平面向量的概念及线性运算

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)向量的有关概念:①向量:既有_____,又有_____的量叫向量;②模:向量的_____叫做向量的模,记作|a|或||;③零向量:长度等于0的向量,其方向是_______,记作0;④单位向量:长度等于________的向量;大小方向长度任意的1个单位⑤平行向量:方向___________的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线;⑥相等向量:长度相等且方向_____的向量;⑦相反向量:长度相等且方向_____的向量.相同或相反相同相反(2)向量的加法与减法:加法减法定义求两个向量和的运算向量a加上向量b的_________叫做a与b的差,即a+(-b)=a-b相反向量加法减法法则(或几何意义)_______法则___________法则_______法则运算律①交换律:a+b=____②结合律:(a+b)+c=________a-b=a+(-b)三角形平行四边形三角形b+aa+(b+c)(3)向量的数乘运算及其几何意义:①定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:(ⅰ)|λa|=________;(ⅱ)当λ>0时,λa与a的方向_____;当λ<0时,λa与a的方向_____;当λ=0时,λa=0.|λ||a|相同相反②运算律:设λ,μ是两个实数,则(ⅰ)________=(λμ)a;(ⅱ)(λ+μ)a=________;(ⅲ)λ(a+b)=________.(4)共线向量定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使______.λ(μa)λa+μaλa+λbb=λa2.必备结论教材提炼记一记(1)若存在非零实数λ,使得或则______三点共线.(2)若存在非零实数λ,使得=λ,则A,B,C(3)三个重要结论:①相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性;②向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量;③平行向量与起点无关.3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:数形结合法,待定系数法.(2)常用思想:数形结合,函数与方程.(3)记忆口诀:①向量的有关概念:大小相等同方向,就是相等的向量.大小相等反方向,称其互为负向量.向量大小叫做模,模零向量零向量.零向量仍有方向,方向不定好商量.②向量的加法:向量可加亦可减,减即加上负向量.首尾衔接向量组,初始末终和向量.起点公共两向量,平行四边形帮忙;公共起点是起点,对角线乃和向量.③差向量:起点公共两向量,终点构成差向量.④向量求和:非平行的两向量,求和平行四边形.平行向量要求和,需用法则三角形.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)单位向量只与模有关,与方向无关.()(2)零向量的模等于0,没有方向.()(3)若两个向量共线,则其方向必定相同.()(4)若a∥b,b∥c,则必有a∥c.()(5)=0.()【解析】(1)正确.由定义可知只要模为1的向量,就叫单位向量,与方向无关.(2)错误.零向量的方向是任意的.(3)错误.可能相同,也可能相反,若有零向量,则两向量方向不定.(4)错误.若b为0,则a不一定与c共线.(5)正确.=0.答案:(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√2.教材改编链接教材练一练(1)(必修4P78A组T5改编)已知三角形ABC,用与表示BC边上的中线向量,则=

.【解析】答案:(2)(必修4P92B组T2改编)已知a,b是非零向量,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边构成的四边形的形状为

.【解析】如图,在以a与b为邻边的四边形中,|a+b|与|a-b|分别为四边形的两条对角线,故由对角线长相等的平行四边形是矩形可知,以a,b为邻边的四边形是矩形.答案:矩形3.真题小试感悟考题试一试(1)(2013·四川高考)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,则λ=

.【解析】在平行四边形ABCD中,而所以故λ=2.答案:2(2)(2013·江苏高考)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若

(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为

.【解析】由则λ1+λ2的值为.答案:(3)(2015·威海模拟)判断下列四个命题:①若a∥b,则a=b;②若|a|=|b|,则a=b;③若|a|=|b|,则a∥b;④若a=b,则|a|=|b|.其中正确的是

.【解析】①中两向量共线,但这两向量的方向、模均不一定相同,故不一定相等;②中两向量的模相等,但方向不一定相同,故这两向量不一定相等;③中两向量的模相等,但两向量不一定共线;④中两向量相等,则模一定相等,故正确.答案:④考点1平面向量的概念【典例1】(1)(2015·滨州模拟)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是()A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|(2)(2015·洛阳模拟)给出下列命题:①非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件;②若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上;③若a与b同向,则a与-b反向;④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误命题的序号为

