平面体的切割

第四章体的表面交线(平面体的切割)第二节平面与回转体相交第三节两立体体表面相交第一节平面立体被截切第四章体的表面交线截平面概念：

截切——用一个与立体相交的平面，截去立体的一部分。截断面截交线截平面——用以截切物体的平面。截交线——截平面与物体表面的交线。截断面——因截平面的截切，在物上形成的平面。相贯线——两回转体的相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线

截交线的性质：截交线是一封闭的平面多边形，它是截平面与立体表面的共有线。

实质：求两平面的交线。

求截交线的方法：空间分析：截平面与体的相对位置，确定截交线的形状；截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影特性。作图方法：1）交点法：求出立体表面上已知直线与截平面的交点，连接交点位所求。2）表面取点法：利用立体表面在投影面上的投影右积聚性的特点求之。3）辅助线法：在立体表面上作辅助素线及辅助圆求之。4）辅助平面法：借助辅助平面与立体表面及截平面相交来求之。§4--1平面立体被截切例1：求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。分析：截平面为正垂面截交线的正面投影积聚为直线。截平面与四条棱线相交，从正面可直接找出交点。1'11"2'2"2(4')43'33"作出各对应点的投影，依次连接各点。补全棱锥体的外形投影。4"••1、单一平面与平面立体截交被截切后的投影图：例2、正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。分析：由图可知，截交线的正面投影积聚为一直线。水平投影，除顶面上的截交线外，其余各段截线都积聚在六边形上。1'12'（3'）234'（5'）451"2"3"4"5"6'（7'）676"7"完成后的投影图例3、如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。a'(b')baa"b"分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个棱面均垂直于水平面，截平面与棱线的交点均在棱面的投影上。此题还应作出两截平面的交线AB的投影。••BA2、多个平面与平面立体截交完成后的投影图a'(b')baa"b"••截交线的性质：

截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点都是它们的共有点。

截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面组成的平面图形。

截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转体轴线的相对位置。求截交线的方法和步骤：

分析回转体的表面性质，截平面与投影面的相对位置，截平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影。

求出截交线上的点，首先找特殊点再补充中间点。

补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线的投影。§4--2平面与回转体相交一、平面与圆柱体相交截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。P截平面与圆柱轴线平行截交线为矩形PHPPv截平面与圆柱轴线倾斜截交线为椭圆PPv截平面与圆柱轴线垂直截交线为圆例1、求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面的投影，完成侧面投影。1'•2'•1••2•1"2"•3'(4')•4••34"••3"a•a'(b')•b••a"b"•c'(d')••c•d•c"d"•

作图过程：求特殊点即找最高、最低、最左、最右、最前、最后点可确定出椭圆长短轴的端点。求一般点从正面投影上选取A、B、C、D四点分别求出水平面和侧面投影。

光滑地连接各点。例2、已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。分析：圆柱的轴线是侧垂线，截断体分别由侧平面、正垂面、水平面截切圆柱体而成的。侧平面与圆柱轴线垂直，截交线为圆弧，其正面投影为直线，侧面投影为圆弧。正垂面与圆柱轴线倾斜，截交线为部分椭圆，正面投影为直线，侧面投影与圆重合。水平面与圆柱轴线平行截交线为矩形，正面、侧面投影均直线。1'

·

•1•2"•2(3')•2'•33"•4'•(5')

•4•4"5"•5•6'(7')•7"6"6

•7•

8'

•

(9')•8"9"

••89•a'•(b

')•a"b"••ab•1"

·cdc"d"c'(d')•()()完成后的投影图例3、求如图所示的开槽圆柱的左视图。分析：槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线，与上底面的截交线为正垂线。另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线。1'（2'）

••1"2"••

1•

2•

3'（4'）•

3•4•

3"•

4"5'（6'）

•56

5"•

6"•完成后的投影图二、平面与圆锥体相交截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的形状不同。截平面垂直于圆锥轴线，倾角为θ=90ο，截交线为圆形。Pvθ截平面与圆锥轴线倾斜，倾角θ>α截交线为椭圆。PvθαθαPvαPvPv截平面与圆锥轴线倾斜面，倾角θ=α截交线为抛物线。截平面与圆锥轴线平行或倾角θ<α，截交线为双曲线。截平面过锥顶截交线为三角形。例1、已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆锥体的水平投影和侧面投影。圆锥体的轴线为铅垂线，截平面与圆锥轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的夹角，截交线为椭圆。截平面是正垂面，截交线的正面投影为直线。•

aa'•

•b'

•b•

a"b"•c'(d')••c"•

cd••

kl••k"•k'l'••

d"•l"••

•作图：1、求特殊点最高点B最低点A；圆锥体的前后素线与截交线的正面投影的交点c'd'重影为一点，其余两面投影根据投影关系求出；截交线的最前点K 和最后点L，正面投影重影于a'b'的中点。2、求一般点。3、光滑连接各点的同面投影。完成后的三视图例2、已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投影。分析：顶尖头是由相连的圆锥体和圆柱体被两个平面截切而成，轴线为侧垂线，截平面分别为侧平面和水平面。侧平面与圆柱轴线垂直，与圆柱的截交线为圆弧，正面投影为直线，侧面投影为圆弧的实形。水平面与圆柱的截交线为开口矩形，与圆角度的截交线为双曲线，其正面和侧面投影均为直线。a'••b'(c')•a

a"••b"

c"••b•Cd'e'•d"e"

e••df'••f"•fg'h'••g"•h"•g

h•三、平面与球体相交

球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交线的投影可能是圆、直线或椭圆。Ph1、截平面为平行面截平面为正平面，正面投影为截交线圆的实形。PvPv截平面为水平面，水平投影为截交线圆的实形。截平面为正垂面，截交线的水平投影及侧面为椭圆。3、截平面为垂直面2、截平面为水平面例1：已知圆球体被截切后的正面投影求作水平投影。a'b'•ba

