边坡稳定性计算方法演示文稿

边坡稳定性计算方法演示文稿第一页，共五十七页。优选边坡稳定性计算方法第二页，共五十七页。煤炭系统规定边坡稳定性分析概述

边坡岩体可能处于相对静止状态，或者处于极限平衡状态，或者处于运动状态。处于相对静止状态的边坡是稳定的；处于运动状态的边坡岩体称为滑坡体，边坡岩体的运动过程称为滑坡。

事实上，边坡岩体内存在两种不同类型的力：阻止岩体向下滑动的力——抗滑力；驱使岩体向下滑动的力——滑动力。通过抗滑力与滑动力（或抗滑力矩与滑动力矩）的比较，就可以判断出边坡岩体所处的状态，这就是边坡稳定性分析。怎样判断边坡岩体所处的状态？

边坡稳定分析的任务有两类：一类是验算已有边坡的稳定性，以便决定是否采取防护措施。如果需要采取防护措施，稳定性计算的结果将作为防护设施设计的依据。另一类是设计合理的边坡参数，使得设计的边坡既安全又经济。目前，边坡稳定分析的结果通常用边坡稳定系数来表示。规范对稳定系数的大小作出了规定。露天煤矿工程设计规范边坡稳定性系数选取表1.21.3<10>10

内排土场边坡1.2~1.5>20

外排土场边坡1.0~1.2临时

工作帮边坡1.1~1.21.2~1.31.3~1.5<1010~20>20

非工作帮边坡1.3~1.5>20

采掘场最终边坡>1.5>20

边坡上部有重要建筑物或边坡滑落会造成生命财产重大损失者稳定系数服务年限(a)边坡类型《露天煤矿工程设计规范》（GB50197-94）

_______其它部门规定_______

《岩土工程勘察规范》规定边坡的稳定系数按以下方法取值：新设计的边坡，对安全等级为一级的边坡工程，Fs值宜采用1.30～1.50；安全等级为二级的边坡工程，Fs值宜采用1.15～1.30，安全等级为三级的边坡工程，Fs值宜采用1.05～1.15。当边坡采用峰值抗剪强度参数设计时，Fs取大值，采用残余抗剪强度参数设计时，Fs取小值。验算已有边坡的稳定性，Fs值可采用1.10～1.25；当需要边坡加荷，增大坡角或开挖坡角时，应按新设计边坡取值。《建筑地基基础设计规范》规定：滑坡推力安全系数应根据滑坡现状及其对工程的影响等因素确定，对一级建筑物取1.25，二级建筑物取1.15，三级建筑物取1.05。第三页，共五十七页。边坡稳定性计算方法分类

边坡稳定性计算目前多采用二维断面进行分析，三维分析使用还较少。稳定性分析方法可分为三类：

概率分析法把滑体视为刚体；滑动面因剪切破坏而形成；用块体在斜坡上的平衡原理确定稳定系数。

刚体极限平衡法

数值分析法包括有限单元法、边界单元法、离散单元法等。根据边坡体内的应力和位移分布确定边坡的稳定性。用数理统计方法分析边坡的稳定性。第四页，共五十七页。

平面滑坡的稳定性计算1

平面滑坡是指边坡上的岩体沿某一倾斜面的滑动。发生平面滑坡的条件是：

滑面走向与边坡走向平行或近于平行(相差20左右)

滑面倾角小于边坡角，且滑动面在坡面上有出露滑面倾角大于滑动面的等效摩擦角滑面两侧有裂面，侧向阻力可以忽略___________________第五页，共五十七页。

平面滑坡的稳定性计算2

平面滑坡稳定性计算有以下几种情况：

边坡内有确定的滑面但没有竖直张裂逢边坡内有确定的滑面及竖直张裂逢边坡内没有确定的滑面，滑面需经分析求得边坡内没有确定位置的竖直张裂逢_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________第六页，共五十七页。圆弧面滑坡的稳定性计算

