人教B版选择性必修第一册1.2.5　空间中的距离学案

空间中的距离学习目标能用向量方法解决点到直线，点到平面,相互平行的直线,相互平行的平面的距离问题..空间中两点之间的距离设A（xi,yhZ1）,B（x2,y2,z2）是空间中任意两点,则AB二J（X「X2）2+（丫1-%）2+（Z1-Z2）2..点到直线的距离空间中一条直线1及1外一点A,过A作直线1的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到直线1的距离.点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度..点到平面的距离空间中一个平面a及a外一点A,过A作平面a的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到平面&的距离.点到平面的距离也是这个点与平面内点的最地连线的长度.一般地，若A是平面a外一点,B是平面a内一点,n是平面a的一个法向量，则点A到平面a的距离|n|.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离⑴定义：①当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离.②当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.一般地,与两个平行平面同时垂直的直线,称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分,称为这两个平面的公垂线段.显然,两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.⑵①相互平行的直线1与平面Q之间的距离：一般地,若A,B分别是1上和Q内的点,n是平面a的一个法向量,则直线1与平面a之间的距离d二上空上.\n\②相互平行的平面a与B之间的距离：一般地,若A,B分别是平面a,B内的点,n是平面B的一个法向量(也—>是平面a的一个法向量)，则平面a与平面B之间的距离为d二四n⑴特殊的距离：x=a(aWO),表示平行于yOz面的平面,且与yOz面的距离为|a|;y=b(bW0),表示平行于xOz面的平面,且与xOz面的距离为|b|;z=c(cW0),表示平行于xOy面的平面,且与xOy面的距离为|c|.⑵已知AB为平面a的一条斜线段,n为平面a的法向量,则点B到平面a的距离为|80|二|cos〈48,n>|.②探究点一点与点、点与线之间的距离[例1](1)若0为坐标原点,&=(1,1,-2),0B=(3,2,8),0C=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.等B.2714

C.同D.当(2)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B.C1D1,AB=1,BC=2,AA1=3,则点B到直线AC的距离为()A2DA2D2\/35A.-D.7C.—D.17解析：(1)由题意知14+[+9=因为依[BE•AtC=0,OP=-(,OA+OB)=(2,3),14+[+9=因为依[BE•AtC=0,222苧.故选D.(2)过点B作BE垂直于A.C,垂足为E(图略),设点E的坐标为(x,y,z),则A,(0,0,3),B(l,0,0),C(l,2,0),4；C=(1,2,-3),4；E=(x,y,z-3),BE=(x-1,y,z).(X_y_z-3所以在一万一W，、支-1+2y-3z=0,fX=?-解得卜=3，所以加二(ST])，所以点B到直线A.C的距离为|BEI二字,故选B.针对训练：已知A(-3,-3,-3),B(1,1,1),则线段AB的中点坐标为；\AB\=解析:因为A(-3,-3,-3),B(l,1,1),所以线段AB的中点坐标为(芋,芋,芋)=.乙乙乙6二(4,4,4),所以|易|=V42+42+42=4V3.答案4V3⑴空间中两点间的距离的求法：两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此,要求两点间的距离除了使用距离公式外,还可转化为求向量的模.⑵空间中点到直线距离的求法：空间中一条直线1及1外一点A,设直线1上一点B,直线1的方向向量n,利用AB±1,AB•n=0,求得点B坐标,线段AB的长即为点A到直线1的距离.②探究点二一点与面之间的距离[例2]如图，平面PAD,平面ABCD,四边形ABCD为正方形，APAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.⑴求证:平面EFG_L平面PAB;⑵求点A到平面EFG的距离.解：如图，建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,l),F(0,1,1),G(1,2,0).