•e'(f')••ef•c'(d')••cd•g'(h')••gh•分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，水平投影为椭圆。作图：1、求特殊点截交线的最低点A和最高点B是水平投影的最右点和最左点，也是截交线水平投影椭圆短轴的交点，水平投影a、b在其正面投影轮廓线的水平投影上。a'b'的中点c'd'是截交线水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影cd投影在辅助纬圆上。e'f'是截交线与球的水平投影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影ef在球的水平投影轮廓线上。2、求一般点选择适当位置作辅助水平面，与ab的交点g、h为截交线上两个点的正面投影，其水平投影g、h投影在辅助纬圆上。例2、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。分析：半球的通槽由三个平面构成，一个水平面和两个侧平面截切圆球它们与球面的截交线都是分别平行于投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧的半径；可根据截平面位置确定。1、通槽的水平投影作图：过槽底部作辅助水平面，水平投影为圆，并在圆周上截取与正面投影相对应的前后两段圆弧。2、通槽侧面投影的作图：两侧平面距球心等远，两圆弧的半径相等，两段圆弧的侧面投影重合。§4--3两立体表面相交概念两立体的相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线。★相贯线性质：

表面性——相贯线位于两立体的表面上。

封闭性——相贯线一般是封闭的空间曲线。

共有性——相贯线是两立体表面的共有线。★作图实质：找两立体表面的若干共有点的投影。★作图方法：

交点法、表面取点法、辅助线法、辅助平面法。辅助平面法：根据三面共点原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的共有点。★作图步骤：

分析两立体表面性质，即两立体的相对位置和相交情况。

求相贯线上的特殊点。求相贯线上的一般点。假想用辅助平面截切两立体，分别得出两立体表面的截交线，截交线的交点是相贯线上的点。

★选择辅助平面的原则：

使辅助平面与两立体表面的截交线的投影是最简单形状（直线或圆）。一般选投影面平行面。一、平面立体与平面立体相交

两平面立体的相贯线在一般情况下是一条封闭的折线

由于两立体的相对位置不同，相交折线可能由一个或几个部分的交线组成。折线的各个顶点是一个平面立体的棱与另一个平面立体的交点，折线的各段是两平面立体各侧面的交线。ACDBa`(e`)b`(f`)d`(g`)c`a(c`)bfegda``e``c``f``(g``)b``(d``)二、平面立体与曲面立体相交

平面立体与曲面立体的相贯线，一般是由若干段平面曲线或直线所组成的空间封闭曲线。ACDEa``(b``)e``(f``)c``(d``)c`(e`)a`d`(f`)b`acebdf相贯线投影三、曲面立体与曲面立体相交两曲面立体相贯，其相贯线一般为光滑的封闭空间曲线。相贯线上的点，是两曲面立体表面上的共有点。1、两圆柱相交相交两回转体的相互位置不同可分为正交、偏交、斜交。相贯线投影相贯线投影分析：两圆柱体轴线垂直相交，其轴线分别为铅垂线和侧垂线，因此小圆柱的水平投影和大圆柱的侧面投影都具有积聚性。相贯线的水平投影积矛在圆周上，侧面投影积聚于圆周的一部分。作图：求特殊点：a'、b'就是两圆柱表面共有点的正面投影，也是相贯线的最高点、最左点、最右点。从侧面投影轮廓线的交点求得相贯线最前点、最后点的侧面投影c"、d"，由从属关系求出其余两面投影。求一般点：作辅助正平面，与两圆柱的交线均为矩形，其侧面投影1、2和水平面投影1、2分别在圆周与平面投影的交点上。a'•b'•a"b"•a•b••c"d"••c'(d')•cd•1••21"(2")••1'•2'例1、如图示，求两圆柱正交的相贯线。完成后的投影图例2、已知一圆柱体上有一圆柱孔，如图所示，求相贯线。a'•b'

•a••ba"(b")

••c"d"••c'(d')•cd•1••21"(2")••1'•2'完成后的相贯线投影图2、圆柱与圆锥相交例：求圆柱和圆锥相贯线的正面和侧面投影。分析：圆柱与圆锥的轴线相互垂直，圆柱的轴线是侧垂线，圆锥的轴线是铅垂线。相贯线的侧面投影积聚在圆柱侧面投影的圆周上。用辅助平面法作图。作图：求特殊点A、B是最高点和最低点；过圆柱的最前、最后转向轮廓线作辅助水平面，可求得相贯线最前、最后点的投影。a'•

•b'a"

••a

•b"b•d

•

•cc'd'

•

•c"d"•求一般点作辅助水平面。•12

•

•1"2"•1'2'•

•3"4"

•

•3•4

•3'4'连相贯线，判别可见性。完成后的相贯线三视图

•3"

4"•3、圆柱与球相交例：求圆柱与球偏交相贯线的正面和侧面投影。分析：圆柱轴线不能过球心，因此圆柱与球是偏交。圆柱的轴线是铅垂线，则相贯线的水平投影必积聚在圆柱水平投影的圆周上。求特殊点由于圆柱和球下面投影的转向轮廓线在同一平面上，交点a'b'是最高和最低点的正面投影。作辅助侧平面求出最前、最后点的投影。a'•b'•a•b•

•a"

•b"d•

•cd"•c'd'•求一般点作辅助水平面，与圆柱交线的水平投影都积聚在圆柱水平投影的圆周上，与球交线的水平投影为不同直径的圆，两个圆的交点为相贯线上的一般点。1•2

••1'2'

•1"2