圆弧面滑坡通常出现在均质岩土边坡中，其稳定系数的定义是：

求出Fs的关键问题是确定抗滑力矩和滑动力矩。确定抗滑力矩和滑动力矩的方法很多，这里只介绍两种常用的方法——Fellenius条分法和Bishop法。____________________________________________________

Fellenius条分法和Bishop法在求稳定系数时都需要试算滑动面，有没有不需要试算的方法确定滑面？

俄国人费先科提出的作图法可以一次求出滑动面。________________动第七页，共五十七页。圆弧面滑坡的稳定性计算第八页，共五十七页。

在进行稳定性计算时，通常将滑体分为若干条块(可以用竖直界面划分，也可以用倾斜界面划分)。双折滑面任意曲面________________________________________曲折滑面滑坡的稳定性计算

边坡岩体被纵横交错的地质断裂面切割，由这些断裂面形成的滑面，往往不是平面或圆弧等规则形状的，而是具某一曲折形状。第九页，共五十七页。

楔形体滑坡的稳定性计算1发生楔体滑坡的条件：两组结构面与边坡面斜交，结构面的组合交线倾向与边坡倾向相同、倾角小于边坡角，组合交线的边坡面上有出露。ψ、β、ξ可以用赤平极射投影获得__________________________________第十页，共五十七页。

楔形体滑坡的稳定性计算2联立求解得：根据力的平衡条件：第十一页，共五十七页。

楔形体滑坡的稳定性计算3

如果结构面a、b的面积分别为Sa和Sb，内聚力和内摩擦角分别为Ca、Cb、

φa、φb，则楔体的抗滑力为

楔体的稳定系数Fs：

如果Ca=Cb=0，φa=φb=φ，则

将Na、Nb的表达式代入可得第十二页，共五十七页。

楔形体滑坡的稳定性计算4

如果考虑竖直张裂面、地下水以及锚固力，则楔体的稳定系数可表示为

E.Hoek等人提出了一种确定楔体稳定系数的方法——E.Hoek图解法。____________________________第十三页，共五十七页。楔形体滑坡的E.Hoek图解法

E.Hoek法是将边坡面、坡顶面和两个结构面绘制在赤平极射投影图上，4个圆弧有5个交点，分别代表了5条线，各线之间的夹角可在图中测出。第十四页，共五十七页。楔形体滑坡的E.Hoek图解法根据测得的角度，求出楔体的几何形状参数：楔体的稳定系数为：如果Ca=Cb=C、φa=φb=φ，又没有水的情况下：第十五页，共五十七页。球投影法分析边坡的稳定性

用赤平极射投影定量地分析边坡的稳定性的方法称为球投影法。

基本知识摩擦锥摩擦圆广义摩擦锥裂隙组的摩擦圆平面滑坡分析折面滑坡分析楔体滑坡分析__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________第十六页，共五十七页。崩落及屈曲滑坡的计算

崩落主要出现在坚硬岩石陡边坡中。当岩体被几组结构面切割成陡立柱状、板状、棱块状体之后，在一定条件下，会发生转动或转动兼滑动。这种岩体破坏一般速度快、能量大，统称为崩落。柱状岩体的转动常称为倾倒。

站立在斜坡上的柱体不发生转动的极限平衡条件是该柱体的重力W的作用线不超过柱体的底缘即：

斜面上的块体滑动和倾倒的条件可以用左图表示。同样产状的两组裂隙，由于切割出来的宽高比不同，一个边坡有崩落的危险，另一个可能是安全的。

影响崩落的因素，除了裂隙密度外，还有岩柱基底的强度、坡脚断裂面上的摩擦强度、岩柱间的连接强弱以及震动效应等。崩落的规模不大，但其危害很大（由于其突然性），要注意监测和预防。屈曲变形破坏仅发生在层理或片理发育的岩体中。屈曲变形的影响因素除了岩柱的长度外，还有裂隙的发育程度、断裂面起伏程度、层间连接强弱以及震动效应等。第十七页，共五十七页。

