第17章动力学普遍定理

§17-4动力学普遍定理的综合应用

第17章动力学普遍定理§17-1动量定理§17-2动量矩定理§17-3动能定理1

实际上的问题是：(1)联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。(2)大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动,仅需要研究质点系整体的运动情况。动力学普遍定理概述对质点动力学问题：可由前一章内容建立运动微分方程求解。对质点系动力学问题：可以逐个质点列出其动力学微分方程联立求解，但求解过程很复杂。2

本章将要讲述求解动力学问题普遍适用的方法,即动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)，它们从不同的侧面揭示了质点和质点系总体的运动与其受力之间的关系，可以求解质点系动力学问题。3§17-1动量定理1.动量在日常生活和工程实践中可看出，质点的速度和质量的乘积表征了质点机械运动的强弱，例：枪弹：速度大，质量小；船：速度小，质量大。质点的动量：质点的质量与速度的乘积mv称为质点的动量。是瞬时矢量，方向与v相同。单位是kgm/s。质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。4如i质点的矢径为ri，其速度为，代入式(17-1)，因mi不变，则有：(17-1)式中n为质点数，mi为i质点的质量，vi为质点速度矢量。5令

为质点系总质量，与重心坐标类似，定义质点系质量中心（质心）代入上式，得上式表明，质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。6刚体是由无限多个质点组成的不变质点系，质心是刚体内某一确定的点。对于质量均匀分布的规则刚体，质心就是几何中心，由式(17-3)可以方便的计算刚体或者刚体系统的动量。7曲柄连杆机构的曲柄OA以匀角速度转动，设OA=AB=l

，曲柄OA及连杆AB都是匀质杆，质量各为m，滑块B的质量也为m。求当j

=45º时，系统的动量。

例题17-18解：曲柄OA：滑块B：连杆AB：

(P为速度瞬心，

)例题17-19例题17-1q102．冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。如力F是常矢量,则此力的冲量为：I=Ft(17-4)11如力F

是变矢量（包括大小和方向的变化）：在微小时间间隔内，力F的冲量称为元冲量。而力F在时间t内的冲量为矢量积分：

(17-5)元冲量为：dI

=Fdt冲量的单位：N·s=kg·m/s2·s=kg·m/s

与动量单位相同。123.动量定理(1)质点的动量定理式(17-6)是质点动量定理的微分形式，即质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力，或质点动量的增量等于作用在质点上的元冲量。对上式积分，时间由0到t，速度由v0变为v，得式(17-7)是质点动量定理的积分形式。13质点动量定理的积分形式，表明在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。(2)质点系的动量定理质点系的外力与内力

外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：14设质点系有n个质点，由质点动量定理，对质点系内任一质点

i，对整个质点系，有n个方程，相加得因质点系动量增量为：15上式可变为式(17-8)是质点系动量定理的微分形式，表明质点系动量的增量等于作用在质点系的外力元冲量的矢量和；式(17-9)表明质点系动量对时间的导数等于作用于该系外力的矢量和（外力的主矢）。或16式(17-10)为质点系动量定理的积分形式，表明在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力的冲量矢量和。对(17-8)式积分，得另外，从上述定理可看出，质点系的内力不能改变质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。17

(17-12)动量定理是矢量式，在应用时应采用投影式，如式(17-9)和式(17-10)在直角坐标系的投影式分别为：18由式(17-11)和式(17-12)，如果质点系受到外力之主矢等于零，质点系的动量将保持不变，即(3)质点系动量守恒定律以上结论称为质点系动量守恒定律。同样，如果质点系受到外力之主矢在某一坐标轴上的投影等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影也保持不变。如，则19质量为m2的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为m1的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。例题17-2m2120解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析：水平方向px

=常量。由水平方向动量守恒及初始静止；则运动分析：设大三角块速度v，小三角块相对大三角块速度为vr，则小三角块va=ve+vr。例题17-2FNm2gm1gvrv21例题17-2FNm2gm1gvrv22质点系在力作用下其运动状态跟质点系质量分布状态有关，前面定义了质心的位置，即4.质心运动定理(1)质量中心质心位置反映出质点系质量分布的一种特征，在动力学中该概念具有重要地位，计算中常用直角坐标下的投影式，即23(2)质心运动定理由式(17-3)知，质点系动量等于质点系质量与质心速度乘积，则动量定理的微分形式可写成24对质量不变质点系，该式改写为(17-14)上式表明质点系质量与质心加速度乘积等于作用于质点系外力矢量和，该规律称为质心运动定理；它同质点动力学基本方程相似，可以把质点系质心运动看作一个质点的运动，此质点集中了质点系的质量和外力。25(3)质心运动守恒定律从质心运动定理知，如果作用于质点系外力主矢为零，则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置不变。如果作用于质点系的所有外力在某个轴上投影的代数和恒为零，则质心速度在该轴上投影不变；若开始速度为零，则质心在该轴坐标不变。——该结论称为质心运动守恒定律。只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。26电动机的外壳固定在水平基础上，定子(包括外壳）重为P,转子重为P

