ch2.正弦交流电路(修改)-合肥工业大学-电工学简明教程

第2章正弦交流电路2.2

正弦量的相量表示法2.1

正弦电压与电流2.6

电路中的谐振2.7

功率因数的提高2.5

阻抗的串联与并联2.4

电阻、电感与电容元件串联的交流电路2.3

单一参数的交流电路2.8

三相电路直流电路在稳定状态下电流、电压的大小和方向是不随时间变化的，如图所示。

tI,UO正弦电压和电流是按正弦规律周期性变化的（统称为正弦量），其波形如图示。

tu,iO–

+uiR–

+uiR正半周负半周电路图上所标的方向是指它们的参考方向，即代表正半周的方向。负半周时，由于的参考方向与实际方向相反，所以为负值。+实际方向

表征正弦量的三要素有幅值初相位频率2.1正弦电压与电流2.1.1频率与周期周期T：变化一周所需的时间（s）角频率：（rad/s）频率f：正弦量每秒内变化的次数（Hz）T*

无线通信频率：

30kHz~30GMHz*电网频率：我国

50Hz

，美国

、日本

60Hz*高频炉频率：200~300kHZ*中频炉频率：500~8000HziO2.1.2幅值与有效值有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。幅值：Im、Um、Em则有交流直流幅值必须大写,下标加m。同理：有效值必须大写

t2ImtiOＴT/2–Im瞬时值：i、u、e

给出了观察正弦波的起点或参考点。:

相位：注意：交流电压、电流表测量数据为有效值交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值初相位：

表示正弦量在t=0时的相位角。

反映正弦量变化的进程。iO2.1.3初相位与相位差如：若电压超前电流

两同频率的正弦量之间的初相位之差。相位差

：uiuiωtO电流超前电压电压与电流同相

电流超前电压

电压与电流反相uiωtui90°OuiωtuiOωtuiuiOuiωtuiO②不同频率的正弦量比较无意义。

①两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。注意:tO2.2

正弦量的相量表示法瞬时值表达式前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。波形图

１.正弦量的表示方法重点必须小写相量uOaAOb+1+jr模幅角代数式三角式指数式极坐标式正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。A=a+jb=r(cos

+jsin

)=rej=r/设复平面有一复数Ａ复数Ａ可用下列4种式子表示复数在进行加减运算时应采用代数式，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。复数进行乘除运算时应采用指数式或极坐标式，模与模相乘除，幅角与幅角相加减。2.2

正弦量的相量表示法二、复数运算（定量运算）加减运算：设则乘法运算：设则除法运算：则2)定性运算------图解法A+B=CB-A=C2)定性运算------图解法正弦稳态电路频率特点：电路的激励都是同一频率的正弦量，稳态响应也为同频率的正弦量。由于正弦稳态电路的频率特点，将同频率的正弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形式来表示正弦量的方法称为相量法。2.2

正弦量的相量表示法设正弦量:相量:表示正弦量的复数称相量电压的有效值相量相量表示:相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相角电压的幅值相量相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相角或：①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:？②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。

按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形，称为相量图。相量图1jOi1i2I1m•I2m•

[例

1]

若i1=

I1msin(t+i1)i2=

I2msin(t+

i2)，

画相量图。设

i1=30，i1=65

。=⑤相量的书写方式

模用最大值表示，则用符号：④相量的两种表示形式

相量图:

把相量表示在复平面的图形实际应用中，模多采用有效值，符号：可不画坐标轴如：已知则或相量式:⑥KCL，KVL的相量形式？正误判断1.已知：？有效值？3.已知：复数瞬时值j45•？应是最大值？？负号2.已知：4.已知：“j”的数学意义和物理意义设相量+1+jo相量乘以，将逆时针旋转，得到相量乘以，将顺时针旋转

，得到j：虚数单位

[例

]

若已知

i1=

I1msin(t+1)=100sin(t+45)A，

i2=I2

msin(t+2)=60

sin(t30)A，求i

=i1

+

i2。[解]正弦量(时间函数)所求正弦量变换相量(复数)相量结果反变换相量运算(复数运算)于是得正弦电量的运算可按下列步骤进行，首先把交流电路分析是确定电路中电压与电流关系（大小和相位）及能量的转换和功率问题。R–

