高考数学基础强化专题训练（三）

2023高考数学基础强化专题训练（二）参考答案高考数学基础强化专题训练（三）解析几何直线与圆1.（多选题）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（）A.的倾斜角等于120° B.与x轴的交点坐标为C.与直线垂直 D.与直线平行2.已知顶点坐标分别是，，．（1）求过点C且与直线AB平行的直线方程，（2）若点，当实数取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围．3.（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．4.（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．5.（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．圆锥曲线基础知识椭圆的基本量1.如图(1)，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB＝________，称为通径．图(1)图(2)2.如图(2)，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．3.椭圆上的点到焦点距离的最大值为________，最小值为________．4.设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值________．1.eq\f(2b2,a)2.b2·taneq\f(θ,2)3.a＋ca－c4.－eq\f(b2,a2)直线与椭圆1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：①Δ>0直线与圆锥曲线________；②Δ＝0直线与圆锥曲线________；③Δ<0直线与圆锥曲线________．2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝________．1.(1)①相交②相切③相离2.eq\r(,1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(,1＋\f(1,k2))|y2－y1|双曲线的基本量运算1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________．2.如图，P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．3.焦点到渐近线的距离为________．4.设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为________．1.eq\f(2b2,a)2.eq\f(b2,tan\f(θ,2))3.b4.eq\f(b2,a2)抛物线设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)AF＝eq\f(p,1－cosα)，BF＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长AB＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；(3)eq\f(1,FA)＋eq\f(1,FB)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．直线与圆锥曲线1.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别与x轴交于P，Q两点，O为椭圆的中心，则OP·OQ＝a2.2.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝－eq\f(b2,a2).3.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.4.过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的直线交抛物线于A，B两点，则直线AB过定点(2p，0).典型例题1.已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.（1）求的方程；（2）过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.2.3.已知椭圆的离心率;上顶点为,右顶点为,直线与圆相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)设与圆相切的直线与椭圆相交于两点,为弦的中点,为坐标原点.求的取值范围.4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．函数与导数1.函数的部分图像大致为（） B.C. D.2.已知分别是函数和的零点，则（）A. B.C. D.3.已知函数,若过点可以作出三条直线与曲线相切,则的取值范围是A. B. C. D.4.5.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________.

6.设函数，.（1）若直线是曲线的一条切线，求的值；（2）证明：①当时，；②，.（是自然对数底数，）7.已知函数.(1)求函数的单调性;(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围.三角函数1.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即.记，则（）A. B. C. D.明确“化归也是推理”的思想文/刘蒋巍在数学问题中，给出的条件有时会在量、形关系上显得较为杂乱，无从下手。这时，需要根据待解问题的表现形式，对所给的量、形关系做和谐统一的化归。即化归应朝着使待解问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更匀称和恰当。【例题】在ΔABC中，A＝2C，求证：b/3＜a—c＜b/2．分析条件是角的关系，结论是边的关系，由统一性原则及正弦定理，将结论与条件统一起来，转化为sinB/3<sinA—sinC<sinB/2，进一步将角统一起来，由A＝2C，B＝π—（A＋C）＝π—3C，结论进一步转化为关于单变元C的不等式sin3C/3<sin2C—sinC<sin3C/2，将之再简单化为两个更为具体的不等式，即sin3C/3＜sin2C—sinC，且sin2C—sinC＜sin3C/2.从而，问题就化归为如下两个表现形式上较统一的问题：（1）在ΔABC中，A＝2C，求证sin3C＜3sin2C—3sinC．（2）在ΔABC中，A＝2C，求证2sin2C—2sinC＜sin3C．对于问题（1），继续将结论统一为关于同角C的同名三角函数的不等式：sin3C<3sin2C—3sinC，等价于3sinC—4sin3C<6sinCcosC—3sinC等价于—4(sinC)^2—6cosC+6<0等价于2（cosC）^2—3cosC+1<0等价于(2cosC—1)(cosC—1)<0等价于2cosC—1>0等价于cosC>1/2.问题（1）随之就化归为：在ΔABC中，A＝2C，求证cosC＞1/2．这是一个很简单的问题．同样可证问题（2）．分析上述解题过程，如何将元素统一，以及将条件与结论在表现形式上的统一是问题解决的关键，化归正是朝着这个方向进行的。其实，回顾、反思中学数学学习，很多内容都是遵循统一性原则的：如不同底的对数式运算常通过换底公式统一为同底数的对数来运算；多变元的问题通过消元变为一个变元的问题；三角诱导公式的重要作用就是实现三角式的和谐统一，等等。类似的，2022全国1卷第18题。（2022·新高考Ⅰ卷T18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求的最小值．分析条件是角的关系，结论是边的关系，由统一性原则及正弦定理，将结论与条件统一起来，转化为以，进一步将角统一起来。由化成，即：，得，即有，进一步转化为关于单变元B的代数式，从而，问题就化归为如下表现形式上较统一的问题：【问题3】在ΔABC中，求的最小值.对于问题3，继续将其统一为关于同角B的同名三角函数式：等价于“求的最小值“问题3随之就化归为：在ΔABC中，求的最小值．这是一个很简单的问题．数列1.（多选题）在公比为等比数列中，为其前项和，若，，则下列说法正确的是（）A. B.数列是等差数列C.数列是等比数列 D.数列是等比数列2.已知数列是递增的等比数列，且，，，成等差数列，数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列．3.在数列中，，．（1）求证：等比数列；（2）已知数列，满足．①若数列的前项和，可以表示成，求♠处的代数式；②若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．4.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即，记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.立体几何1.如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，.（1）若为的中点，求证：；（2）求二面角的正弦值.2.如图4所示,在四棱锥中,为的中点,平面平面