DEM主要用于模拟岩石块体的渐进运动过程。假定块体为一个不变形的刚体，各刚体之间采用弹簧连接，弹簧的刚度由一个假定的表面变形系数来决定。这样接触力就以块体间相互嵌入的深度为变形乘以刚度系数得出，从而描述整个刚体系统的运动。近年来DEM在岩石力学中得到了广泛的应用。DEM允许离散块体有有限的位移和旋转，并包括子块体完全脱离母体的运动，在计算过程中可以自动识别块体之间的新的接触关系。DEM能够较为准确地预测、模拟块体的运动特征，但它没有考虑应力和应变，因而使用上有很大的局限性。

BEM以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。边界的离散比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度；由于BEM所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而BEM特别便于处理无限域以及半无限域问题；BEM不适用于解决非均匀介质的问题。数值分析法简介

数值分析法包括：有限单元法(FEM—FiniteElementMethod)、边界单元法(BEM—BoundaryElementMethod)、离散单元法(DEM—DistinctElementMethod)等等，常用的软件有：ADINA、UDEC、FLAC等。

FEM将连续的求解区域离散为有限个、并按一定方式相互联结在一起的单元的组合体，单元之间通过节点联接在一起。由于单元能按不同的联结方法进行组合，而且单元本身也可以有不同形状，FEM可以模拟任何形状的物体。根据模拟材料的本构关系，可求出每个节点的位移和所有单元的应力。第十八页，共五十七页。

FEM已有许多商业软件，我们要作的工作就是确定计算范围、给定边界条件，输入岩土物理力学参数，最后对计算结果进行整理分析。对于走向长度远大于高度的边坡，通常按平面问题来分析，范围和边界条件可按下图选取。有限单元法

FEM通常采用三角形和四边形单元。第十九页，共五十七页。

概率法是20世纪70年代开始被用于边坡稳定性分析的。极限平衡法、数字分析法等都是把决定边坡稳定性的各种参数(C、φ、γ、E、μ等)看成确定值，所以稳定系数也是一个确定量。

事实上，某些因素具有不确定性(如裂隙的产状、岩土强度参数等)，边坡的稳定性也应该是具有某种分布的随机变量，边坡破坏有一定的发生概率。

概率分析法用于分析节理岩体的稳定性时，将岩体的裂隙产状要素等视为随机变量，用数理统计理论确定其分布类型，建立概率密度函数，并求出特征值。概率分析法简介

节理产状要素统计值的概率分布特点

节理倾角的概率分布

节理长度的概率分布节理方位的概率分布

平面滑动概率分析

楔体滑动概率分析

节理的方位用节理面法线在三维空间的单位矢量来表示，或用节理的极点表示。同一组节理的方位通常服从三维正态分布。

如前所述，节理的概率圆半径ψ与离散系数K和出现概率P的关系为：

节理的长度的累积频率服从负指数分布：或韦布尔分布：

同一组内的节理倾角分布服从正态分布，其概率密度函数为：第二十页，共五十七页。平面滑动概率分析

平面滑动时边坡的破坏概率PF可以看成两个独立事件概率(破坏面的存在概率PE和沿这些面产生的滑动概率PS)的复合概率：

滑面的存在破坏主要取决于结构面的几何条件，即倾角及长度。

只有那些倾角不陡于边坡角，且其长度足够使得在该倾角下由坡脚(或坡面)出露到坡顶的结构面，才能构成可能的平面滑面。

平面滑面存在概率也就是滑面的几何概率，它也是两个独立事件概率(倾角概率PD和长度概率PL)的复合概率：。PDi和PLi都可以由相应的概率分布曲线下的面积求得。

PE的计算过程：确定滑面的倾角范围建立频率分布图计算PDi和PLi用PEi=PDi

PLi计算PE

根据已知的坡高和坡角计算某一倾角下(如第1组的31°、第2组的33°等等)构成滑面的最小长度(如L1、L2等)，再根据长度累积概率曲线计算大于等于最小长度的概率(PL1,PL2等)。如PL2=exp(-BL2C)第二十一页，共五十七页。平面滑动概率分析

