2023届湖南省高三下学期第六次检测数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A． B． C． D．2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率A． B．C． D．3．已知，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年5．集合，，则=()A． B．C． D．6．由曲线围成的封闭图形的面积为（）A． B． C． D．7．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（）A． B． C． D．8．若函数在处取得极值2，则（）A．-3 B．3 C．-2 D．29．若复数满足（是虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．10．已知复数为虚数单位），则z的虚部为（）A．2 B． C．4 D．11．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（）A． B． C． D．12．已知集合的所有三个元素的子集记为．记为集合中的最大元素，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的常数项为_______．14．已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是，则直线的方程是______.15．复数为虚数单位）的虚部为__________．16．已知内角，，的对边分别为，，．，，则_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的内角、、的对边分别为、、，满足.有三个条件：①；②；③.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积.18．（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（1）请利用正态分布的知识求；（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：②每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费（单位：元）概率市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？附：①；②若；则，，.19．（12分）已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.（Ⅰ）若，求曲线的方程；（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.20．（12分）记数列的前项和为，已知成等差数列.（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）记数列的前项和为，求.21．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据：月份56789101112研发费用（百万元）2361021131518产品销量（万台）1122.563.53.54.5（Ⅰ）根据数据可知与之间存在线性相关关系，求出与的线性回归方程（系数精确到0.01）；（Ⅱ）该公司制定了如下奖励制度：以（单位：万台）表示日销售，当时，不设奖；当时，每位员工每日奖励200元；当时，每位员工每日奖励300元；当时，每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售（万台）服从正态分布（其中是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一），请你估计每位员工该月（按30天计算）获得奖励金额总数大约多少元.参考数据：，，，，参考公式：相关系数，其回归直线中的，若随机变量服从正态分布，则，.22．（10分）已知数列满足：对任意，都有.（1）若，求的值；（2）若是等比数列，求的通项公式；（3）设，，求证：若成等差数列，则也成等差数列.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．2、B【解析】

设，则，，因为，所以．若，则，所以，所以，不符合题意，所以，则，所以，所以，，设，则，在中，易得，所以，解得（负值舍去），所以椭圆的离心率．故选B．3、A【解析】

根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.【详解】因为，所以.因为，所以，因为，为增函数，所以所以，故选：A.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.4、D【解析】

先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为，春秋分日光与垂直线夹角为，则即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则，，．，估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：．【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．5、C【解析】

先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可．【详解】解得集合，所以，故选C．【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小．6、A【解析】

先计算出两个图像的交点分别为，再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】封闭图形的面积为.选A.【点睛】本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.7、C【解析】

根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.【详解】解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，因为是奇函数，所以，解得，因为，所以的最小值为.故选：【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.8、A【解析】

对函数求导,可得,即可求出,进而可求出答案.【详解】因为,所以,则,解得,则.故选:A.【点睛】本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.9、A【解析】

由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.10、A【解析】

对复数进行乘法运算，并计算得到，从而得到虚部为2.【详解】因为，所以z的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意.11、B【解析】

利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.12、B【解析】

分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.【详解】集合含有个元素的子集共有，所以．在集合中：最大元素为的集合有个；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；所以．故选：．【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

写出展开式的通项公式，考虑当的指数为零时，对应的值即为常数项.【详解】的展开式通项公式为：，令，所以，所以常数项为.

故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值.14、【解析】

求出点坐标，由于直线与直线垂直，得出直线的斜率为，再由点斜式写出直线的方程.【详解】由于直线可看成直线先绕点逆时针方向旋转角，再继续旋转角得到，则直线与直线垂直，即直线的斜率为所以直线的方程为，即故答案为：【点睛】本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题.15、1【解析】试题分析：，即虚部为1，故填：1.考点：复数的代数运算16、【解析】

利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【详解】由正弦定理得，，．故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）先求出角，进而可得出，则①②中有且只有一个正确，③正确，然后分①③正确和②③正确两种情况讨论，结合三角形的面积公式和余弦定理可求得的值；（2）计算出和，计算出，可得出，进而可求得的面积.【详解】（1）因为，所以，得，，，为钝角，与矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确.显然，得.当①③正确时，由，得（无解）；当②③正确时，由于，，得；（2）如图，因为，，则，则，.【点睛】本题考查解三角形综合应用，涉及三角形面积公式和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.18、（1）；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费【解析】

（1）根据正态分布的性质可求的值.（2）设某家长参加活动可获赠话费为元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额.【详解】（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得又，，所以；（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为，得10元的情况为低于平均值，概率，得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率，得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为，得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为.所以变量的分布列为：某家长获赠话费的期望为.所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.【点睛】本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.19、（Ⅰ）和.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】

(Ⅰ)由，可得，解出即可；(Ⅱ)设点，设直线，与椭圆方程联立可得：，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得：，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.【详解】(Ⅰ)由题意：，，解得，则曲线的方程为：和.(Ⅱ)证明：由题意曲线的渐近线为：，设直线，则联立，得，，解得：，又由数形结合知.设点，则，，，，，即点在直线上.(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，点，设直线的方程为：，联立，得：，，设，，，，面积，令，，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.20、（1）证明见解析，；（2）【解析】

（1）由成等差数列，可得到，再结合公式，消去，得到，再给等式两边同时加1，整理可证明结果；（2）将（1）得到的代入中化简后再裂项，然后求其前项和.【详解】（1）由成等差数列，则，即，①当时，，又，②由①②可得：，即，时，.所以是以3为首项，