几何性质-大连理工大学内部课件

附录I截面图形的几何性质

GeometricPropertiesofanArea力学响应的决定因素：荷载（F、M）,材料（E、G、v、[σ]）,几何性质拉压杆扭转轴

截面的几何性质——只与横截面的几何形状和尺寸有关的某些几何量，对杆件的应力和变形起着重要作用.梁的几何性质对变形的影响FF§Ⅰ-1静矩和形心1.静矩（面积的一次矩）代数量,+/-,0单位：m3dAzyyzO∴Sy

=AzcyCyzOCzCdAzy2.形心——均匀薄板的重心Sz

=Ayc

几个特例形心必位于对称轴上对称轴必为形心轴Cyz结论：图形对其形心轴的静矩为零Cyzy是形心轴时，zc=0∴Sy=Azc

=0xyhbyyobdA例

试计算图示三角形截面对底边轴的静矩。解yz例解：由对称性，dzCzCRZy求图示半圆的Sy,Sz

和形心。yc=0,Sz

=0

4.组合图形的静矩和形心ⅠⅡzCy有什么关系?60602020oxydAyzOρ§Ⅰ-2

极惯性矩·惯性矩·惯性积

1.极惯性矩面积对点的二次矩，正定，单位：m4图形分布距离O点越远，对该点的极惯性矩就越大。2.惯性矩面积对轴的二次矩，正定，单位：m4图形分布距离某轴越远，对该轴的惯性矩就越大。dAyzyzO3.惯性矩与极惯性矩的关系

∵

ρ2=y2＋z2即Ip

=Iz＋Iy图形对通过一点的任意两个互相垂直坐标轴的惯性矩之和为一常数，即对该点的极惯性矩。dAyzyzOρy1z1=Iz1＋Iy1hbzyOy'dzyODdzyO4.惯性半径单位：m矩形圆形hbzyOdzyOyzO5.惯性积面积对轴的混合二次矩，代数量，单位：m4y,z轴中有一个是对称轴，则

Iyz=0dAyzyzO-ydAzydAzhbxyOdACycxc矩形截面对x、y轴的惯性积：1、平行移轴公式CxCaxyOyCb问题：已知C(b,a),Ixc

,Iyc

,Ixcyc

求Ix,Iy

，Ixy§Ⅰ-3平行移轴公式

组合截面的惯性矩和惯性积xbOxCyaxCxCyCdAyyC

Iy=Iyc+a

2A

Iz

=Izc+b

2A

Iyz=Iyczc+a

bA在一组平行的轴中，图形对其形心轴的惯性矩最小。惯性积公式中b,a为形心坐标，注意其正负号。CyCayzObyzOCyCzC(b,a)已知Iy1，要求

Iy2，怎么办？

y1

y2(b,a)zChbzyOy'hbxyOdACycxc2、组合图形的惯性矩和惯性积

若则同理

已知：C为形心，求：Izc.2.求Izc.

Izc=（200×203/12＋200×20×552）＋（20×2003/12＋200×20×552）

=37.67×106mm4由对称性，形心位于对称轴上。解：1.求形心位置例200C200205555zyCzCC1z1ⅡⅠC2z220求：Iy、IzyZ同理yZ例

求图形对x轴的惯性矩和惯性积x´半圆xcx´半圆对xc轴的惯性矩xcx´

1.静矩dAzyyzO上节回顾形心与静矩的关系

Sz

=Ayc

图形对一个轴的静矩，等于该图面积与其形心坐标的乘积。

Sy

=AzcyCyzOCzCdAzy图形对形心轴的静矩必为零

Cyz

2.惯性矩dAzyyzO

3.惯性积组合图形的静矩和形心ⅠⅡC(yc,zc)C1(yc1,zc1)C2（yc2,zc2)yz以求Iy为例

Iy

=CyCayzCzzOzCdAz=zC+aIy

=

Iy=Iyc+a

2A

Iz

=Izc+b

2A

Iyz=Iyczc+a

bA在一组平行的轴中，图形对其形心轴的惯性矩最小。惯性积公式中b,a为形心坐标，注意其正负号。CyCayzCzzOzCdAbyCyzOCyCzC

当y，z轴中有一轴为对称轴时，图形对yz轴的

惯性积必为零hbzyOdzyO

y，z轴为主惯性轴hbzyO

4.形心主惯性矩

形心主惯性矩DzyODdzyO形心主惯性轴zyCCC对称轴必为形心主惯性轴。zyzy一、转轴公式yzyzOdAαz1y1y1z1α§Ⅰ-4

转轴公式·主惯性轴和主惯性矩一、转轴公式yzyzOdAαz1y1y1z1αα角：逆时针转动为正。新旧坐标转换关系：

y1=ycosα＋zsinαz1=zcosα－ysinα已知Iy

,Iz

,Iyz,α

求Iy1,Iz1

，Iy1z1

整理后得Iy1,Iz1,Iy1z1

都是α角的有界连续函数。

Iy1＋

Iz1

=Iy＋

Iz

=Ip

=常数CzyCz1y1Cz1y1讨论1.

Iy1z1

有一个从正连续变化到负的过程；Cz1y1zy二主惯性轴主惯性矩

1.主惯性轴若

Iy1z1=0,则y1,z1

轴称为主惯性轴。其位置α0可由下式确定：Cz1y1zy2.主惯性矩——图形对主惯性轴的惯性矩主惯性矩Cz1y1zyIy0IZ0主惯性矩的意义即

所以，主惯性轴就是使得图形的惯性矩取极值的坐标轴，主惯性矩就是极值惯性矩。讨论2.有界连续函数惯性矩Iy1必有极值，使惯性矩取极值的α＝？主惯性矩就是极值惯性矩，一个极大一个极小。Cz1y1zy20020020203.形心主惯性轴与形心主惯性矩

若主惯性轴过形心就成为形心主惯性轴,对其矩就是形心主惯性矩。特点：1.对称轴必为形心主惯性轴；2.形心主惯性矩就是过形心的各轴的惯性矩的极值，一个极大，一个极小。CzyC形心主惯性轴的判断：只有一个对称轴；2.有两个对称轴；3.有三个或三个以上对称轴；有无穷多对主惯性轴4.没有对称轴。zyCCzyzy形心主惯性矩计算步骤：确定形心（先设定一任意坐标轴）；确定对任意形心轴的惯性矩和惯性积；计算α0；计算形心主惯性矩。ImaxImin2020zO100100y例求形心主惯性矩解:1.选坐标yoz,求形心；C2C1C（yc

,zc）2020zO100100yC2C1C（40,30）

2.求

Iyc,Izc,IyczczCyC20202020zO100100yC2C1C（40,30）zCyC30302020zO100100yC2C1C（40,30）zCyC30302020

Iyczc

=100×20×（－30×20)

+