数值计算课件-第五章数值积分和微分1

第五章数值积分和数值微分——函数无解析表达式或表达式过于复杂时定积分问题的数值解法主要内容导数或微分数值计算华长生制作1传统方法的困境数值积分的基本思想数值积分的一般形式代数精度问题求函数f(x)在区间[a,b]上的定积分

是微积分学中的基本问题。

§5.1数值积分概述华长生制作2对于积分但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:传统方法的困境华长生制作3以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用!只能建立积分的近似计算方法--------数值积分正是为解决这样的困难而提出来的，不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的工具之一。华长生制作4数值积分的基本思想

数值积分----指计算定积分近似值的各种计算方法。常用一个简单函数代替原来的复杂函数求积分。

从几何上看，就是计算曲边梯形面积的近似值。

最简单的办法，是用直线、抛物线等代替曲边，使得面积容易计算。华长生制作5f(x)abf(a)f(x)abf(x)abf(b)f(a)(a+b)/2左矩公式中矩公式梯形公式用直线代替曲边华长生制作6抛物线公式用抛物线代替曲边又称辛普森公式数值积分的一般形式

正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积分的不同方法。

上述的近似求积公式都是取[a,b]上若干点处的高度通过加权后再进行求和得到积分的近似值，写成一般形式：或写为：其中，

----

称为求积节点

Ak----称为节点xk上的权系数。----是函数f(x)在节点xk上的函数值，

----称为求积公式的截断误差或余项。华长生制作8利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:不同的插值方法有不同的基函数插值型求积公式思路利用插值多项式则积分易算。以拉格朗日插值多项式为例华长生制作9Ak由决定，与无关。节点

f(x)称为求积系数。定义其系数，为拉各朗日插值基函数

这种求积公式称为插值型积分公式华长生制作10插值型的求积公式余项

为了保证数值求积公式的精度,我们自然希望求积公式能够对尽可能多的函数f(x)都准确成立,这在数学上常用代数精度这一概念来说明。插值型的求积公式余项华长生制作11解：逐次检查公式是否精确成立代入f(x)=1：=代入f(x)=x：=代入f(x)=x2：例：对于[a,b]上1次插值，有考察时其求积误差。梯形公式因此梯形公式只对一次多项式精确成立。华长生制作12代数精度定义如果某个求积公式对于次数不超过m的一切多项式都准确成立,而对某个m+1次多项式并不准确成立，则称该求积公式的代数精度为m。显然，梯形公式与中矩形公式均具有一次代数精度。一般来说，代数精度越高，求积公式越精确。定理对于n+1节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。代数精度华长生制作13例试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.解:华长生制作14因此所以该积分公式具有3次代数精确度

华长生制作15§5.2

牛顿－柯特斯求积公式Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式各节点为一、公式推导：，以此分点为节点,构造出的插值型求积公式。

牛顿－柯特斯求积公式华长生制作16注意是等距节点华长生制作17所以Newton-Cotes公式为Cotes系数注：Cotes系数仅取决于n和k，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。华长生制作18二、低阶Newton-Cotes公式及其余项在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也最重要三个公式,称为低阶公式(1).梯形公式及其余项Cotes系数为低阶Newton-Cotes公式及其余项华长生制作19上式即为梯形求积公式,也称两点公式，记为梯形公式的余项为求积公式为华长生制作20广义积分中值定理故华长生制作21(2).

