山西省运城市河津永民中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

山西省运城市河津永民中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数有三个零点、、，且，则下列结论正确的是

A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.若集合，则

A.

B.

C.

D.参考答案：B3.过椭圆左焦点，倾斜角为60°的直线交椭圆于两点，若||=2||，则椭圆的离心率为

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B4.等差数列{an}中，an＞0，a12+a72+2a1a7=4，则它的前7项的和等于（）A． B．5 C． D．7参考答案：D【考点】等差数列的性质．【分析】由已知条件利用等差数列的性质推导出a1+a7=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{an}中，an＞0，a12+a72+2a1a7=4，∴（a1+a7）2=4，∴a1+a7=2，∴S7=（a1+a7）==7．故选：D．【点评】本题考查等差数列的第7项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n基和公式的灵活运用．5.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种参考答案：B【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，②、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，由排列、组合数公式计算可得其乘坐方式的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，有C32×C21×C21=12种乘坐方式；②、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，有C31×C21×C21=12种乘坐方式；则共有12+12=24种乘坐方式；故选：B．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A． B． C． D．参考答案：A每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有种，在个位置上恰有个是阳爻的情况有种，所以.

7.设，，且满足则（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D8.下列函数中，图象的一部分如图所示的是(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】压轴题．【分析】先根据图象求出函数的最小正周期，从而可得w的值，再根据正弦函数的平移变化确定函数的解析式为，最后根据诱导公式可确定答案．【解答】解：从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了个单位，即=，故选D．【点评】本题考查正弦函数平移变换和最小正周期的求法、根据图象求函数解析式．考查学生的看图能力．9.定义在R上的函数满足：成立，且

上单调递增，设，则的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.已知随机变量X的分布列如右表，则=（▲）

A．0.4

B．1.2

C．1.6

D．2参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若P（1，4）为抛物线C：y2=mx上一点，则P点到该抛物线的焦点F的距离为|PF|=．参考答案：5【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】代入P的坐标，求得m=16，求出抛物线的焦点坐标，由两点的距离公式计算即可得到．【解答】解：P（1，4）为抛物线C：y2=mx上一点，即有42=m，即m=16，抛物线的方程为y2=16x，焦点为（4，0），即有|PF|==5．故答案为：5．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．12.已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为

．参考答案：4【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z．由图形可知当直线y=﹣2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大．解方程组，得B（1，2）．∴z的最大值为z=2×1+2=4．故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划，属于中档题．13.如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：①先产生两组0～1的增均匀随机数，a=rand（），b=rand（）；②产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N1=332，则据此可估计S的值为．（保留小数点后三位）参考答案：1.328【考点】几何概型．【分析】先由计算器做模拟试验结果试验估计，满足条件的点（x，y）的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．【解答】解：根据题意：满足条件的点（x，y）的概率是，矩形的面积为4，设阴影部分的面积为s则有=，∴S=1.328．故答案为：1.328．【点评】本题主要考查模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型，将两者建立关系，引入方程思想．14.设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣ex]=e+1，则f（ln2）的值为．参考答案：3考点： 函数单调性的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．解答： 解：设t=f（x）﹣ex，则f（x）=ex+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=et+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=ex+1，即f（ln2）=eln2+1=2+1=3，故答案为：3点评： 本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．15.（平面几何选讲）如图，△ABC中AB=AC，∠ABC=72°， 圆0过A，B且与BC切于B点，与AC交于D点， 连BD．若BC=2，则AC=

．参考答案：16.已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线对称，当时，，则

.参考答案：217.已知等差数列的前项和为，则数列的前2015项和为

．参考答案：【知识点】数列的求和．D4

【答案解析】解析：∵数列{an}为等差数列，3a5=15，∴a5=5；又S5===15，∴a3=3；∴公差d==1，∴an=a3+（n﹣3）×d=3+（n﹣3）=n；∴==﹣，∴S2014=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．故答案为：．【思路点拨】依题意可求得等差数列{an}的通项公式an=n，利用裂项法得==﹣，从而可得数列{}的前2014项和．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，正方体的棱长为1.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求证:平面；（3）求三棱锥的表面积.

参考答案：(1).解：面直线与所成角为----------------4分（2）------------------------------------------------10分（3）--------------------------------14分略19.已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（Ⅰ）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最小值及相应的x值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）将a=﹣2代入，然后求出导函数f'（x），欲证函数f（x）在（1，+∞）上是增函数只需证导函数在（1，+∞）上恒大于零即可；（Ⅱ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．（Ⅱ），当x∈，2x2+a∈．若a≥﹣2，f'（x）在上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在上是增函数，此时min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故min==若a≤﹣2e2，f'（x）在上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在上是减函数，此时min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．20.

已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求在区间[0,1]上的最小值.

参考答案：本题考查了函数的单调性问题，闭区间上的最值问题以及分类讨论的数学思想，考查考了同学综合能力与计算能力，难度中等。（1）根据导数求单调区间；（2）根据的不同要分类讨论.（1）。令，得。与的情况如下：

所以，的单调递减区间是；单调递增区间是。（2）当，即时，函数在上单调递增。所以在区间上的最小值为；当，即时。由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上的最小值为；当，即时，函数在上单调递减，所以在区间上的最小值为。21.已知集合，集合，集合。命题,命题（Ⅰ）若命题p为假命题，求实数a的取值范围。（Ⅱ）若命题为真命题，求实数a的取值范围。参考答案：∵y=x2-2x+a=（x-1）2+a-1≥a-1

∴A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a-1}，C={x|x2-ax-4≤0}，

（1）由命题p为假命题可得A∩B=?∴a-1＞2∴a＞3

（2）∵命题p∧q为真命题命题∴p，q都为真命题即A∩B≠?且A?C．

∴解可得0≤a≤3略22.如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，∠PCA=90°，E，H分别为AP，AC的中点，AP=4，BE=．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEH；（Ⅱ）求直线PA与平面ABC所成角的正弦值．参考答案：考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明：BH⊥AC，EH⊥AC，即可证明AC⊥平面BEH；（Ⅱ）取BH得中点G，连接AG，证明∠EAG为PA与平面ABC所成的角，即可求直线PA与平面ABC所成角的正弦值．解答： （Ⅰ）证明：因为△ABC是边长为2的正三角形，