平面滑面存在概率也就是滑面的几何概率，它也是两个独立事件概率(倾角概率PD和长度概率PL)的复合概率：。PDi和PLi都可以由相应的概率分布曲线下的面积求得。

PE的计算过程：

PS的计算过程：

根据C,φ的分布用MonteCarlo法求一定数量(通常需要400~500组)的抽样值，并用公式计算稳定系数，fi<1.0的次数所占百分比就是第i组的滑动概率。

求出PE和PS后,就可以得到边坡沿某组结构面滑动的概率：第二十二页，共五十七页。楔体滑动概率分析

楔体滑动的条件有两个：一是构成楔体的两个结构面的交线的倾角应缓于边坡角；二是这些缓倾角的交线还应有足够的长度，使其在边坡上下均有出露。

交线的长度取决于左右结构面的长度，而左右两结构面的长度概率是相互独立的，所以有：

滑动概率的计算与平面破坏概率分析法相同。某一符合滑动条件的楔体的破坏概率PFi为：

所有符合滑动条件的楔体的破坏概率PF为：第二十三页，共五十七页。假设：①滑体不透水，水自在坡顶的滑面渗入，经滑面从坡面流出，水压呈线性变化；②滑体的重力W、水压力U通过滑体的重心。式中W为单位走向长度滑体的重量：当C＝0、Hw＝0时：边坡内有确定的滑面但没有竖直张裂逢U为单位走向长度上水的浮托力：稳定系数为第二十四页，共五十七页。边坡内有确定的滑面及竖直张裂逢假设：①滑体不透水，水自竖直张裂逢渗入，流经滑面从坡面流出，水压呈线性变化；②滑体的重力W、水压力U和V均通过滑体的重心。则滑体的稳定条件为：平面滑坡的稳定系数Fs：A

——

单位走向长度上的滑面面积：A＝(H－Z)/cosβ

β——

滑面的倾角()张裂逢中的水平推力滑面上的浮托力参考文章__________________当张裂隙位于坡面时，当张裂隙位于坡顶时，第二十五页，共五十七页。边坡内没有确定的滑面，滑面需经分析求得最危险滑面的倾角βcr这个公式的推导有问题。应用进行推导，因为βcr是与Fs有关。_______________计算βcr_______________第二十六页，共五十七页。边坡内没有确定位置的竖直张裂逢

设张裂逢深度为Z，滑体的稳定性系数Fs可表示为：求Fs对Z的偏导数，并令可求出最危险的张裂逢高度(临界高度)Zcr：第二十七页，共五十七页。

Fellenius条分法的具体步骤是：①选择一个圆心，以到边坡脚的距离为半径在边坡内作一圆弧；②将圆弧以上的部分(滑体)用竖线划分为若干个竖直条块；③根据各条块的几何形状确定每一条块的重量Wi、底滑面长度li、底滑面倾角αi；④求出各条块对O点的力矩；⑤根据Fs的定义求出该滑面对应的稳定系数；⑥重复步骤①~⑤，找出最小的Fs值即为边坡的稳定系数。

Fellenius条分法也叫瑞典条分法，是将滑体划分为若干个竖直分条，并假设分条上的力都通过分条底面的中点。求出每一条块抗滑力和下滑力对圆心的矩，最后分别相加求出比值就是边坡沿该滑面滑动时的稳定系数——注意，这并不是边坡的稳定系数！不断改变滑面圆心的位置，求出一系列的Fs值，其中最小的就是边坡的稳定系数。Fellenius条分法______________________第二十八页，共五十七页。Bishop法

Bishop法是对Fellenius条分法的一种改良，其求解步骤与Fellenius条分法是相同的。只是考虑作用在每一条块上的力不同，Bishop法多考虑了竖直分界面上的水平反力(Ei、Ei+1)和剪切反力(Ti、Ti+1)以及底滑面上的水压力Ui。

Bishop法有两种不同的解题方法——精确解法和简化解法，后者与前者相比，误差小于1％________________________________________Ui第二十九页，共五十七页。Bishop精确解法