辛卜生公式及其余项Cotes系数为求积公式为华长生制作22上式称为辛卜生求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为Simpson公式的余项为华长生制作23(3).柯特斯公式上式特别称为柯特斯求积公式，也称五点公式柯特斯系数可由柯特斯系数表得到（P153）。由此可以得到任意阶数的牛顿－柯特斯求积公式。但实际计算时一般不用高阶的公式，因为高次插值有Runge现象。华长生制作24由此可自然会得出以下结论：梯形规则简单，有1阶代数精度；再增加一个节点，就是具有3阶代数精度的辛卜生规则；三、牛顿－科特斯公式的代数精度牛顿－科特斯公式实际上是插值求积公式，因此n阶牛顿－科特斯公式至少有n次代数精度。由于牛顿－科特斯公式是等距插值，因此，有定理：当n为偶数时，牛顿－科特斯公式有n＋1次代数精度。华长生制作25四、复化求积法直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大。公式的舍入误差又很难得到控制为了提高公式的精度,往往使用复化求积法。然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式最后将每个小区间上的积分的近似值相加复化求积法华长生制作26复化梯形公式：在每个上用梯形公式：=

Tn/*中值定理*/复合梯形公式华长生制作27复化Simpson公式：44444=

Sn复化Simpson公式华长生制作28求积公式的余项比较我们知道,两个求积公式的余项分别为单纯的求积公式复化求积公式的每个小区间复化求积公式精度提高。华长生制作29复化求积法通过将积分区间分成n等份，来减小截断误差，因此n越大积分精度越高。但n太大，运算量也增大，舍入误差也增大；n太小，精度可能达不到。如何确定适当的,使得计算结果达到预选给定的精度要求呢？在实际计算中,常采用积分步长的自动选择。具体地讲,就是在求积过程中,将步长逐次折半,反复利用复合求积公式,直到相邻两次的计算结果之差的绝对值小于允许误差为止。这实际上是一种事后估计误差的方法——变步长求积算法。§5.3变步长求积和龙贝格算法问题§5.3变步长求积和龙贝格算法华长生制作305.3.1变步长梯形求积法

对于复合梯形公式，若将积分区间[a,b]n等分,积分近似值记为Tn,积分精确值记为I,则有:把每个子区间分半,也就是将积分区间[a,b]2n等分,则有则有当在连续,且函数值变化不大时,即有给定求积精度，如何取n?5.3.1变步长梯形求积法31可用来判断迭代是否停止。变步长梯形法计算过程

⑴⑵32⑶可以看到,每次都是在前一次的基础上将子区间再对分。原分点上的函数值不需要重复计算,只需计算新分点上的函数值即可,一般地计算公式为：33由上节变步长梯形公式得到的积分近似值的误差大致是,因此人们期望,如果用这个误差作为对

的一种补偿,则得到的求积公式的代数精度会有所提高。（1）5.3.2

龙贝格公式龙贝格算法是在复化梯形公式误差估计的基础上，应用线性外推的方法构造出的加速算法。5.3.2龙贝格公式34通过直接验证可知也就是说,用梯形公式二分前后的两个积分值

与

按照公式(1)做线形组合,其结果正好是用抛物线公式得到的积分值

。(2)即35同理可知,用抛物线公式得到的积分近似值

的误差大致是,因此对抛物线公式进行修正,得到(3)也就是说,用抛物线公式二分前后的积分值

与

按照公式(3)作线形组合,其结果正好是用柯特斯公式得到的积分值

。通过直接验证可知(4)36同理可知，用柯特斯公式得到的积分近似值

的误差大致是,因此,对柯特斯公式进行修改,得到求积公式(5)为此,构造求积公式(6)称(6)式为龙贝格(Romberg)公式。37龙贝格公式是一种计算积分的方法。在变步长的求积过程中,运用(2),(4),(6)式可以将精度低的梯形值逐步加工成精度较高的抛物线,柯特斯值与龙贝格值。总之有：Romberg序列38计算f(a),f(b),算出

。

(2)把[a,b]2等分,计算,算出

与

。(3)把[a,b]4等分,计算

算出

与

。龙贝格求积的计算步骤如下：39(4)把[a,b]8等分,计算

算出

与

与

。(5)把[a,b]16等分,计算算出

与

与,继续重复进行,直到

时停止计算,就是所求的积分值.(允许误差)40Romberg算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1TRomberg算法41要求熟练掌握的内容：能灵