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巧用二次函数表达式二次函数常见表达式有一般式(也称三点式)、配方式(也称顶点式)和两根式(也称交点式)三种,各种表达式要注意根据不同的条件灵活选用,以简化解题过程,提高解题能力.下面针对各种条件通常采用的表达式作一简单的归纳.一、如果已知的条件是二次函数的三组对应值,或者其图像经过三个一般的点,那么一般采用一般式y= 1 (aW0).例1已知二次函数的图像经过点(1,2),(-1,-2),(0,3),求这个二次函数的表达式.TOC\o"1-5"\h\z分析:因为已知的三点仅是一般的点,故设y= ——। ,则解得5c故所求的二次函数表达式为y= 1 .二、如果已知条件是二次函数的最大(小)值,或者是图像的顶点坐标,那么一般采用配方式 y= I (aW0).例2已知二次函数的图像的顶点坐标为(2,-3),且经过点(0,2),求这个函数的表达式.分析:因为图像的顶点为(2,—3),故可设其表达式为y= I ,又经过点(0,3),故3=k],解得a=百,所以y= [__| .三、如果已知条件是二次函数图像与x轴交点坐标,那么可采用两根式y=a(x—)(x—U(aW0).例3已知二次函数的图像交x轴于点(一2,0)和(6,0),且经过点(1,15),求它的表达式.分析:这里_=-2,1_1=6,故可设y=a(x+2)(x—6),把x=1,丫=15代入,得15=aX3X(—5),a=—1,故y=—(x+2)(x—6).
四、综合运用各种表达式,再利用比较系数法例4已知二次函数y= । 的图像的顶点为(2,—3),且在x轴上截得的线段长为L,求a,b,c的值.TOC\o"1-5"\h\z解法一由已知,二次函数的解析式可化为y= I即y= 1—4ax+4a—3,故 ■由 I 及求根公式,得 | ,解得a=1.故丫= L I,即y=——4x+1,所以a=1,b=—4,c=1.解法二设抛物线交x解法二设抛物线交x轴于,则由AB= ।得(1)又对称轴为x=2,故由(1)、(2)解得 由(1)、(2)解得 1——I ,故可设y=又抛物线经过(2,—3),故—3=a
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