2017-2018学年高中数学4-5练习2.1柯西不等式含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二章DIERZHANG几个重要的不等式§1柯西不等式课后篇巩固探究A组1.若a2+b2=2，则a+b的最大值为(）A。1 B.2 C.2 D。4解析：由柯西不等式可得（a2+b2）(12+12）≥(a+b）2，即（a+b)2≤4，当且仅当a=b=1时等号成立,所以—2≤a+b≤2，即a+b的最大值为2.答案:C2。若x2+y2+z2=1,则x+y+2z的最大值等于(）A。2 B.4 C。2 D。8解析：由柯西不等式可得［12+12+(2)2](x2+y2+z2）≥（x+y+2z)2,即(x+y+2z）2≤4,当且仅当x=12，y=12,z=22时等号成立，因此x+y+2z≤2,即x+y+2答案：A3。设a,b,c均为正数,且a+b+c=9，则4a+9A。81 B.49 C。9 D.7解析：由柯西不等式可得4a+9b+16c=19(a+b+c）4a+答案:C4.函数y=x-5+26-A。3 B。5 C.3 D.5解析:根据柯西不等式，知y=1×x-5+2≤12当且仅当6-x=2x-5,即答案:B5.设a,b∈R,且a2+b2=5，则3a+b的最小值为()A.52 B.—510C。—50 D.-52解析:令α=（a，b）,β=（3，1),则α·β=3a+b，｜α|=a2+b2=5由柯西不等式的向量形式可得｜α·β|≤|α｜|β｜，所以｜3a+b｜≤5×10=52，当且仅当a=322，b=22时等号成立,因此-52≤3a+b≤52,即3a+b答案:D6.设a，b，c是正实数，且a+b+c=9，则2a+2解析:因为（a+b+c)2a+2b+2c=[(a）2+(b)2b·2b+c·2c2答案:27.设a,b,c，d，m,n都是正实数，P=ab+cd，Q=ma+ncbm+解析：P=am≤( =am+ncbm+dn答案：P≤Q8.已知a，b,m,n均为正实数，且a+b=1,mn=2，则(am+bn）（bm+an)的最小值为。

解析:由柯西不等式,得（am+bn)（bm+an）≥（am·an+bm·bn)2=mn（a+b)2=2，当且仅当m=n=2时，等号成立.答案：29.已知a，b，c为正实数,且满足acos2θ+bsin2θ〈c,求证:acos2θ+bsin2θ<c.证明由柯西不等式，得acos2θ+bsin2θ≤(=(a故原不等式成立.10。导学号35664033设a,b∈R+,且a+b=2。求证：a22-证明由柯西不等式,得[(2—a)+(2-b)］a =［（2-a)2+（2-b ≥2 =(a+b)2=4。因为a，b∈R+，且a+b=2,所以2-a>0,2—b>0，所以a22-a+b2B组1。若实数x+y+z=1,则2x2+y2+3z2的最小值为()A.1 B。6 C.11 D.6解析：∵（2x2+y2+3z2)1≥2=(x+y+z）2=1，∴2x2+y2+3z2≥112+1+13=611，当且仅当x=3∴2x2+y2+3z2的最小值为611答案:D2.若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形,则长方形ABCD周长的最大值为（)A。2R B.22R C。4R D.42R解析：如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为4R2-x2，于是ABCD的周长l=2(x+4R2-由柯西不等式得l≤2[x2+（4R2-x2)2]12（12+12)12=2×2R×2=42R,当且仅当x此时4R2-x2=答案:D3.已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,则3a+2A。39 B。13 C。13 D.18解析:3a+2b+c=3a+2b答案：A4.设a,b，c为正数,则(a+b+c)4a+9解析：(a+b+c)4a+9b+36c=[（a）2+(b）2≥a·2a+b·3b+c当且仅当a2=答案：1215。已知a，b∈R+,且a+b=1，则12a+解析：因为a,b∈R+，且a+b=1,所以12a+1b=(a+b)12a+1b，由柯西不等式得(a+b)12a+1b≥a·答案:36.已知x2+y2=2，且｜x|≠|y|,求1(x解令u=x+y,v=x-y,则x=u+v2，∵x2+y2=2，∴（u+v）2+(u—v）2=8,∴u2+v2=4.由柯西不等式,得1u2+1v2当且仅当u2=v2=2,即x=±2,y=0或x=0,y=±2时,1(x7。导学号35664034已知x，y,z∈R,且x-2y—3z=4，求x2+y2+z2的最小值。解由柯西不等式得［x+(—2)y+(—3）z］2≤［12+（-2)2+(—3)2］（x2+y2+z2)，即(x-2y-3z)2≤14（x2+y2+z2)，所以16≤14(x2+y2+z2）.因此x2+y2+z2≥87,当且仅当x=y-2=z-3，即当x=27，y=-47,z=-678.导学号35664035求函数y=x2-2解y=(x根据柯西不等式,有y2=（x-1)2+2+(3-x）2+5+2[(x-1)2+2][(3-x)2+5]≥(x-1)2+2+（3-x）2+5+2［(x—1)（3—x）+10］=［(x-1）+(3当且仅当5（x—1)=