大学物理实验-误差

3.1误差的基本知识

误差定义：=|-x|或r=|-x|/

测量值x与真值之差称为误差。由于真值不可知,

故误差不可知，所以测量都是对真值的近似描述。多用相对真值（理论值、约定真值、算术平均值）代替真值，并从统计的角度估算误差的大小。**误差存在一切测量之中。它的大小反映了人们的认识接近客观真实的程度。误差来源：由系统误差和偶然误差两部分组成。（1）系统误差：来源于测量系统的不完善(如:仪器、方法、环境等)，使x偏离。

特点:以恒定偏大（小）或周期性形式出现。

消除方法:针对产生的原因加以消除。（2）偶然误差：由大量微小干扰因素产生的，使x偏离

如让n个同学依次测某人身高X，得(X1、X2、……Xn)，但不能保证X1X2

……

Xn。再次测量得(X'1、X'2、……X'n)，除不能保证X'1X'2……

X'n外，还不能保证X1=

X'1、

X2=

X'2

……Xn=X'n。若X1=X1ˉ+，……，Xn=

Xn

ˉ。因X可正，可负，可为零。这表明：

偶然误差的特点：随机性。

消除方法：因X可正，可负，可为零，多次测量可以减小偶然误差。

X(长度值)1.011.021.031.041.051.061.071.081.091.101.11N(相同值出现的次数)13610151184321对某一长度X测量了64次，其数据如下：概率分布图n=64当n

时，反应x值出现次数的值n(x)变成连续函数，即多次测量服从正态分布：单峰；有界；近似对称和正、负相消的特点。可用正态分布函数来描述。f(x)xi正态分布曲线多次测量服从正态分布：单峰；有界；近似对称和正、负相消的特点。可用正态分布函数来描述。

23其几何意义为分布曲线的宽度。曲线的总面积为1，在范围内包含68.3%的面积；2范围内包含95.4%的面积；3范围内包含99.7%的面积；而3范围以外，仅包含了0.3%的面积。大部分测量值分布在由决定的范围内。f(x)X

不同，表明偶然误差的影响不同。 分布为1的曲线其测量值离散性大些，分布为2的曲线测量值相对集中些，表明前者偶然误差的影响要大。

可用来描述偶然误差的大小。

f(x)2X在实际中，我们对物理量的测量都是有限次测量，偶然误差对测量值的影响，是通过标准偏差S来估算的。偏差=|平均值–测量值|

=|

–

|（3）偶然误差的估算：

在有限次测量条件下，我们可用S对偶然误差进行估算。由公式知，S从统计的角度反映了平均值和某一次测量值X之间的偏离程度，称为测量列的标准偏差，简称测量列的标准差。统计解释：数据列中任一值X出现在（S）区间的概率为68.3%。可证明：当n时，S但在测量时，我们更关心、且经常利用测量列平均值X的标准差S来估算平均值与真实值之间的偶然误差。在XS范围内有68.3%的可能包含了真值;在X2S范围内有95%的可能包含了真值;在X3S范围内有99.7%的可能包含了真值;在X3S范围外,仅有0.3%的可能包含了真值。3S称为误差的极限，也叫坏值剔除的标准。标准差公式推导:有一组测量值,，各次测量值的误差为两边求和取平均得：或代入偏差定义式，得：两边平方求和得：因为在测量中正负误差出现的概率接近相等，故展开后，交叉项为正为负的数目接近相等，彼此相消，故得：因而即等式右边若取n→∞时的极限，即是标准误差σ的定义式。等式左边是任意一次测量值的标准偏差，记作σx即

它表示测量次数有限多时，标准误差σ的一个估算值。

物理意义：如果多次测量的偶然误差遵从正态分布，则任意一次测量的误差落在-σx到+σx区域之间的可能性（概率）为68.3%。或者说，它表示这组数据的误差有68.3%的概率出现在-σx到+σx的区间内。又称测量列的标准偏差。

同样可以得到算术平均值的标准偏差即

物理意义：真值处于区间内的概率为68.3%。（4）系统误差的估算(只考虑仪器产生的系统误差)

由仪器的极限误差来估算系统误差。极——仪器在使用时所能产生的最大误差范围。可由如下三种途径获取：

1）由仪器说明书查询

2）无法查询时可按最小刻度一半考虑

3）指针式电表：极＝量程等级%

系统误差的估算：U仪=极/CC为置信系数对误差均匀分布的仪器，通常等刻度仪器，C取,米尺、仪表均是这种情况;对误差服从正态分布的仪器（如数显表）C取3。等差细分类仪器:

U仪卡尺=0.02mm;U仪分光计=1´指针式电表：U仪电表=极电表=（量程等级%）

U仪米尺

U仪千分尺

秒表：

U