+ui1.电压电流关系设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。根据欧姆定律设则式中或可见，R等于电压与电流有效值或最大值之比。2.3单一参数的交流电路2.3.1电阻元件的交流电路1.电压电流关系iu波形图U•I•tO相量图+1+jOR–

+ui②大小关系：③相位关系：u、i

相位相同①u、i频率相同相位差：相量式：

瞬时功率

平均功率(有功功率)

2.功率utOipO

tP=UIR–

+ui结论:,R是耗能元件,将电能转换为热能。

设

1.电压电流关系由，有设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。–

+uiLXL与f的关系2.3.2电感元件的交流电路直流：f=0,XL=0，电感L视为短路交流：fXL

感抗(Ω)定义：

ui波形图tO1.电压电流关系–

+uiL2.3.2电感元件的交流电路①u、i

频率相同②大小关系：

U=IXL

或U

m=Im

XL③电压超前电流90相位差可得相量式：电感电路相量形式的欧姆定律超前根据：则：U

•+1+jOI•相量图2.功率瞬时功率iutOptO++––当u、i实际方向相同时(i

增长)

p>0,电感吸收功率；

当u、i实际方向相反时(i

减小)

p<0,电感提供功率。

波形图–

+uiL平均功率无功功率电感与电源之间能量交换的规模称为无功功率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var)

乏。

结论：电感不消耗功率，它是储能元件。

设1.电压电流关系有由C–

+uiXC与f的关系设在电容元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。式中2.3.3电容元件的交流电路XC直流：XC，电容C视为开路交流：f容抗（Ω）定义：

u波形图tOi1.电压电流关系2.3.3电容元件的交流电路C–

+ui①u、i

频率相同③电流超前电压90相位差②大小关系：

U=I

XC

可得相量式则：电容电路中相量形式的欧姆定律超前由：U•+1+jO相量图I•2.功率瞬时功率uitOptO++––当u、i实际方向相同时(u

增长)p>0,电容吸收功率；

当u、i实际方向相反时(u

减小)p<0,电容提供功率。

波形图平均(有功)功率无功功率电容与电源之间能量交换的规模称为无功功率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var)

乏。

结论：电容不消耗功率，它是储能元件。

C–

+ui同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。电容的无功功率Q单位：var为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设则：小结：任何复杂的交流电路都是由R、L、C以不同的联接方式组成的，所以掌握它们在交流电路中的电压、电流关系是非常重要的。

R、L、C交流电路的主要结论功率有功功率无功功率P=UI(W)Q=0P

=

0P

=

0Q=UI(var)Q=–

UI(var)RLC

式中XL=L

XC

=1/CU

•I•dudti=CRLC电压电流关系频率相位有效值相量式一般关系式U=iRdidtu=L相同相同相同同相u超前i90u滞后i90U=IRU=IXCU=IXLI

•U=•jXCI

•U=•jXLI

•U=•RU

•I•U

•I•相量图复阻抗Z=RZ=j

XLZ=–j

XC设电压电流参考方向相同

R、L、C交流电路中电压与电流的关系2.4RLC串联的交流电路2.4.1阻抗（复阻抗）正弦激励下无源线性+-+Z+-+-Z单位：阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式阻抗Z的代数形式表示时可以写成：Z的实部，即Re[Z]=R,称为“电阻”则：阻抗模Z的虚部，即Im[Z]=X，称为“电抗”。阻抗角Z=R+jX

Z的模表示u、i的大小关系，阻抗角（辐角）为u、i的相位差。Z

是一个复数，不是相量，上面不能加点。注意设：则(1)瞬时值表达式根据KVL可得：为同频率正弦量1.电流、电压的关系RLC+_+_+_+_2.4.2RLC串联的交流电路(2)相量法设（参考相量）则总电压与总电流的相量关系式RjXL-jXC+_+_+_+_1)相量式电路参数与电路性质的关系：阻抗模：阻抗角：当XL>XC

