Ch4光纤中的模式

第四章光纤中的模式哈尔滨工程大学理学院12哈尔滨工程大学理学院光纤中的模式4.1阶跃光纤中光线的传播4.2梯度光纤中光线的传播4.3阶跃光纤的严格解——矢量模解4.4阶跃光纤中的线偏振模4.5梯度光纤的解析解法3哈尔滨工程大学理学院4.1.1阶跃光纤与梯度光纤按折射率分布，光纤可分为阶跃光纤（StepIndexFiber）梯度光纤（GradedIndexFiber）n1>n2n1≈n2包层可认为延伸到无限远4哈尔滨工程大学理学院4.1.2传播路径及光线分类子午光线束缚光线折射光线偏斜光线束缚光线折射光线漏泄光线5哈尔滨工程大学理学院子午光线与偏斜光线的数学表达倾斜角偏斜角6哈尔滨工程大学理学院光线不变量光线的方向有两个自由度角度不变量多次反射后z和总保持不变光线不变量

物理含义7哈尔滨工程大学理学院光线分类（角度）8哈尔滨工程大学理学院光线分类（光线不变量）9哈尔滨工程大学理学院光线分类的几何表示10哈尔滨工程大学理学院4.1.3数值孔径11哈尔滨工程大学理学院4.1.4传播时延和时延差12哈尔滨工程大学理学院4.2梯度光纤中光线的传播梯度光纤GradedIndexFiber13哈尔滨工程大学理学院4.2.1路径方程和光线不变量光线方程在柱坐标系（r，，z）下，可以展开为三个标量方程14哈尔滨工程大学理学院几何关系15哈尔滨工程大学理学院光线不变量16哈尔滨工程大学理学院

光线路径及光线分类17哈尔滨工程大学理学院引进函数g(r)g(r)非负；g(r)>0：光线路径存在；g(r)<0：光线路径不存在；g(r)=0：光线路径处于临界状态；此时r为焦散面半径。18哈尔滨工程大学理学院根据函数g(r)进行光线分类19哈尔滨工程大学理学院子午光线与偏斜光线子午光线：l=0cos(r)=0;(r)=/2ric=0g(r)=0;n(r)=;其根为rtp只有束缚光线和折射光线，无漏泄光线。偏斜光线：l≠0r=0时，总有g(r)<0ric≠0g(r)=0;其根为ric,rtp,rrad既有束缚光线和折射光线，又有漏泄光线。20哈尔滨工程大学理学院束缚光线、折射光线及漏泄光线束缚光线

r≥a时，g(r)<0

即n2<<n1折射光线

r≥a时，g(r)≥0

即0≤2+l2≤n22漏泄光线

上述条件都不满足时

即0<≤n2且n22

<2+l2<n1l=0：子午光线21哈尔滨工程大学理学院漏泄光线的三个焦散面内焦散面ric外焦散面rtp辐射焦散面rrad

关系

0<ric<rtp<a<rradric=0：子午光线rtp>?<a决定了能量是否辐射到包层束缚光线，折射光线是漏泄光线在rrad极限状态下的特例rrad=∞：束缚光线rrad<a：折射光线22哈尔滨工程大学理学院4.2.2本地数值孔径23哈尔滨工程大学理学院4.2.3传播时延24哈尔滨工程大学理学院4.2.4举例例1幂指数折射率分布例2双曲正割折射率分布25哈尔滨工程大学理学院例1幂指数折射率分布26哈尔滨工程大学理学院例2双曲正割折射率分布27哈尔滨工程大学理学院4.3阶跃光纤的严格解

——矢量模解4.3.1光纤中的电磁场方程4.3.2阶跃光纤的电磁场解4.3.4导波模的特征方程4.3.5

导波模的分类4.3.6导波模的截止参数和单模传输条件4.3.7远离截止状态时导波模的性态4.3.8色散曲线4.3.9导波模的场型图28哈尔滨工程大学理学院4.3.1光纤中的电磁场方程29哈尔滨工程大学理学院4.3.2阶跃光纤的电磁场解30哈尔滨工程大学理学院贝塞尔函数贝塞尔函数X2>0第一类贝塞尔函数Jm第二类贝塞尔（诺依曼）函数Nm虚宗量贝塞尔函数X2<0第一类虚宗量贝塞尔函数Im第二类虚宗量贝塞尔函数Km31哈尔滨工程大学理学院（第一类）贝塞尔函数Jm32哈尔滨工程大学理学院诺依曼函数Nm33哈尔滨工程大学理学院贝塞尔函数的特性渐进特性X0时，

Jm有界，为物理解X

0时，Nm无界，非物理解（应舍去）对称性34哈尔滨工程大学理学院第一类虚宗量贝塞尔函数Im35哈尔滨工程大学理学院第二类虚宗量贝塞尔函数Km36哈尔滨工程大学理学院虚宗量贝塞尔函数的特性渐进特性X时，

Im无界，非物理解（应舍去）X时，Km有界，为物理解对称性37哈尔滨工程大学理学院轴向场量的解与归一化频率V38哈尔滨工程大学理学院利用边界条件化简轴向场量39哈尔滨工程大学理学院其它场量表达式40哈尔滨工程大学理学院4.3.4导波模的特征方程41哈尔滨工程大学理学院弱导近似下的特征方程42哈尔滨工程大学理学院4.3.5导波模的分类TE模TM模EH模HE模43哈尔滨工程大学理学院1.TE模和TM模44哈尔滨工程大学理学院EH模和HE模45哈尔滨工程大学理学院讨论TE模与TM模分别是HE模与EH模在m=0情况下的特例TE模又称H模（Ez=0，Er=0，只有E0