按照滑体极限平衡时的力矩平衡条件，应有

按照Mohr-Coulumb准则，当边坡破坏之前底滑面上的各力应满足Si=(Cli+Nitanφ)/Fs，其中Fs为强度储备系数(或称为稳定系数)。另外，根据稳定系数的定义有在极限平衡条件下，沿底滑面法线方向的合力应为零，即综合上述几个式子，并注意到xi=Rsinαi，于是有要通过上式求解Fs值，需要先假设(n-1)组(Ti-Ti+1)的值，这些值应满足以下条件：

满足每分条力的平衡

E、T为内力，当坡顶和坡面没有外载时，对于整个滑体应满足：∑(Ti-Ti+1)=0、∑(Ei-Ei+1)=0

E不能为拉应力，且其作用点应满足分条的力矩平衡

在使用精确Bishop法时，先直接选择一组(Ti-Ti+1)，使其满足∑(Ti-Ti+1)=0(这很容易)。但要同时满足∑(Ei-Ei+1)=0就非常困难。因为(Ti-Ti+1)与(Ei-Ei+1)有这样的关系：

显然，要让∑(Ei-Ei+1)=0，就必需使

由于Si、αi和Wi都是随分条变化而变化的，为了满足上式，需要进行大量的试算，非常复杂。第三十页，共五十七页。Bishop简化解法

为了简化计算，取条块竖直方向的合力为零得：Ui将Si=(Cli+Nitanφ)/Fs

代入上式并整理得：将Ni的表达式代入Fs的定义式得：再令(Ti–Ti+1)=0，则得到Fs的Bishop简化计算式：___

用简化Bishop法计算稳定系数需要用迭代法先假设一个Fs值(例如1.0)代入方程的右端，计算出方程左端的Fs值，再将其代入方程的右端，如此反复直到两端的Fs值相等或在也许的误差范围之内为止。第三十一页，共五十七页。双折滑面滑坡

一种常见的滑动模式。可分两种情况：一种是滑体内无明显弱面，整个滑体视为一刚体；另一种是滑体内有弱面，在滑动过程中沿弱面可能发生错动。没有弱面有弱面________________________________________第三十二页，共五十七页。任意曲面滑坡

对于任意曲面的滑坡，可将滑体用竖直分界面划分成若干个竖直条块。取出任意条块i进行受力分析：Ni、Si、ei——底滑面上的法向反力、切向反力和Ni作用点的位置；Ei、Ti、di——分界面上的法向反力、切向反力和Ei作用点的位置；滑体极限平衡时应满足____________________________________________每个条块有在各条块底滑面上，满足(Mohr-Coulumb准则)对于整个滑体内力应平衡Ei>0、Ni>0滑体平衡时条块分界面上不发生剪切破坏，即Ti≤C+Eitanφ滑体两端无外载荷时，应满足E0＝En＝T0＝Tn＝0第三十三页，共五十七页。任意曲面滑坡对于整个滑体来说，一共有6n－2个未知量，其中：

Ei、Ti及Ei的作用点，共3(n-1)个；

Ni、Si及Ni的作用点，共3n个；

稳定系数Fs，1个。可列出的方程只有4n个，包括：各条块的静力平衡方程

3n个；各条块满足的Mohr-Coulumb准则n个；只能通过假设的方法来减少未知量的个数才能求解。不同的假设就得到了不同的计算方法——Bishop法、传递系数法、Sarma法等。____________________________________________________第三十四页，共五十七页。没有内部弱面的双折滑面滑坡边坡未破坏之前：滑体的平衡条件为：三个未知数(N1、N2和Fs

)，只有两个方程，如何求解？_____

当Fs变化时，N1、N2随之变化，当Fs增大到某个值时，N1变为0，此时可求出Fs的上限值。令N1=0，可得式中：

第三十五页，共五十七页。有内部弱面的双折滑面滑坡

滑体内的弱面将滑体分为两个块体，块体较大、底滑面倾角较大的块体滑动的可能性较大，称为主滑块。设滑体的稳定系数为Fs，则沿底滑面ab有：根据沿底滑面ab的平衡条件：Q是主滑块保持平衡所需的力，在Q和W2的作用下，次滑块有：