⑴证明：因为EF=(0,1,0),AP=(O,0,2),AB=(2,0,0),所以百7•y1P=OX0+lX0+0X2=0,EF•AB=0X2+1X0+0X0=0,所以EF±AP,EF1AB.又因为AP,ABu平面PAB,且APAAB=A,所以EF_L平面PAB.又EFu平面EFG,所以平面EFG_L平面PAB.(2)设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),则n•EF=(%,y,z)•(0,1,0)=0,(n•EG=(%,y,z)•(1,2,-1)=0,所以H=0'9以卜+2y-z=0.取n=(l,0,1),又族二(0,0,1),T所以点A到平面EFG的距离为d二牛二与叁nV22针对训练：(2021•广州市第八十九中学高二阶段练习)在长方体ABCD-ABCD中，AA尸1,AD=DC=V3,Q是线段AC上一点,且3Q4CA,则点Q到平面ADC的距离为.解析:如图,以DA,DC,D.D所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,1),C(0,V3,1),A、(V3,0,0),G(0,V3,0),所以后二(0,V3,0),DA^(V3,0,-1),=(V3,-V3,0),由GQ=gCi4i，得Q(y>0)，所以访=(£*T),设平面AiDC的法向量为n=(x,y,z),由几•DC=0,得卜同V=0,In•DAt=0,Wx-z=0,取x=l,贝I1z=V3,y=0,所以n二(1,0,V3),所以点Q到平面A.DC的距离为d=里n3答案咚J求点P到平面Q的距离的三个步骤：(1)在平面a内取一点A,确定向量总1的坐标.⑵确定平面a的法向量n.T⑶代入公式d二旦上求解.n⑨谈究京二直线与平面、平面与平面之间的距离[例3]如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，(1)两条平行直线A.D和B.C间的距离为；⑵两个平行平面A.DB和DiCBi间的距离为.解析：⑴在正方体中CDJ_平面BCCBi,B£u平面BCGBi,所以CDJ_BCCDJ_平面ADDA,A】Du平面ADDA,所以CD±A,D.所以线段CD的长度为两条平行直线A.D和B.C间的距离，又CD=1,所以两条平行直线A.D和BC间的距离为1.⑵分别以DA,DC,DD所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(图略),则D(0,0,0),A.(l,0,1),B(1,1,0),C(0,l,0),DB=(l,1,0),0,1).设平面AiDB的法向量为n=(x,y,z),则卜.四二.即仔:取x=l,可得In-DA.=0,5+z=0，n=(l,-l,-l),CB=(l,0,0),则点C到平面AJ)B的距离为,|n•CB\|1|V3d二二〒二—,|n|V33所以两个平行平面A.DB和DCBi间的距离为印答案：⑴1⑵噂针对训练:在棱长为1的正方体ABCD-A.B,C,D,中,E,F分别是BC,CD的中点，则BD到平面EFDB的距离为.解析：以D为原点,直线DA,DC,DDi分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，则E(1,1,0),F(0,0),D.(0,0,l),D(0,0,0),EF=(-i1),设平面EFDB的法向量为n=(x,y,z),所以卜.Ef=0,=j厂/=°，令x=t,则y=],z=i[n•EDX=01j-x-y+z=0,所以平面EFDB的一个法向量为n=(-1,1,；),又6f=(0,0),所以所求距离为正土q.n3答案g相互平行的直线与平面、相互平行的平面与平面的距离，都可以归结为点到平面的距离来求解.1.(2021•石家庄市第十二中学高二期中)已知直线1的一个方向向量为n=(l,0,2),点A(0,1,1)在直线1上，则点P(l,2,2)到直线1的距离为(D)A.2^30B.V30C.—D.?JLUO解析：由已知得易二,因为直线1的一个方向向量为n=(l,0,2),所以点P(l,2,2)到直线1的距离为,IPA12-(匕3)2二二二等.故选D.、n1Wl2+22/\55.已知AB,BC,CD为两两相互垂直的三条线段,且它们的长都为2,则AD的长为(D)A.4B.2C.3D.2V3解析：因为八二G+辰:+cb,所以\AD\2=\AB^BC^CD\2=\AB\2^\BC\2^\CD\2^-2(AB•BC+BC・CD+AB•CD)=22+22+22+2X(0+0+0)=12,故|八|二26.故选D..若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两相互垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是(D)A.渔B.在C.@D.里6363解析:分别以PA,PB,PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(l,0,0),B(0,l,0