高数A1第十四讲函数单调性与曲线的凹凸性

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42246420246泰勒多项式逼近42246420246泰勒多项式逼近第四节一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第三章一、函数单调性的判定法若定理1.

设函数则在[a,b]上单调增加(减少).证:

无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在[a,b]内单调递增.在(a,b)内可导,证毕在[a,b]

上连续,在(a,b)内例1.

判定函数上的单调性.解:所以函数在上单调增加.例2.

讨论函数的单调性.解:所以函数在上单调减少.函数在上单调增加.注:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.

说明：确定函数单调区间的方法和一般步骤例3解:所以函数在上单调减少.函数在上单调增加.例4.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为注2:如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例5函数在上单调增加.例6.

证明:时,成立不等式证:

令定义.

设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上凹凸性的分界点(x0,f(x0)),称为曲线的拐点

.图形是凸的.二、曲线的凹凸性与拐点---------弯曲方向定理2.(凹凸判定法)(1)在

I内则在[a,b]内图形是凹的;(2)在

I内则在

[a,b]内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函数在开区间I=(a,b)上有一阶和二阶导数,那么证毕在[a,b]

上连续例7.判断曲线的凹凸性.解:故曲线是凸的.例8.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上为凸弧在上为凹弧例9.

确定曲线的拐点.解:令得故曲线的拐点为例10.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上是凹的,是凸的,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸例11.问曲线是否有拐点?解:故曲线无拐点.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,例12.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸思考与练习上则或的大小顺序是()提示:

利用单调增加,

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