本身特征及数字之间关联搜集数字或运算系统中的数字信息心算、观察和辨别数字模式、预测计算结果讨论其中存在的数字关系，形成对数字的洞察力重视对潜在的数字和数字运算之间关系的分析(1)17-8=9