）TM模又称E模（Hz=0，Hr=0，只有H0

）HEm模与EH-m模等价，互为特例HE模与H模相联系EH模与E模相联系本地平面波解释TE模、TM模：子午光线（水平、垂直）HE模、EH模：偏斜光线46哈尔滨工程大学理学院当m=0时，Ez=0，Er=0，只有E0

或Hz=0，Hr=0，只有H047哈尔滨工程大学理学院4.3.6导波模的截止参数

和单模传输条件截止参数1.TE模和TM模2.EH模3.HE模简并度模式顺序单模传输条件48哈尔滨工程大学理学院1.TE模和TM模49哈尔滨工程大学理学院2.EH模50哈尔滨工程大学理学院Jm(U)的第n个根umnmnTM0nEH1nEH2nEH3n012312.404833.831715.135626.3801625.520087.015598.417249.7610238.6537310.1734711.6198413.01520411.7915313.3236914.7959516.22347514.9309216.4706317.9598219.4094251哈尔滨工程大学理学院3.HE模（m=1）52哈尔滨工程大学理学院HE模（m>1）53哈尔滨工程大学理学院Jm(U)的第n个根umnmnHE-2nHE-1nTE0nHE1nHE2nHE3nHE4n-2-101234mnEH-4nEH-3nEH-2nEH-1nTM0nEH1nEH2n-4-3-2-101215.1363.8322.40502.4053.8325.13628.4177.0165.5203.8325.5207.0168.417311.62010.1738.6547.0168.65410.17311.620414.79613.32411.79210.17311.79213.32414.796517.96016.47114.93113.32414.93116.47117.96054哈尔滨工程大学理学院简并度一般来说（m0，2），模式四重简并HE1+mn；HE1-mnEH-1+mn；EH-1-mnHEmn模：m1，3；EH模：m1，-3（广义）HEmn模：m1，3；EH模：m1模式也有二重简并的：HE11（HE11

EH-11

）模式也有六重简并的：（HE1n

，n>1）HE-1n

；HE1n+1

；

HE3nEH1n

；EH-1n+1

；EH-3n

EH1n

；HE1n+1

；

HE3n（狭义：2重简并m-m）55哈尔滨工程大学理学院模式顺序模式组Vc模式数HE1102TE01；

HE21；TM012.4054EH11

；HE31；HE123.8326EH21

；HE415.1364TE02；

HE22；TM025.5204EH31

；HE516.3804EH12

；HE32；HE137.0166EH41

；HE617.588456哈尔滨工程大学理学院单模传输条件57哈尔滨工程大学理学院4.3.7远离截止状态时导波模的性态接近截止状态时，V=Vc=Uc，W=0，相当大的一部分能量转移到包层中；远离截止状态时，V>>Vc，假设V58哈尔滨工程大学理学院1.TE模和TM模59哈尔滨工程大学理学院2.EH模60哈尔滨工程大学理学院3.HE模61哈尔滨工程大学理学院各类模式的径向归一化相位常数U的取值范围U介于Uc与Uf之间，用于数值分析解超越方程时确定U的范围，有助于提高运算速度。一般在Uc与Uf之间有两个解，分别对应EHmn模和HE-mn模；TE0n模和TM0n模在Uc与Uf之间只有一个解。模式名称TE0nTM0nEHmnHEmnm=1m>1U值截止Ucu0numnu1n-1um-2n远离截止Ufu1num+1nu0num-1n62哈尔滨工程大学理学院数值分析方法确定初始条件A(B)，，n1，Δ，am，n解特征方程TE0n模和TM0n模EHmn模和HE-mn模确定振幅A，B模拟电磁场分布Hz，Ez；Ht，EtP，I；63哈尔滨工程大学理学院4.3.8色散曲线64哈尔滨工程大学理学院4.3.9导波模的场型图65哈尔滨工程大学理学院66哈尔滨工程大学理学院67哈尔滨工程大学理学院68哈尔滨工程大学理学院69哈尔滨工程大学理学院70哈尔滨工程大学理学院4.4阶跃光纤中的线偏振模4.4.1线偏振模场解及特征方程4.4.2线偏振模特性4.4.3LPmn模与矢量模之间的对应关系4.4.4LPmn模的功率分布4.4.5多模光纤中的模数量71哈尔滨工程大学理学院4.4.1线偏振模场解及特征方程72哈尔滨工程大学理学院线偏振模场解73哈尔滨工程大学理学院特征方程74哈尔滨工程大学理学院4.4.2线偏振模特性75哈尔滨工程大学理学院LPmn模U值范围模式名称LP0nLPmn（m>0）Uc0,u1n-1um-1nUfu0n-1umn76哈尔滨工程大学理学院4.4.3LPmn模与矢量模之间的对应 关系狭义HE1n+HE1n↔LP0nHE2n+TE0n

↔LP1nHE2n+TM0n

↔LP1nHEm+1n+

EHm-1n↔LPmn（m>1）广义HEm+1n+

EHm-1n↔LPmn77哈尔滨工程大学理学院TE01和HE21叠加构成LP11模78哈尔滨工程大学理学院广义LP模mnHE-2nHE-1nTE0nHE1nHE2nHE3nHE4n-2-101234mnEH-4nEH-3nEH-2nEH-1nTM0nEH1nEH2n-4-3-2-1