五邑大学,近代物理,物理数学,identical

全同粒子系全同粒子系2/5/2023115交换对称性在微观世界中，一个重要的守恒量是全同粒子的交换。在自然界中存在许多种类的粒子，同一类粒子的每一个粒子有相同的内部属性。具有相同内部属性的粒子被称为全同粒子。由同类粒子组成的多粒子系统叫做全同粒子系。当全同粒子系中任意两个粒子交换时，任何可观测量都不会改变。这种特性被称为交换对称性。最简单的全同粒子系是由两个不带电的自由粒子组成的系统：如果这两个粒子带电，则要加上它们之间的电相互作用：显然，两个粒子交换位置不会改变系统的哈密顿量。2/5/2023215波函数的对称性稍微复杂一点的是氦原子中的两个电子：两个电子交换位置也不会改变系统的哈密顿量。一般情况下，在全同粒子系中交换任意两个粒子的算符与哈密顿算符对易。此外，不显含时间。这显示所有都是守恒量。既然交换任意两个粒子不引起观测结果的改变，交换前后系统必定处于相同的量子态：具有上述特性的波函数分别叫做对称或反对称波函数。2/5/2023315粒子交换算符的共同本征态对于一个任意系统，并不是所有都彼此对易：一般情况下，这意味着系统的波函数不一定是所有的共同本征函数。但是，对于全同粒子系，由于每一个粒子都是全同的，因此，所有应该是平等的。于是，唯一可能的选择就是：系统的量子态必须是所有的共同本征态：即对称或反对称波函数。由此可见，全同粒子系的交换对称性绐波函数很强的限制：系统的波函数要么是对称的，要么是反对称的。由于所有粒子对的交换算符都是守恒量，因此，波函数的交换对称性不随时间改变。2/5/2023415玻色子与费米子如果全同粒子系的波函数是对称的，其成员粒子就被称为玻色子，反之则被称为费米子。在统计方法上，玻色子遵守玻色统计，费米子遵守费米统计。这是统计物理学的一个重要内容。实验显示，全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的内部特性自旋有关。自旋是一种类似于自转的性质，是除了质量和电荷外，用来标记微观粒子的重要物理量。微观粒子的自旋的取值总是的整数倍。凡是自旋等于的偶数倍的粒子，波函数对任意两个粒子的交换总是对称的，是玻色子。凡是自旋等于的奇数倍的粒子，波函数对任意两个粒子的交换总是反对称的，是费米子。2/5/2023515交换简并如何构造满足对称或反对称要求的波函数，是多粒子系统理论的首要问题。先考虑由两个全同粒子组成的系统。忽略粒子之间的相互作用，系统的哈密顿量：薛定谔方程：分离变量：相乘的两个函数形式相同结果得到了两个一模一样的方程，是同一个单粒子方程用到两个粒子上去的结果：求解方程将得到单粒子波函数及其本征值：由此得到系统的波函数：这两个态都对应于同一个能量本征值：这种与交换粒子相联系的简并叫做交换简并。2/5/2023615对称与反对称波函数如果要求波函数对于交换是对称的，如果要求波函数是反对称的，不允许有两个全同费米子处于相同的量子态。泡利不相容原理2/5/2023715泡利不相容原理在量子力学发展初期，泡利在早期量子论的框架下首先提出不相容假说。后来，海森伯、费米和狄拉克用波函数的反对称性说明了这条自然法则。泡利不相容原理是理解原子内部电子的排布方式和元素周期表的理论基础。元素周期表是门捷列夫于1869年提出来的。1921年，玻尔首次从物理学的角度指出，元素性质呈现的周期性可以用原子内电子的轨道排布来解释。1925年，泡利提出不相容原理后，人们更深刻地认识到，元素的物理化学性质呈现的周期性来源于核外电子组态的周期性变化，是电子排布具有壳层结构的反映。由多个全同粒子组成的系统，原则上也可用单粒子波函数做类似的排列组合构造。但这将是一件繁琐的工作。2/5/2023815不考虑交换对称时的波函数考虑两个全同自由粒子，它们都处于动量本征态，本征值为当波函数具有不同的对称性时，两个粒子的相对距离的概率分布具有不同的特点。如果不考虑交换对称性：质心运动相对运动2/5/2023915不考虑交换对称时的相对运动不考虑交换对称性时相对运动的波函数：在一个粒子附近半径为的球壳层中找到另一个粒子的概率假定两个粒子的相对距离取r

的概率分布为P(r)，则这个概率就应该等于于是得到两个粒子的相对距离的概率分布它的意义是，在一个粒子附近半径为r

的球面上的单位面积中，找到另一个粒子的概率(密度)。当不考虑交换对称性时，两个粒子的相对距离取任意值的概率密度是一个常数。2/5/20231015交换反对称的波函数对交换为反对称的波函数：由此得到对两个粒子交换为反对称的相对运动波函数：2/5/20231115交换反对称时的相对运动当波函数满足交换反对称时：发现粒子的相对距离为的概率相对距离的概率分布两个全同费米子相互靠拢的概率趋于零。2/5/20231215交换对称的波函数如果波函数对交换是对称的：由此得到对两个粒子交换为对称的相对运动波函数：2/5/20231315交换对称时的相对运动当波函数对交换为对称时：发现粒子的相对距离为的概率相对距离的概率分布两个全同玻色子相互靠拢的概率最大。2/5/20231415三种对称情