,转子的轴通过定子的质心O1,但由于制造误差,转子的质心O2到O1的距离为e。求转子以角速度

作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的水平和铅垂约束力。例题17-327解:取整个电动机作为质点系研究，分析受力，受力图如图。运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。例题17-3a1=0，a2=e2根据质心运动定理，有m2=P/g)28可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。例题17-3m1=m2=P/g所以:29浮动起重船,船的重量为P1=200kN,起重杆的重量为P2=10kN,长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN。

设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60º,水的阻力不计,求起重杆OA与铅直位置成角2

=30º时船的位移。例题17-430解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。受力分析如图示，，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标xC保持不变。例题17-4oyxm1=P1/g,m2=P2/g,m3=P3/g31设船的位移x１，向右，杆的质心水平位移重物的位移例题17-4oyx32计算结果为负值，表明船的位移水平向左。例题17-4oyx33【思考题17-1】为什么动量定理的微分形式可用其两边向任何轴（直角坐标轴与自然坐标轴）上投影来求解动力学问题？动量定理的积分形式是否也可将其两边向自然坐标轴上投影来求解动力学问题？【思考题17-2】当质点系的动量守恒时，其中各质点的动量是否也必须保持不变？34

动量定理只揭示了质点和质点系动量变化与外力主矢的关系；质心运动定理只揭示了质心运动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌。下面介绍动量矩定理，动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系，从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的运动规律。35

§17-2动量矩定理(1)质点的动量矩设质点某瞬时动量为mv，其对O点的位置为矢径r，如图所示，定义质点Q的动量对于O点的矩为质点对点O的动量矩，是矢量；定义质点动量mv在Oxy平面上的投影（mv)xy对于点O的矩，为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩，是代数量。表示如下(17-15)(17-16)动量矩的单位为：kg·m2/s1．动量矩36正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负，逆时针为正。

质点对于O点的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。37质点系对点O动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和，或者称为质点系对点O的主矩，即(2)质点系的动量矩质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z动量矩的代数和，即利用式(17-16)，得上式表明：质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。

38刚体移动时，可把其质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩；刚体作定轴转动时，其对轴z的动量矩为令称为刚体对z轴的转动惯量，于是有即绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。39已知，滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1；滑轮B：m2，R2，J2

；物体C：m3；运动情况如图所示。求系统对O轴的动量矩。例题17-5C40解：例题17-5C412.动量矩定理(1)质点的动量矩定理对质点动量矩求一次导数，得42(17-21)式(17-21)表示质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩，称为质点动量矩定理。43上式的投影式分别为44(2)质点系的动量矩定理n个方程相加，有n个质点，由质点动量矩定理有由于45上式表明质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和，（外力对点O的主矩）称为质点系动量矩定理，其投影式为：于是（17-22）46(3)动量矩守恒定理作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该点的动量矩保持不变,即。作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩保持不变,即。以上结论称为质点动量矩守恒定律同理，当外力对某固定点（或某固定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩守恒定律。另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。47运动分析：，由动量矩定理微幅摆动时，并令，则解：将小球视为质点。受力分析；受力图如图示。已知单摆m，l，t=0时=0，从静止开始释放。求单摆的运动规律。即例题17-6lFT48注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）质点动量矩定理的应用：在质点受有心力的作用时。质点绕某心（轴）转动的问题。解微分方程，并代入初始条件则运动方程例题17-6lFT49解：系统的动量矩守恒。猴A与猴B向上的绝对速度是一样的，均为。已知：猴子A重等于猴子B重，猴B以相对绳速度v

上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？动的速度多大？（轮重不计）例题17-750

3.刚体绕定轴转动的微分方程如图示一定轴转动刚体，由质点系对z轴动量矩定理以上各式称为刚体绕定轴转动微分方程。514.刚体对轴的转动惯量定义：刚体对任意轴z的转动惯量定义为：转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kg·m2。（一）匀质细直杆长为l,质量为m，其分别对z和z'轴的转动惯量(1)简单形状物体的转动惯量计算若刚体的质量是连续分布，则：52（二）匀质薄圆环半径R，质量为m，其对中心轴z的转动惯量为（三）匀质圆板半径R，质量为m，其对中心轴z的转动惯量任取一圆环，则53(2)回转半径即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径的平方的乘积；对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。则定义：(3)平行移轴定理刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即54证明：设质量为m的刚体，质心为C，O'z'∥Cz刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。55当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。(4)计算转动惯量的组合法56解：已知：均质直杆m1,l