时，

>0

，u

超前i

呈感性当XL<XC

时，

<0

，u

滞后i

呈容性当XL=XC

时，=0

，u.

i同相呈电阻性

由电路参数决定。2)相量图(

>0感性)XL

>

XC参考相量由电压三角形可得:电压三角形(

<0容性)XL

<

XCRjXL-jXC+_+_+_+_2.功率关系储能元件上的瞬时功率耗能元件上的瞬时功率

在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。(1)瞬时功率设：RLC+_+_+_+_(2)平均功率P

（有功功率）单位:W总电压总电流u与i

的夹角cos

称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。(3)无功功率Q单位：var总电压总电流u与i

的夹角根据电压三角形可得：电阻消耗的电能根据电压三角形可得：电感和电容与电源之间的能量互换(4)视在功率S电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：V·A注：SN＝UNIN称为发电机、变压器等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。

P、Q、S

都不是正弦量，不能用相量表示。阻抗三角形、电压三角形、功率三角形SQP将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形R例1：已知:求:(1)电流的有效值I与瞬时值i;(2)各部分电压的有效值与瞬时值；(3)作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q和视在功率S。在RLC串联交流电路中，方法：相量运算解：(2)132VRU=(3)相量图(4)或200或(4)呈容性S=UI=2204.4=968VA2.5

阻抗的串联与并联2.5.1阻抗的串联分压公式：对于阻抗模一般注意：+-++--+-通式:2.5.2阻抗并联分流公式：对于阻抗模一般注意：+-+-通式:下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？思考U=14V?U=70V?(a)34V1V26V8V+_6830V40V(b)V1V2+_√U=70V√思考下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？I=8A?I=8A?(c)4A44A4A2A1(d)4A44A4A2A1√√10A14.14A10A100VI2•141.4VI

•I1

•U•U1•

[例2]

图示电路中，已知I1=10A，U1=100V，画出各电压、电流的相量图并求出电压表和电流表的读数。VA–j10j55+–U•I•I2•AV+–U1•电流表读数是10A；电压表读数是141.4V。I1•

[解]

在交流电路中，电压表与电流表的读数是正弦量的有效值。

选取作参考正弦量。根据各元件电压与电流的相量关系及基尔霍夫定律，可得相量图由相量图可知：10A141.4V+–U2•U2•100V在含有电感和电容的交流电路中，若调节电路的参数或电源的频率，使电路中的电流与电源电压同相位，称这时电路中发生了谐振现象。按发生谐振电路的不同，谐振现象分为串联谐振和并联谐振。本节讨论串联谐振的条件和特征。2.6电路中的谐振–

+L–

+uCRi

uC–

+–

+在图示电路中，即时，则即u与i同相，这时电路中发生串联谐振。谐振条件谐振频率串联谐振电路特征(1)其值最小。最大：(2)电路对电源呈电阻性；(3)

电压关系2.6.1串联谐振uLuR于是：因为XL=XC，当2.6.1串联谐振–

+L–

+uCRiuC+–

+串联谐振时相量图I•U•UR•UL•UC•当时，UL和UC都高于电源电压U。如果电压过高时，可能会击穿线圈和电容的绝缘。因此，在电力系统中应避免发生串联谐振。而在无线电工程中则用串联谐振以获得较高电压。uL_uR

[例1]

电路如图所示，已知R=3

、XL=4，电源电压

u=17sin314tV。求：(1)

容抗为何值(容抗不等于零)开关S闭合前后，电流的有效值不变，其值等于多少？(2)

容抗为何值，开关S闭合前电流I最大，这时的电流是多少？ULI•R–jXCjXL+–U

•UC••S+–+–+–UR•[解]

(1)

根据题意有代入已知数据，解得[解]

(1)

[例1]

电路如图所示，已知R=3

、XL=4，电源电压u=17sin314tV。求：(1)

容抗为何值（容抗不等于零）开关S闭合前后，电流的有效值不变，其值等于多少？(2)

容抗为何值，开关S闭合前电流I最大，这时的电流是多少？ULI•R–jXCjXL+–U

•UC••S+–+–+–UR•

(2)

开关闭合前，在电路发生谐振时，电路中电流最大，阻抗最小，此时XC=XL=4功率因数低引起的问题有功功率

P=UNIN

cos功率因数1.