联合两条块的平衡方程，可得上式两端都有Fs，需要用迭代法求解。

第三十六页，共五十七页。Bishop法的假设

假设每一条块上的力为平面汇交力系，这一假设可减少2n-1个未知数(n个Ni的作用点位置和n-1个Ei的作用点位置)。

注意，此时只能列出3n个方程(ΣX＝0、ΣY＝0、底滑面上的Mohr-Coulumb准则各n个)，还需有n-1个条件。假设n-1组(Ti-Ti-1)的值后进行求解——精确Bishop法；假设n-1组(Ti-Ti-1)=0的值后进行求解——简化Bishop法；__________________________第三十七页，共五十七页。图解法传递系数法

同样假设每一条块上的力为平面汇交力系，再假设分界面上T与E的关系Ti=Eitanαi(有n-1个)——传递系数法；

将Ti与Ei合成为一个力Di，显然Di平行于第i条块的底滑面；

建立一个局部座标OXY，X轴平行于第i条块的底滑面。再根据极限平衡条件Di是第i条块稳定系数为Fs时的剩余下滑力Di-1

是第i-1

条块稳定系数为Fs时的剩余下滑力Fs的计算过程：先假设一个Fs值，由上往下逐块计算Di(i=1，2，…，n)，并注意到D0＝Dn＝0的边界条件。如果Dn>0，说明假设的Fs偏大；如果Dn<0，说明假设的Fs偏小；如果Dn=0，说明假设的Fs就是要求的值。一般假设三个不同的Fs值，得到三个，作成图______________第三十八页，共五十七页。Sarma法

Sarma法是上世纪70年代由美国学者Sarma提出来的，它首先被用于坝体稳定性的计算。水坝在地震力的作用下，滑面通常为非圆曲面，在计算的时候，引入一个水平地震加速度系数Kc(即震动系数)。Sarma法的特点_________________Sarma法各块体的分界面可以不是竖直的；Sarma法适用于任意形状滑面的滑坡稳定性分析。第三十九页，共五十七页。Sarma法

Sarma计算法可以分为以下几步：

块体的几何计算已知力的计算临界加速度的计算稳定系数Fs的计算计算结果检验_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________第四十页，共五十七页。块体的几何计算第四十一页，共五十七页。已知力的计算底滑面上水的浮托力分界面上的静水压力第四十二页，共五十七页。临界加速度的计算

在滑体处于极限平衡的情况下取ΣX=0有取ΣY=0有根据Mohr-Coulomb准则，在底滑面上有在分界面上有联立上述四个式子得：______________第四十三页，共五十七页。临界加速度的计算是一个递推式，可展开为例如n=3时，当坡面上没有外力时，应有En＋1＝E1＝0，由此可得：第四十四页，共五十七页。稳定系数Fs的计算

用上式计算出的Kc如果正好等于震动系数Ka，则边坡处于极限平衡状态，即Fs＝1；如果Kc<Ka，则边坡处于滑动状态，即Fs<1；如果Kc>Ka，则边坡处于稳定状态，即Fs>1。怎样确定的具体值？Fs

先假设Fs＝1，求出一个Kc，然后再假设几个Fs值，分别令

求出相应的几个Kc，绘制成Kc－Fs曲线，Kc=Ka对应的Fs即为所求稳定系数。第四十五页，共五十七页。计算结果检验

根据与稳定系数Fs对应的K值，从第一块开始依次求得：

作用在底滑面及分界面上的有效法向应力为：Ei、

Ni、σi、σ’i、σ’i+1都必需大于0，即不能是拉力或拉应力，这是力的检验；除此之外还要进行力矩平衡检验。__________________________第四十六页，共五十七页。力矩平衡检验