.【解题提示】(1)利用向量相等与单位向量的概念求解.(2)利用共线向量定理逐一判断.【规范解答】(1)选C.由表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.(2)对于①,因为向量a与b都是非零向量,所以该命题是正确的;对于②,因为向量与共线,且有公共点B,所以该结论是正确的;对于③,因为b与-b反向,所以该结论正确;对于④,当λ=μ=0时,a与b可为任意向量,不一定共线,所以④不正确.答案:④【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错.(1)不清楚,表示何种向量,不知道是a方向上的单位向量.(2)求解时易忽视两向量是同向还是反向,是共线还是相等.【互动探究】若本例(2)④中的λ,μ都为非零实数,该结论是否正确?【解析】因为λ,μ都为非零实数,则由λa=μb,得a=b,由共线向量定理知该结论成立.【规律方法】向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制,但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共线.【变式训练】下列命题中正确的个数为()①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;③向量与向量共线,则A,B,C,D四点共线;④如果a=b,b=c,那么a=c.A.1B.2C.3D.0【解析】选A.①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量;②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;④正确,因为a=b,b=c,由相等向量的概念可知a与c方向相同,大小相等,故a=c.【加固训练】1.设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0,上述命题中,假命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.2.(2015·南昌模拟)下列关于向量的叙述不正确的是()A.向量的相反向量是B.模长为1的向量是单位向量,其方向是任意的C.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB=CD,则=D.若向量a与b满足关系a+b=0,则a与b共线【解析】选C.A,B显然正确;对于C,如图,A,B,C,D四点满足条件,但≠,所以C不正确;对于D,由a+b=0,得b=-a,由共线向量定理知,a与b共线,所以D正确.考点2平面向量的线性运算

知·考情平面向量的线性运算是高考考查的热点内容.常以选择题、填空题的形式出现.考查向量加法的平行四边形法则和三角形法则,向量减法的三角形法则及向量的相等.明·角度命题角度1:利用向量加减运算的几何意义求解向量问题【典例2】(2014·浙江高考)记设a,b为平面向量,则()A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2【解题提示】利用向量的平行四边形法则,再比较模的大小.【规范解答】选D.作出a,b,a+b,a-b,由于|a+b|,|a-b|与|a|,|b|的大小关系与夹角大小有关,故A,B错,当a,b夹角为锐角时,|a+b|>|a-b|,此时|a+b|2>|a|2+|b|2,当a,b夹角为钝角时,|a+b|<|a-b|,此时|a-b|2>|a|2+|b|2,当a⊥b时,|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2,故选D.命题角度2:利用平面向量线性运算求解向量问题【典例3】(2015·临沂模拟)在△ABC中,若D是AB边上一点且则λ+μ=()A.B.1C.-1D.-【解题提示】作出图形利用向量线性运算求解.【规范解答】选B.如图所示,由三角形法则可知故μ=,λ=,λ+μ=+=1.悟·技法平面向量线性运算的一般思路(1)准确作出图形,确定每一个点的位置.(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式.(3)比较,观察可知所求结果.通·一类1.(2015·厦门模拟)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则=()【解析】选C.设a=以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=因为a和长度相等,方向相同,所以a=,故选C.2.(2015·九江模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,且那么一定有()【解析】选D.由题意得即3.(2015·扬州模拟)在△ABC中,N是AC边上一点且P是BN上一点,若则实数m的值是

.【解析】如图所示.设则=因为所以λ=,所以1-λ=,所以m=.答案:4.(2015·兰州模拟)任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若则λ+μ=

.【解析】如图所示,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以又因为所以①同理②由①+②得,所以所以λ=,μ=.所以λ+μ=1.答案:1考点3共线向量定理及其应用【典例4】(1)(2015·沈阳模拟)已知向量a,b,c中任意两个都不共线,并且a+b与c共线,b+c与a共线,那么a+b+c等于()A.aB.bC.cD.0(2)如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,①用a,b表示向量②求证:B,E,F三点共线.【解题提示】(1)利用共线向量定理及向量相等的概念求解.(2)①利用线性运算几何意义求解.②利用共线向量定理得出.【规范解答】(1)选D.因为a+b与c共线,所以a+b=λ1c.①又因为b+c与a共线,所以b+c=λ2a.②由①得:b=λ1c-a.所以b+c=(λ1+1)c-a=λ2a,所以即所以a+b+c=-c+c=0.(2)①由已知可得:因为所以=·

(a+b)=

(a+b),=b,=(a+b)-a=b-

a,=b-a.②由=b-

a,=b-a,得=,又,有公共点B,故B,E,F三点共线.【规律方法】共线向量定理的应用(1)证明向量共线:对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb,则a与b共线.(2)证明三点共线:若存在实数λ,使则A,B,C三点共线.(3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.提醒:证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.【变式训练】设e1,e2是两个不共线向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线.(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.【解析】(1)由已知得=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,因为=2e1-8e2,所以=2,又有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)由(1)可知=e1-4e2,且=3e1-ke2,又因为B,D,F三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即3e1-ke2=λe1-4λe2,得解得k=12,所以k=12.【加固训练】1.a=λb(λ∈R)是a与b共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=λb(λ∈R)时,若b=0,则a=0,显然a与b共线;若b≠0,则由共线向量定理知a与b共线.反之,若a与b共线,当b=0,而a≠0时,a=λb(λ∈R)不成立.故选A.2.设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(