高一向量分析

教材分析与建议

平面向量高中数学(四)第二章一、平面向量概述平面向量的实际背景及基本概念《课程标准》《考试说明》通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．平面向量的相关概念B（一）《课程标准》与《考试说明》要求比较向量的线性运算《课程标准》《考试说明》①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．③了解向量的线性运算性质及其几何意义．①向量的加法与减法

C②向量的数乘C③两个向量的共线B平面向量的基本定理及坐标表示《课程标准》《考试说明》①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．①平面向量的基本定理A②平面向量的正交分解及坐标表示B③用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算C④用坐标表示的平面向量共线的条件C平面向量的数量积《课程标准》《考试说明》①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②体会平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．①数量积C②数量积的坐标表示C③用数量积表示两个向量的夹角

B

④用数量积判断两个平面向量的垂直关系C向量的应用《课程标准》《考试说明》经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．

用向量方法解决简单的问题B（二）本单元知识结构数形结合（三）本单元教材特点重视背景（物理、几何），重视过程，重视应用强调向量法的基本思想（类比解析法，三部曲）明确向量运算及运算律的核心地位（向量若没有运算…）重视向量的几何意义及应用（几何背景，概念、运算几何意义）（四）课时分配1.侧重基础考查基本概念、基本运算、几何意义（五）高考“平面向量”考查特点考查向量的平行于垂直考查向量加法、减法的几何意义2.提高了对平面向量基本定理的考查力度3.对数量积的概念和几何意义的考查对概念的考查对概念和几何意义的考查转化为坐标对运动变化，数形结合的考查尽管是个案，但向量已由小题向大题发展关注高考平面向量的考查注意常规，抓小题强调概念、运算的本质强化数形结合的方法和思想不因题小而轻视小考题中有大文章二、教学建议（一）平面向量的实际背景及基本概念1.向量的物理背景与概念▲向量的引入▲向量的概念既有大小，又有方向的量称为向量多举实例进行比较▲向量与有向线段的关系ABa2.向量概念的相关问题▲向量的表示有向线段：起点，方向，长度向量：方向，长度实例比较多次认识学生、教师都有问题▲特殊向量●零向量：长度为零的向量●单位向量：长度为1的向量▲平行向量，共线向量3.由两个向量的关系认识自由向量▲相等向量（长度、方向均相同，认识自由向量）

▲线段的共线与向量的共线的区别

（认识自由向量）没有定义方向（二）向量的线性运算有关运算的复习

运算对象种类表示结果数加、减…＋、－…新数集合交、并…∩、∪…新集合函数加、复合…f(x)+g(x),f(g(x))新函数向量？？？（二）向量的线性运算▲引入向量运算的必要性（与实数类比，没有运算向量是…）1.向量加法运算及其几何意义▲向量加法运算的引入（几何意义上的运算）●生活实例—北京直飞台北3小时

(位移的合成)●物理实例

（力的合成）▲向量加法的定义及几何意义“操作”确认，从几何直观上理解向量的加法运算法则ABC向量加法三角形法则平行四边形法则物理模型：位移的合成物理模型：力的合成做法两个向量首尾连接，和向量指向末向量的终点做法连接两个向量的起点，为和向量的起点，对角线的另一端点为终点易表示为多个向量的和不易表示为多个向量的和●三角形法则与平行四边形法则的比较●向量的分解●从自由向量来理解向量两种加法法则▲向量线加法的相关问题●规定：a+0=0+a=a（a是非零向量）有目标的分解

●向量模不等式●利用实例和向量的几何意义理解向量加法的运算律深化对向量加法几何意义的理解2.向量减法运算及其几何意义▲向量减法运算的定义▲向量减法的几何意义●向量a-b的指向（学生易错）●从数与形两个角度认识向量的加法与减法●向量a-b的做法

3.向量数乘运算及其几何意义▲数乘定义的引入只有向量的加减法很多问题无法解决类比实数加法到乘法

●通过实例认识λa的方向与长度实数：2+2+2=3×2，a+a+a=3a向量：a+a+a与a方向相同，3倍|a|长度的向量？

●用量化的向量形式λa表示向量间的关系▲向量数乘的运算律●理解向量的共线有且只有----存在且唯一性几何量化----向量的运算的向量化表示两个向量间的关系基底表示----直线上的向量基本定理（理解a≠0）●正确理解，会应用▲向量共线的条件：

设a≠0，若a，b共线，则有且只有一个实数λ，使b=λa2010高三（上）期中考试（理科）区公立校：0.65一组校：0.77二组校：0.64三组校：0.50

●通过问题理解λa的方向●判断三点共线转化为判断两个向量共线

●

(1)巩固数乘运算；(2)为下节平面向量基本定理做准备

▲把握例题的功能

例.求与a向量方向相同或相反，长度为2的向量.▲强化对三种运算的理解与掌握●对数乘的理解；学会向量的单位化例.(1)角平分线的向量表示；(2)做出互相垂直的向量以这两个向量为临边做平行四边形OABC.（三）平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理▲平面向量基本定理的形成过程

●形成过程

◆向量加法的平行四边形法则

◆直线上的向量基本定理◆

特殊一般

一维二维；给定向量任选向量动画演示理性分析形成定理

●动手实践，理解定理

直观感知，操作确认，理性理解

↓

向量a的任意性与λ1λ2的对应关系思想方法认知过程▲平面向量基本定理的认识

●

定理的解读

●

定理的作用----用向量方法研究几何问题的基础▲平面向量基本定理引入的教学设计举例▲开拓平面向量基本定理的学习视角

例证明平行四边形的对角线互相平分.◆考查基本量思想----根据问题设出基底考查平面向量基本定理----深刻理解并运用定理2.平面向量的正交分解及坐标表示▲正交分解●引入的必要性：基底标准化、表示简约化●理论依据

●实例

●单位正交基向量i，j----特殊基向量使问题简化a=xi+yj

a=(x，y)▲向量坐标表示●

特殊一般●（自由）向量的坐标表示3.平面向量的坐标运算注意例3与平面上两点距离公式的联系4.平面向量共线的坐标表示▲会推导向量共线的坐标公式▲向量共线与定比分点的向量公式与坐标化公式5.整体认识平面向量基本定理●通过实例整体认识平面向量基本定理（四）平面向量的数量积1.平面向量数量积的物理背景及其含义▲概念的引入：●现实存在（力所做的功）

●数学运算的完整性

a+b，a-b，ka

，a·b=?▲定义：◆数量积a·b的值的理解◆a在b方向上的投影|a|cosθ

的理解◆θ的值对a·b的值的影响▲实数的乘积与向量的数量积的对比：

实数的乘积与向量的数量积相同的部分实数的乘积向量的数量积运算结果一个实数一个实数交换律ab

=ba

a·b

=b·a

(λa)b=λ(ab)=a(λb)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)c=ac+bc

(a+b)·c=a·c+b·c平方展开(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)2=a2±2a·b+b2(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)·(a-b)=

a2-b2a2+b2=0则a=0且b=0a2+b2=0则a=0且b=0不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|实数的乘积与向量的数量积不同的部分▲数量积a·b与实数运算的区别：▲通过练习应熟练掌握如下常用运算关系：熟练掌握2.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角▲向量关系的坐标表示：熟练掌握▲平面向量数量积的物理背景及其含义的教学