广东省东莞市威远职业高级中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

广东省东莞市威远职业高级中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，则集合（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.设p：f（x）=1nx+2x2+mx+1在（o，+）内单调递增，q：m≥-5，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A，由，得。因为，所以，所以，即，所以p是q的充分不必要条件，选A.3.已知直线平分圆的周长，当取最小值时，双曲线的离心率是

A．

B．

C．2

D．3

参考答案：答案:A4.在△ABC中，，，，△ABC的面积为，则（

）A.30° B.45° C.60° D.30°或60°参考答案：C【分析】过A作，垂足为H，然后根据，得到HD即可进一步求出∠ADB．【详解】如图，过A作，垂足为H，∵，∴H为BC的中点，又，∴，∴，∴HD=1，∴，∴．故选：C．5.已知，，则的大小关系是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A．=﹣+ B．=﹣C．=+ D．=+参考答案：A【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．【解答】解：；∴；∴．故选A．【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．7.若直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），则（）A．a2+b2≤4B．a2+b2≥4C．D．参考答案：B考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用题设中的直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），得到acosα+bsinα=2，结合同角关系式中的平方关系，利用基本不等式求得正确选项．解答：解：直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），∴acosα+bsinα=2，∴a2+b2=（a2+b2）（cos2α+sin2α）≥（acosα+bsinα）2=4，（当且仅当时等号成立）故选B．点评：本题主要考查了直线的方程、柯西不等式求最值等．注意配凑的方法，属于基础题．8.命题“”的否定为

（

）

A.

B.C.

D.参考答案：B略9.已知函数若有则的取值范围为

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=3﹣bi，则=（）A．2﹣i B．2+i C．1﹣2i D．1+i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：∵a+i=3﹣bi，∴a+bi=3﹣i∴===2+i故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}满足，，且，若函数，记，则数列{yn}的前9项和为______.参考答案：9【分析】根据题目所给数列的递推关系式，证得数列为等差数列.化简解析式，并证得，利用等差数列的性质，求得数列的前项和.【详解】由已知可得，数列为等差数列，，∴.∵，∴.∵，∴，即数列的前9项和为9.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查三角函数降幂公式、二倍角公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.若a=

，则（1+ax）5的展开式中x3项的系数为80．参考答案：2【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：通项公式Tr+1==arxr，则r=3．令=80，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.执行如右图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为

参考答案：1514.若实数x、y满足x＞0，y＞0，且log2x+log2y=log2（x+2y），则2x+y的最小值为．参考答案：9【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出x，y的关系式，然后利用基本不等式求解函数的最值即可．【解答】解：实数x、y满足x＞0，y＞0，且log2x+log2y=log2（x+2y），可得xy=x+2y，可得，2x+y=（2x+y）=1+4+≥=9，当且仅当x=y=3时，取得最小值．故答案为：9．【点评】本题考查对数运算法则以及基本不等式的应用，考查计算能力．15.一正三棱柱的三视图如图，该正三棱柱的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于

．参考答案：100π根据正三棱柱的三视图：得到三棱柱底面等边三角形的高为，则：底面中心到地面顶点的距离为：，故正三棱柱的外接球半径为：r=，故：S=4π?52=100π，故答案为：100π

16.设等差数列满足：，公差，若当且仅当时，数列的前项和取最大值，则首项的

取值范围为__________________。参考答案：17.方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=

．参考答案：5【考点】对数的运算性质．【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】解：由lg（x﹣3）+lgx=1，得：，即，解得：x=5．故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分１５分）动圆过定点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过作曲线两条互相垂直的弦，设的中点分别为、.（1）求曲线的方程；（2）求证：直线必过定点.参考答案：解：（1）设，则有，化简得…………6分（2）设，代入得，，,故………………10分因为，所以将点坐标中的换成，即得。则

，整理得,故不论为何值，直线必过定点.………………15分19.将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼兹三角形。（1）若求（用表示）（2）令，求参考答案：略20.（13分）已知点Pn（an，bn）（n∈N*）满足an+1=anbn+1，，且点P1的坐标为（1，﹣1）．（Ⅰ）求经过点P1，P2的直线l的方程；（Ⅱ）已知点Pn（an，bn）（n∈N*）在P1，P2两点确定的直线l上，求证：数列是等差数列．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n∈N*，能使不等式（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥成立的最大实数k的值．参考答案：【考点】：数列与解析几何的综合；数列与不等式的综合．【专题】：计算题．【分析】：（Ⅰ）由，知．由此知过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1．（Ⅱ）由Pn（an，bn）在直线l上，知2an+bn=1．故bn+1=1﹣2an+1．由an+1=anbn+1，得an+1=an﹣2anan+1．由此知是公差为2的等差数列．（Ⅲ）由．，知．所以，．依题意恒成立．设，所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．解：（Ⅰ）因为，所以．所以．（1分）所以过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1．（2分）（Ⅱ）因为Pn（an，bn）在直线l上，所以2an+bn=1．所以bn+1=1﹣2an+1．（3分）由an+1=anbn+1，得an+1=an（1﹣2an+1）．即an+1=an﹣2anan+1．所以．所以是公差为2的等差数列．（5分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得．所以．所以．（7分）所以．（8分）依题意恒成立．设，所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．（10分）因为==，所以F（n）（x∈N*）为增函数．（12分）所以．所以．所以．（14分）【点评】：本题考查数列与解析几何的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用公式．21.在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线相交于点M，在OM上取一点P，使．（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为上任意一点，试求RP的最小值．参考答案：（1）设，，因为在直线OM上,,所以22.（12分）2015年央视3.15晚会中关注了4S店的小型汽车维修保养，公共wifi的安全性，网络购物等问题，某网站对上述三个问题进行了满意度的问卷调查，结果如下：（Ⅰ）在所有参与该问卷调查的人员中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有8人不满意4S店的小型汽车维修保养，求n的值；（Ⅱ）在对参与网络购物满意度调查的人员中，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意选取2人，求恰有1人对网络购物满意的概率．参考答案：【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）先求出调查总人数，再根据分层抽样方法原理求出n的值；（Ⅱ）先求出用分层抽样方法抽取的6人中，满意的有4人，不满意的有2人，编号，用列举法求出基本事件数，再计算对应的概率P=．解：（Ⅰ）由题意知，调查总人数为：200+400+400+100+800+400=2300，用分层抽样的方法抽取n人时，从“不满意4S店的小型汽车维修保养”的人中抽取了8人，∴=，解得n=46；（Ⅱ）从“网络购物”的人中，用分层抽样的方法抽取6人中，其中满意的有4人，分别记为1、2、3、4，不满意的有2人，记为a、b；再从这6人中任意选取2人，有（1、2），（1、3），（1、4），（1