幻方与七巧板

幻方与七巧板幻方

世界上第一个幻方来自于中国，中国的洛书就是一个三阶幻方。但我国的幻方后来传到了国外，幻方多彩的变幻特征吸引了许多国外的数学家们。在16、17世纪，西方构造幻方就非常盛行。在19世纪末，幻方的研究发生了巨大的变化，在构造的难度上和奥妙的深度上都已大大超过以往。1890年左右一个叫G.Pfeffermann的法国人，首先发明了第一个八阶和九阶“平方幻方”，在1901年，法国数学家里利的专著中创作了200余幅平方幻方，从而展开了高次幻方研究的新开端，因为平方幻方的各行各列及两条对角线诸数的和、平方和均相等，表现出更高级的美妙，立即引起幻方迷们的重视。平方幻方的发展历史，就应该从法国人G.Pfeffermann谈起。幻方

幻方（MagicSquare)起源于《易》，古

称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。易十数为体，八九为用，八九不离十。《易》九宫算动态组合模型（河图、洛书、八卦）是幻方的最简模型。

幻方是一个高深莫测的数学迷宫和高智力游戏，它的重重大门闪似乎由一串串非常复、精密而又变化多端的连圜锁“参伍错综”地锁着的，人们走进去也许并不难，但是要走出来谈何容易。幻方

《易》九宫学博大精深。汉徐岳在《数术记遗》中已从算学角度称洛书为九宫，南北朝甄鸾注：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九lu一，五居中央。”唐王希《太乙金镜式经》曰：“九宫之义，法以灵龟------此不易之道也”等等。但幻方九宫算的开拓者首当宋大数学家杨辉，他不仅发现了洛书（三阶幻方）的构图口诀，而且还填出了四阶至十阶多幅幻方以及幻圆、幻环等图形。同时，宋丁易东、明程大位、清张潮与方中通等人，也对幻方组合技术做出过重要贡献。

492357816一般地，把n2个不同数字依次填入由n×n个小方格构成的正方形中，使得横行数字之和、直列数字之和以及对角线数字之和都相等，这样的一个数图叫做一个（n阶）幻方，各直线上各数字之和叫幻和。最早有关幻方的文字记载是中国古代数学书《数术拾遗》，那里记载了上述源自“洛书”的方图，当时称为“九宫图”，我国南宋数学家杨辉称这种图为纵横图，欧洲人称之为魔术方阵或幻方。幻方中各数若是从1到n2的连续自然数，则称之为标准幻方。n阶标准幻方的幻和为为什么要研究幻方？幻方起源于古老的传说，自古有一种神秘色彩，人们把她当作护身避邪的吉祥物。许多人热衷于研究幻方，起初，只是因为她包含了无尽的神奇之美，而且，研究幻方本身也是对人的智力的开发。喜欢幻方、研究幻方的人不仅限于数学家，还有物理学家、政治家；不仅有成年人，也有孩子。现代科学家研究幻方，已经远远不是为了好玩或驱灾避邪。电子计算机出现以后，幻方在程序设计、组合分析、人工智能、图论等许多方面发现了新用场。研究幻方，可以分类进行。按照幻方阶数的奇偶性，幻方可以分为奇数阶幻方与偶数阶幻方；偶数阶幻方中，阶数为4的倍数的幻方叫做双偶阶幻方（如4，8，12等阶）;其它的叫单偶阶幻方（如6，10，14等阶）。幻方有多少？可以很容易地证明，2阶幻方是不存在的。我国南宋时期数学家杨辉早在1275年就给出了3—10阶的幻方。目前，国外已经排出了105阶幻方，我国数学家排出了125阶幻方。同一阶幻方，可以有多种不同的排法，阶数越大，排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方，我们有：3阶幻方只有1种；4阶幻方有880种；5阶幻方有275305224种（约两亿七千五百万）；7阶幻方有363916800种（约三亿六千四百万）；8阶幻方超过10亿种。492357816三阶幻方

口诀“九子斜排，上下对易，左右相更，四围挺出”