电源设备的容量将不能充分利用2.

增加输电线路和发电机绕组的功率损耗在P、U

一定的情况下，cos

越低，I

越大，损耗越大。下，cos越低，P

越小，设备得不到充分利用。P=UIcos

电压与电流的相位差角(功率因数角)在电源设备UN、IN

一定的情况2.7功率因数的提高I•IC•I1

•U•1C=U2P(tan1–tan)iiCLuR–

+i1C电路功率因数低的原因感性负载的存在提高功率因数的方法并联电容后，电感性负载的工作状态没变，但电源电压与电路中总电流的相位差角减小，即提高了电源或电网的功率因数。已知感性负载的功率及功率因数cos

1

，若要求把电路功率因数提高到cos

，则应并联电容C为由相量图可得又因所以由此得=

[例

1]

有一电感性负载，P=10kW，功率因数cos1=0.6，接在电压U=220V的电源上，电源频率f=50Hz。(1)

如果将功率因数提高到cos

=0.95，试求与负载并联的电容器的电容值和电容并联前后的线路电流。(2)

如果将功率因数从0.95再提高到1，试问并联电容器的电容值还需增加多少？[解]所需电容值为电容并联前线路电流为电容并联后线路电流为(2)若将功率因数从0.95再提高到1，所需增加的电容值为(1)2.8

三相电路本节要求：

1.掌握对称三相负载Y和△联结时相线电压、相线电流关系。

2.掌握三相四线制供电系统中单相及三相负载的正确联接方法，理解中线的作用。

3.掌握对称三相电路电压、电流及功率的计算。图2.8.1三相交流发电机示意图工作原理：动磁生电(末端)+eAeBeCXABYCZ(始端)++––

–图2.8.2三相绕组示意图++__eeAX•图2.8.3定子绕组及其电动势定子ZAXYNSC-+B•••转子2.8

三相电路2.8.1

三相电压2.8.1三相电压三相电压是由三相发电机产生的频率相同、幅值相等、相位互差120的三相对称正弦电压，若以uA

为参考正弦量则也可用相量表示Um–UmuAuBuCtO2以uA为参考正弦量，则有对称三相电压的波形图对称三相电压相量图120°UA•UC•UB•120°120°2.8.1三相电压相序：三相交流电到达正最大值的顺序称为相序。供电系统三相交流电的相序为A

B

C对称的三相电压瞬时值为0,若用相量表示则2.8.1三相电压三相电源的星形联结–

+uCA–

+uAN中点或零点ABCN–

+uAB+–

uBCu

B–

+uC–

+火线中性线两始端间的电压称为线电压。

其有效值用UAB、UBC、UCA表示或一般用Ul

表示。始端与末端之间的电压称为相电压;

其有效值用UA、

UB、UC表示或一般用UP表示。线、相电压之间的关系2.8.1三相电压三相电源的星形联结–

+uCA–

+uANABCN–

+uAB+–

uBCuC–

+线、相电压间相量关系式相量图UA•UC•UB•30o30o30ouB–

+同理设则三相负载对称(三个相的复阻抗相等)不对称(由多个单相负载组成)由三相电源供电的负载称为三相负载三相四线制三角形联接星形联结三相负载采用何种连接方式由负载的额定电压决定。当负载额定电压等于电源线电压时采用三角形联结；当负载额定电压等于电源相电压时采用星形联结。NABCZ3Z2Z1M3~2.8.2三相电路中负载的联接方式

1.负载星形联接的三相电路线电流：流过端线的电流，有效值用Il表示相电流：流过每相负载的电流,有效值用IP表示。结论：负载Y联接时，线电流等于相电流。(1)联接形式+ZBZCZAN'N++–––N电源中性点N´负载中性点即–

+uANuC–

+iANiBiCiN设为参考正弦量则有每相负载中的电流(2).