；均质圆盘：m2,R。求JO

。例题17-857两根质量各为m=8kg的均质细杆固连成T

字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时,T

形杆具有角速度=4rad/s

。求该瞬时轴承O的约束力。例题17-958解：选T字型杆为研究对象。受力分析如图示。由定轴转动微分方程例题17-9FxOFyO59根据质心运动微分方程，得例题17-9FxOFyO60图

a、b中所示的两个滑轮O1和O2完全相同，在图

a所示情况中绕在滑轮上的绳的一端受拉力F(F=P)作用，在图

b所示情况中绳的一端挂有重物A，其重量等于P。问两轮的角加速度是否相同？等于多少？设绳重及轴承摩擦均可不计。思考题17-361思考题17-4图示均质等截面直杆,质量为m,已知，问是否。62§17-3动能定理各种运动形式存在能量转换和功的关系，其表现为动能定理，与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理从能量角度研究动力学问题，建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的联系，有时可以方便有效地解决动力学问题。63力的功是力沿路程累积效应的度量。图示质点在常力作用下，力F

的功定义为：力的功是代数量。在国际单位制中，其单位为1J=1N·m1.力的功sM64

对变力的功，如图所示，质点作曲线运动。在无限小位移dr中力F视为常力，ds视为直线，力F的功称为元功，记为dW。则65力在全路程上作的功为元功之和，即则力从M1到M2过程作的功为66(1)重力的功对质点系，重力功为：质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。重力投影：67(2)弹性力的功

弹簧原长l0，在弹性极限内F=kl

，k为刚度系数，表示弹簧发生单位变形时所需的力。N/m,N/cm。如图示F=-kl,(弹性力指向与质点位移方向相反，弹性力作的功为弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。68(3)定轴转动刚体上作用力的功、力偶的功

设在绕定轴z轴转动的刚体上A点作用有力F，如图示，则力F在切线上投影为Ft=Fcosq转角j与弧长s的关系为ds=Rdj则力F的元功为Rr69作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。如果作用力偶，则力偶作的功仍可用上式计算。因为FtR

等于力F对轴z的力矩Mz，则dW=Mzdj刚体从j1到j2转动过程中力F作的功为70

1)万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。(4)其它常见力作的功2)摩擦力的功(一)动滑动摩擦力的功FN=常量时,W=–f´FNs,与质点的路径有关。71正压力FN，摩擦力F作用于瞬心C处，而瞬心的元位移(二)圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(三)滚动摩擦力偶M的功若M=常量则FNM722.质点和质点系的动能动能是因物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的另一度量。(1)质点的动能质点质量为m，速度为v，则质点的动能为(2)质点系的动能73定轴转动刚体的动能平面运动刚体的动能移动刚体的动能式中Jp为刚体绕速度瞬心轴的转动惯量。743.动能定理(1)质点的动能定理即积分上式，得上式分别称为质点动能定理的微分形式和积分形式。a75(2)质点系的动能定理对任一质点mi，有n个方程相加得到积分上式，得上面式(17-25)和(17-26)分别称为质点系动能定理的微分形式和积分形式。76在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式(3)理想约束与内力作功约束力作功为零的约束称为理想约束。在理想约束下，质点系动能的改变只与主动力有关，式(17-25)和(17-26)中只需要计算主动力所作的功。活动铰支座、固定铰支座和向心轴承光滑固定面约束FNFxFyFNFN77拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。刚体沿固定面作纯滚动联接刚体的光滑铰链（中间铰）柔索约束（不可伸长的绳索）只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。对质点系内力的功FNFN′drAdrB78

图示的均质杆OA的质量m=30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：研究OA杆例题17-10P=mg79由例题17-1080行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,重P1,视为均质圆盘；曲柄重P2,长l,作用一力偶,其矩为M(常量),曲柄由静止开始转动。求曲柄的角速度(以转角的函数表示)和角加速度。例题17-1181解：取整个系统为研究对象例题17-1182根据动能定理，得将(1)式对t求导数，得例题17-1183两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B端的速度。例题17-1284解：取整个系统为研究对象例题17-1285长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。解：因水平方向不受外力，且初始静止，质心C铅垂下降。因约束力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。初瞬时：任一瞬时：例题17-1386由机械能守恒定律：将代入上式，化简后得例题17-1387