1.杨辉与奇数阶幻方的构造我国南宋时期数学家杨辉曾对幻方有过深入系统的研究，他于1275年给出了3—10阶的幻方。这里我们给出他关于奇数阶幻方的构造方法，这些方法记载于他的《续古摘奇算经》上。比如，对于3阶幻方，方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进。”，其结果为：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。”具体操作如下图：九子斜排

上下对易，左右相更

四维挺进

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类似的原理可以构造5阶、7阶、9阶等奇数阶幻方。下图给出了5阶幻方的构造过程。

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25子斜排上下对易，左右相更

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112472034122581617513219101811422236192152.奇数阶幻方的劳伯尔（DeLaLoubère）构造原理：在一个具有（2n+1）×（2n+1）个方格的方阵中，最顶一行的中间填上数1，然后按照如下法则进行：法则：在刚填过数字k的方格的右上方方格内填上数字k+1；如果要填数字的方格跑出了方阵之外，则将其填入对边的相应位置（如下图中的数字2、4等）；如果要填数字的方格内已经填上了数字，则在原方格下方方格填入应填的数字（如下页图中的数字6、11、16等）。12345678910111213141516171819202122232425如果给定一个等差数列，我们也可以按照以上方式依次将数列数字填入方格构造出奇数阶幻方。3.偶数阶幻方的海尔(Hire)构造偶数阶幻方的构造总的来说要比较困难。下面介绍的是法国人海尔的方法。为此，我们先引入一个概念：根数——在一个n阶幻方的构造过程中，数字p=1，2，…，n的根数为n(p-1)例如，在四阶幻方中，1的根数为0，3的根数为8；在10阶幻方中，3的根数为20，5的根数为40。下面是海尔构造n阶偶数阶幻方的方法与步骤（以4阶为例具体填数）：（1）将1到n这n个数字分别从左到右（左小右大）填入方阵的两条对角线中,得方阵A；（2）把A中每一行的空格中填入1到n该行尚没有的剩余数字（左大右小）,使每行每列数字之和均为10,得方阵B；

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41324423142311324方阵A方阵B（3）把方阵B转置，即交换行列，此时得到方阵C，C中的数叫原始数；

（4）把C中各原始数分别用其相应的根数替换，得方阵D；

144132232332411401212084484884120012方阵C方阵D（5）最后将B、D两方阵中对应数分别相加，便得到一个n阶幻方E。

11514412679810115133216132442314231132401212084484884120012幻方E4.双偶阶幻方的构造对于双偶阶幻方，我们有比较简单的构造方法。为此，我们先给出一个概念：补数——在一个n阶幻方的构造过程中，数字p=1，2，…，n2的补数为n2+1–p.例如，在四阶幻方中，1的补数为16，3的补数为14；在8阶幻方中，1的补数为64，5的补数为60,10的补数为55。下面我们以8阶幻方为例说明双偶阶幻方的构造方法。首先将从1到n2这n2个自然数依次连续填入方阵各方格内（如图）12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数，得到的方阵即是一个n阶（双偶阶）幻方。

64236160675795554121351501617474620214342244026273736303133323435292838392541232244451918484915145253111056858595462631幻方奇趣1.画家杜拉（AlbrechtDűrer）的铜版画1514年，著名画家杜拉（AlbrechtDurer）画了一幅描绘知识分子忧郁情调的铜版画《忧郁》，其中载入一个使人入迷的4阶幻方（如下图）。

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其引人入胜之处在于她具有许多美妙的性质。比如：（1）幻方中间四个角和中心位置四个小正方形中四个数字之和都相等，而且恰好等于该幻方的幻和34；16321351011896712415141（2）这个幻方的上下半部，左右半部，各奇数行，各偶数行，各奇数列，各偶数列，两条对角线，全部非对角线的八个数字，不仅其和分别相等（68），而且其平方和也分别相等（748）；16321351011896712415141（3）两条对角线上各数的立方和等于非对角线上各数的立方和（9248）；