取块体

对其左下角点的力矩平衡：

其中(XGi,YGi)为第i块体的重心坐标。

从第1条块开始，z1=0，假定一个li值，可根据上述平衡方程计算出zi+1（或假定zi+1，计算出li

）。

可以接受的zi、li都应该在块体的边界上，最好是在边界的中间的三分之一部分。第四十七页，共五十七页。基本知识——摩擦锥

将一滑块置于倾角为p的斜面上，滑块重W的切向分力S=Wsinp驱使滑块下滑。重力W的法向分力N产生摩擦力Rf，Rf=Wcosptan。当S

>

Rf，也就是p

>时，滑块便滑动。若斜面与滑块的摩擦系数各向均等时，以斜面法线为轴、摩擦角为半顶角画一圆锥，当W落入锥内，则滑块稳定；若W落在锥外，则滑块滑动；若W落在锥面上，则滑块处于极限平衡状态。

这个以斜面法线为轴、摩擦角为半顶角锥体称为摩擦锥。

有外力时，根据合力是否在摩擦锥内来判断滑块的稳定性。第四十八页，共五十七页。基本知识——摩擦圆

将斜面和摩擦锥平移至投影球内，使锥顶位于球心，可得到摩擦锥和斜面的球投影，再将它们转化成赤平极射投影，摩擦锥的赤平极射投影称为摩擦圆。

摩擦圆的绘制方法：根据斜面的产状找出其极点，固定中心，不断地转动图纸，使极点位于不同的经纬线的交点上，并从极点的四周找出角距为摩擦角的点，光滑连接这些点就得到摩擦圆。第四十九页，共五十七页。基本知识——广义摩擦锥

当滑面上既有摩擦力又有粘聚力时，将粘聚力转换成等效的摩擦力，可以得到等效摩擦锥和等效摩擦圆。等效摩擦锥的半顶角a要比摩擦锥的半顶角大。第五十页，共五十七页。基本知识——裂隙组的摩擦圆

当滑面是一组裂隙面时，由于方位的离散性，不能以某一裂隙的摩擦圆来代替整组裂隙的摩擦圆。比如用平均方位为中心作摩擦圆，则该摩擦圆对约一半的裂隙不安全。对所有裂隙都安全的摩擦圆应该是所有裂隙摩擦圆的公共部分，这个公共部分就是裂隙组的摩擦圆(小于单个摩擦圆)。

显然只要确定了出现概率P，裂隙组的摩擦圆半径就可以确定，而P是按安全概率Ps的要求确定的。通过分析出现概率与安全概率之间的关系可得：P＝2Ps-1第五十一页，共五十七页。Ps与P之间的关系

要求安全概率越高，需要调查统计的裂隙数就越多，裂隙组的概率圆就越大(极点出现的概率就越大)。所以安全概率与出现概率成线性关系。以平均方位表示裂隙组时，有一半的裂隙是安全的、一半是不安全的，即安全概率Ps＝0.5，而裂隙方位正好等于平均方位的概率是0，所以Ps＝0.5P＝0。

当安全概率Ps＝1.0时，要求所有极点都落入概率圆内，即出现概率P＝1，所以Ps＝1.0P＝1。

于是可得安全概率Ps与出现概率P之间的关系：

P＝2Ps-1第五十二页，共五十七页。球投影法分析平面滑坡

设一边坡，结构面产状为240/50，并出露在坡面上，滑体重W＝40000kN。滑面面积200m2，摩擦角φa＝30，滑面方位的离散系数K＝120，分析边坡的稳定性。

C≈0时，求稳定系数。

滑面的极点为，以为中心画摩擦圆，点出重力矢量，由于落在摩擦圆之外，故边坡不稳定，其稳定系数Fs为：第五十三页，共五十七页。

如果用锚杆加固边坡，使Fs=1.0及1.7，问各需多少锚固力？为使

Fs=1.0，加锚固力B1.0，使合力刚好落在φa=30

的摩擦圆上，B1.0的大小与锚固方向有关，其最小值是垂直于摩擦锥锥面。

如果给定安全概率Ps=99％，问需多大锚固力？由安全概率Ps求出相应的出现概率P：P=2