星形联接电路的计算uB–

+–

+uANuC–

+iANiBiCiN设为参考正弦量则有每相负载中的电流的有效值为各相负载的电压与电流的相位差为中性线中的电流为(2).

星形联接电路的计算uB–

+–

+uAuC–

+iANiBiCiN负载不对称电压、电流相量图ABCNUA•UC•UB•IA•IB•IC•IN•(2).

星形联接电路的计算uB–

+中性线中的电流为–

+uANuB–

+uC–

+iANiBiCiNZZZ图中，若负载对称也即因为电压对称，负载电流也对称，即因此,中线电流为零，即(3)

对称负载Y联接三相电路的计算负载对称时,中性线无电流,省掉中性线，成为三相三线制。–

+uANuB–

+uC–

+iANiBiCiNZZZ对称负载电压电流相量图UA•UC•UB•IC•IA•IB•–

+uANuB–

+uC–

+iANiBiCiN

[例1]

图中电源电压对称，UP=220V；负载为电灯组，在额定电压下其电阻分别为

RA=5，RB=10，RC=20。电灯额定电压UN=220V。求负载相电压、相电流及中线电流。RARBRCABC

[解]

负载不对称有中性线时(其上电压若忽略不计)，负载的相电压与电源的相电压相等。–

+–

+–

+iANiBiC

[例2]

在上例中，(1)A相短路时，(2)A相短路而中线又断开时，试求各相负载的电压。RARBRCABCN因有中线B、C两相未受影响，其上电压仍为220V。

[解]

(1)此时A相短路电流很大将A相中熔断器熔断，

(2)此时负载中点即为A，因此，负载各相电压为在此情况下，B、C两相都超过了负载的额定电压220V，这是不允许的。A–

+–

+–

+iANiBiC

[例

3]

在例1中，(1)A相断开时，(2)A相断开而中线又断开时，试求各相负载的电压。RARBRCABCN因有中线B、C两相未受影响，其上电压仍为220V。[解](1)此时A相断路，电流为0。

(2)此时电路成为单相电路，B、C两相串联接在380V的电源上，两相电流相等。由于B相电阻为

10，故其上电压约为127V，而

C相电阻为20，故其上电压将约为253V。想一想中性线的作用是什么？在什么情况下可以没有中性线？中性线的作用是使星形连接的不对称负载的相电压对称iCABCiBiAiABiBCiCA–

+uAB–

+uBC–

+uCA(2)负载相电流的计算线、相电压对应相等(1)负载线、相电压之间的关系负载三角形联接电路如图示，各电压电流参考方向已在图中标出。各相负载的电压与电流相位差分别为2.

三角形联接2.

三角形联接iCABCiBiAiABiBCiCA–

+uAB–

+uBC–

+uCA(2)

负载线、相电流之间的关系根据KCL，负载线、相电流之间的关系为若负载对称，即和则负载相电流也是对称的，即IA•IB•IC•ICA•IAB•IBC•显然三个线电流也对称，若有效值用Il表示，则有IA=IB=IC=Il，且；相位上，线电流滞后相应的相电流30

。

UAB•UCA•UBC•不论负载是何种连接方式，总的有功功率必定等于各相功率之和。当负载对称时，三相总功率为注意

是负载相电压与相电流的相位差角当对称负载是星形联结时，当对称负载是三角形联结时，由上述关系可得对称负载的三相功率为注意仍是负载相电压与相电流的相位差角同理，可得2.8.3三相功率三相电路知识要点

(1)

由三相电源供电的电路叫三相电路。当三相电源星形联接有中线时，可提供两种电压，且线电压等于相电压的倍；当三相电源作三角形联接时，其线、相电压相等。

(2)

三相负载星形联接三相负载星形联接线、相电流相等。线电压超前与其相关联的两个相电压中超前相的相电压30o

负载对称及不对称但有中线不对称且无中线不确定线、相电压之间的关系

注意：通常三相不对称负载作星形联接不允许没有中线。中线的作用是强迫电源的中性点与负载中性点等电位，从而使负载的相电压与电源相电压相等。(3)

三相负载