16321351011896712415141（4）幻方的最后一行的中间两数字15、14恰好表述了该画的创作年代1514。163213510118967124151412.富兰克林的八阶幻方美国政治家富兰克林（1706—1790）制作过一个8阶幻方（如下图）。她具有许多独特的性质。52614132029364514362514635301953605122128374411659544338272255587102326394298575641402524506321518313447161644948333217（1）每半行半列上各数字之和分别相等而且等于幻和（260）之半（130）；（2）幻方四角四个数字与幻方中心四个数字之和等于幻和（260）；52614132029364514362514635301953605122128374411659544338272255587102326394298575641402524506321518313447161644948333217（3）上下各两半对角线8数字之和等于幻和。

526141320293645143625146353019536051221283744116595443382722555871023263942985756414025245063215183134471616449483332173.日本幻方专家片桐善直的八阶幻方日本幻方专家片桐善直制作过一个奇特的8阶幻方（如右图）。她除了具有富兰克林幻方的性质以外，还有自身更独特的性质。13524544396232640194948145727471358285392050441061312362353225633364304111177583859254616602645151852737632942122155434她是一个“间隔幻方”，即相间地从大幻方中取出一些数字，可以组成小的幻方。比如：

4.杨辉的九阶幻方我国南宋时期数学家杨辉在他的《续古摘奇算经》上给出的九阶幻方也有许多更为奇特的性质（有些性质是近来才被发现的）。317613368118292411224058274563203856674497295465247307512327714347916213957234159254361663486855070752358017287310337815764462193755244260718536414669651（1）幻方中心41的任何中心对称位置上两数之和均为82（=92+1）；（2）将幻方依次划分为9块，则得到9个三阶幻方；（3）若把上述9个3阶幻方的幻和值写在3阶方阵中，又构成一个3阶幻方。这个幻方的九个数分别为首项为111，末项为135，公差为3的等差数列。如果将将这些数按大小顺序的序号写入三阶方阵，所得图表正是“洛书”幻方；

1201351141171231291321111264923578165.魔鬼幻方

所谓魔鬼幻方，是指幻方中各副对角线上各数字之和也等于幻和。如下图的四阶幻方就是一个魔鬼幻方。法国数学家密克萨（FrancisL.Miksa）发现5阶幻方中有3600种魔鬼幻方，而且他已全部制表列出。151036451691411271813126.双重幻方

下图是一个双重幻方，即把其各方格中数字平方后得到的新方阵也是一个幻方。原幻方的幻和是260，新幻方的幻和是11180。20世纪初，法国人里列经过长期探索找到了近200个双重幻方。531356057348301995346475618121622423952612716337252431444502646449384313234151152212862405448201110175545365862932733597.乘积幻方下图是一个乘积幻方，即其各横行、直列、对角线上数字之和分别相等，同时，各数字之积也分别相等。该幻方的幻和是840，其各行数字乘积是205806823185600046811171021576200203196023217554691537821616117521719058751351145087184189136815026145389113692271191041082317422557301162513312051261622073934138243100291051528.六角幻方前面所谈到的幻方都是正方形幻方，那么有没有正六边形的幻方呢？也就是说，能否在边长为n的正六边形内的各小六边形内填入不同的数字，使得各条直线上各数字之和都相等呢（称为n阶六角幻方）？1910年，有一个叫亚当斯的青年开始试图排出一个3阶六角幻方。后来人们研究发现，只有当n=3时，六角幻方才是存在的。3阶六角幻方的幻和为38。151310121484965111718173219163阶六角幻方1957年，在西安考古民掘中，发掘出元代安西王府故址，藏有五块刻有“六六纵横图”的铁板，其中一块是：2843313510361821241117231217223081326191629520151425322733346299、质数幻方56959449239359479269659149471131729598910157110、孪生质数幻方2973495849299962992549404933294259353960892339563927892397559317351585130016301255140513331426135416091234156412791241756111、回文质数幻方10301375737747798389973797848735153127213727311411986897636778787962691242136263

幻方出现之后，曾使不少人为之入迷，古今中外许多大数学家、大学者如欧拉、富兰克林等对幻方都很感兴趣，并且逐步研究出了不少独特的构造方法有趣的七巧板

今天，在世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图。它在国外被称为“唐图”（Tangram）意思是中国图，七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》，当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形，还不是七巧板，现在的七巧板是经过一段历史演变过程的，由宋代的燕几图到明代发展为蝶几图。到清初再演变为七巧图。“燕几”包括两张长桌，两