2023高等数学第八章向量代数重点知识点讲解课件

第八章向量代数与

空间解析几何

第一节向量及其线性运算表示法:向量的模

:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径

(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面

.记作－a;规定:零向量与任何向量平行

;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;记作二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.机动目录上页下页返回结束2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法

是一个数,规定:可见

与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此定理1

设

a

为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b

同向时则b

与a

同向,设又有b＝

a,“”则已知

b＝a,b＝0a,b同向a∥ba,b反向横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系

三个坐标轴的正方向符合右手系.三、空间直角坐标系1.空间直角坐标系的基本概念Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ

坐标面

坐标原点

坐标轴

卦限(八个)空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点2.向量的坐标表示设点

M

则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量

r

的坐标分解式,在空间直角坐标系下,任意向量r

，都可以找到一点M，使得r=OM，称其为点M关于原点O的向径。四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:五、向量的模、方向角

1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称

=∠AOB(0≤

≤

)

为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角

,,

为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作方向余弦的性质:例1已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量作业

P13习题8-11，4，5，15第二节数量积向量积

启示:实例两向量作这样的运算,结果是一个数量定义一、两向量的数量积

记作故1、关于数量积的说明证证2、数量积符合下列运算规律：(1)交换律：(2)分配律：(3)若为常数：若、为常数：设3、数量积的坐标表达式由此得两向量夹角余弦的坐标表示式可知两向量垂直的充要条件为解证：因为所以实例二、两向量的向量积定义向量积也称为“叉积”、“外积”。1、关于向量积的说明：//证////2、向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：设3、向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式//由上式可推出：补充解作业

P23习题8-21(1)、(3)，3，4，9第三节平面及其方程

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知设平面上的任一点为必有一、平面的点法式方程平面的点法式方程平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程．其中法向量

已知点解取所求平面方程为化简得取法向量化简得所求平面方程为解由平面的点法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.平面一般方程的几种特殊情况：设平面为由平面过原点知所求平面方程为解设平面为将三点坐标代入得解将代入所设方程得平面的截距式方程设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解化简得令代入体积式所求平面方程为定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面的特殊位置关系：////例4研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角两平面平行两平面平行但不重合．两平面平行两平面重合.解点到平面距离公式1.平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）2.两平面的夹角.3.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方程.（注意两平面的位置特征）四、小结作业

P29习题8-34做书上1，3，5，6，9第四节空间直线及其方程定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程方向向量：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//二、空间直线的对称式方程与参数方程直线的对称式方程令直线的一组方向数方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程例1用对称式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一点取解得点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程解所以交点为取所求直线方程定义直线直线^两直线的方向向量的夹角.（锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的特殊位置关系：//直线直线例如，解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程解先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．^^四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的特殊位置关系：////解为所求夹角．1.空间直线的一般方程.2.空间直线的对称式方程与参数方程.3.两直线的夹角.4.直线与平面的夹角.（注意两直线的特殊位置关系）（注意直线与平面的特殊位置关系）五、小结作业

P36习题8-41，2，8第五节曲面及其方程水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：一、曲面方程的概念解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为1、球面方程2、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条定直线叫旋转曲面的轴2、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条定直线叫旋转曲面的轴2、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条定直线叫旋转曲面的轴2、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条定直线叫旋转曲面的轴2、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条定直线叫旋转曲面的轴2、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条定直线叫旋转曲面的轴2、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条定直线叫旋转曲面的轴2、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条定直线叫旋转曲面的轴2、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条定直线叫旋转曲面的轴2、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条定直线叫旋转曲面的轴2、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条定直线叫旋转曲面的轴2、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条定直线叫旋转曲面的轴旋转过程中的特征：如图将代入得方程解圆锥面方程例3将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．旋转双曲面旋转椭球面旋转抛物面定义3、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.定义3、柱面平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面//轴双曲柱面//轴抛物柱面//轴椭圆柱面//轴ozyMx抛物柱面//轴双曲柱面//轴(1)椭球面：4、二次曲面(三元二次方程)（2）椭圆抛物面xyzo(3)双曲抛物面（马鞍面）xzoyxyoz(4)单叶双曲面图形(5)双叶双曲面图形xyozOxyz(6)二次锥面1.曲面方程的概念2.旋转曲面的概念及求法.3.柱面的概念(母线、准线).小结4.二次曲面作业

P45习题8-51，8(1)、(3)，10(1)、(2)第六节空间曲线及其方程

空间曲线的一般方程特点:

曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.一、空间曲线的一般方程例1方程组表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程

动点从A点出发，经过t时间，运动到M点螺旋线的参数方程取时间t为参数，解则螺旋线的参数方程可以化为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度螺距消去变量z后得：曲线关于的投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在面上的投影曲线如图:投影曲线的研究过