曲面的面积 重心 转动惯量 引力

曲面的面积重心转动惯量引力§1重积分的应用2/6/20231求由方程所确定的曲面S的面积对区域D作分割T,一、曲面和面积2/6/20232曲面面积的计算公式先计算Ai的面积.2/6/20233所以若曲面方程为则该曲面的面积S为2/6/20234说明:

则曲面面积S：如果曲面方程为如果曲面方程为则有公式：2/6/20235例1求圆锥在圆柱体内那一部分的面积.解所求面积的曲面的方程为所以2/6/20236例.计算双曲抛物面

被柱面所截

解:曲面在xoy面上投影为则出的面积A.2/6/20237设空间有n个质点,由力学知,分别位于其质量分别为该质点组的重心坐标为二、重心2/6/20238设空间物体V,有连续密度函数采用“分割,近似代替,求和,取极限”可导出其重心坐标公式.求V的重心坐标.将V

分成n小块,将第k块看作质量集中于点的重心坐标.例如,此质点组的重心坐标就近似该物体的质点,其质量为在第i块上任取一点2/6/20239令各小区域的最大直径即得其中m为物体V的质量，同理可得

2/6/202310则其中V表示区域V的体积2/6/202311若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(SD为D的面积)则则它的重心坐标为其面密度为

2/6/202312例.求位于两圆

和之间均匀薄片的重心.解:

利用对称性可知而2/6/202313质点A对于轴l的转动惯量J

惯量可用积分计算.质点组的转动惯量等于各质点和A与转动轴l的距离r的平方的乘积,即

三、转动惯量的转动惯量之和,故连续体的转动等于A的质量m

2/6/202314设在该物体位于(x,y,z)处取一微元，因此该物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为其体积记为dV，质量为

到z轴的距离为从而为空间物体V的密度函数，求V对

z轴的转动惯量.2/6/202315类似可得:对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量一般说来，若V中的点(x,y,z)到转动轴l的距离为则转动惯量为2/6/202316对坐标平面的转动惯量分别为对xy平面的转动惯量对yz平面的转动惯量对xz平面的转动惯量2/6/202317如果物体D是平面薄片,

面密度为

则转动惯量的表达式是二重积分.一般说来，若D中的点(x,y)到转动轴l的距离为则转动惯量为2/6/202318例4求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量解设圆环D为密度为ρ，则D中任一点(x,y)与转轴的距离为于是转动惯量2/6/202319例.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.设薄片的密度为ρ，则2/6/202320例6.设某球体的密度与球心的距离成正比，

求它对于切平面的转动惯量解建立坐标系如图,设球体为密度为

k为比例常数.切平面方程为z=R,则球体对于该切平面的转动惯量为2/6/202321求密度为的物体V对物体外质量为1的的单位质点A的引力在该物体位于(x,y,z)处取一微元，其体积记为dV，质量为

对质点A的引力为设A点的坐标为四、引力2/6/202322该引力在坐标轴上的投影为其中k为引力常数，于是所求力在坐标轴上的投影分别为2/6/202323所以