直线与圆锥曲线含解析

直线与圆锥曲线1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条解析：选B设该抛物线焦点为，(，y)，(，y)，则||＝||＋||＝x＋2＋xB＋p＝xA＋xB＋1＝3＞2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．22．(2019·张掖高三诊断)过抛物线2＝4的焦点F的直线l与抛物线交于，两点，yxAB若，B两点的横坐标之和为10，则||＝()A3AB1314A.3B.3C．5D.16310解析：选D过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2.∵p＝2，∴|AB|＝2＋3＝16.33．(2018·聊城二模 )已知直线l与抛物线 C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段 AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为()A．y＝x－1B．y＝－2x＋5C．y＝－x＋3D．y＝2x－32＝4x1，①解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1222①－②得y1－y2＝4(x1－x2)，22由题可知x1≠y1－y244kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(－2)，即xx－x2y＋y22x112x－y－3＝0.故选D.x2y2π4．(2019·厦门模拟)过双曲线C：4－9＝1的左焦点作倾斜角为6的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是( )A．没有交点B．只有一个交点C．有两个交点且都在左支上D．有两个交点分别在左、右两支上1解析：选D直线的方程为＝3，代入x2y2＝1，整理得232ly(x＋13)：－x－8133C49x－160＝0，＝(－813)2＋4×23×160＞0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．5．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则|AB|＝()A．3B．4C．32D．42解析：选C由题意可设为＝＋，代入＝－22＋＋－3＝0，设(1，lyxyx＋3得xABy)，B(x，y)，则x＋x＝－1，xx＝b－3，y＋y＝x＋b＋x＋b＝－1＋2b.所以AB中点122121212121，－1＋b，该点在x＋y＝0上，即－11＋b＝0，得b＝1，所以|AB|＝坐标为－2＋－2221＋12·x1＋x22－4x1x2＝32.6．(2019·青岛模拟)已知点A是抛物线：2＝2(＞0)的对称轴与准线的交点，过Cxpyp点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则p的值为()1A.2B．13C.2D．2ppy＝kx－，2解析：选D设过点A与抛物线相切的直线方程为y＝kx－2.由2得xx2＝2py2pkx＋p2＝0，由＝4k2p2－4p2＝0，可得k＝±1，则Qp，p，P－p，p，221∴△APQ的面积为 ×2p×p＝4，∴p＝2.故选D.2x2y27．已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且的中点为(12,15)，则双曲线C的离心率为()ABNA．23B.2355C.D.522解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12，15)，得x1＋x2＝24，y122x1y1＋y＝30，由a2－b2＝1，2x2y2a2－b2＝1，x1＋x2x1－x2y1＋y2y1－y2两式相减得：a2＝b2，y1－22x1＋24215－64b225则x1－x2＝a2y1＋y2＝5a2.由直线AB的斜率k＝12－3＝1，∴5a2＝1，则a2＝4，∴双2曲线的离心率cb23e＝a＝1＋a＝2.8．(2019·福州模拟)已知抛物线：2＝2(＞0)的焦点为，过F且斜率为1的直EypxpF线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点，若四边形的面积等于7，则E的方程为()NCMNFA．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．y2＝8xpp解析：选CF2，0，直线AB的方程为y＝x－2.y2＝2px，可得x2－3px＋p2联立得方程组p＝0，y＝x－2，4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，则y1＋y2＝x1＋x2－p＝2p，35p∴)，直线的方程为＝－M2，p，∴(0，p＋.NMCyx23p5p·p5p，∴四边形CMNF的面积为S－S2＋22·p＝42∴C2，0梯形＝22＝7，OCMN△ONF1p7p又p＞0，∴p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x.故选C.x2 y29．(2018·湖北十堰二模 )如图，F1，F2是双曲线 C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的两个分支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A．4B.723D.3C.3解析：选B∵△ABF2为等边三角形，3|AB|＝|AF2|＝|BF2|，∠F1AF2＝60°.由双曲线的定义可得 |AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|＝2a.又|BF2|－|BF1|＝2a，∴|BF2|＝4a.|AF2|＝4a，|AF1|＝6a.12中，由余弦定理可得122122221°，在△AFF|FF|＝|AF|＋|AF|－2|AF|·|AF|cos60222122∴(2c)＝(6a)＋(4a)－2×4a×6a×2，即c＝7a，cc2∴e＝a＝a2＝7.故选B.10．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为1，2，动直线l：yAA22111222)，＝kx＋m与圆x＋y＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P(x，y)，P(x，y则x2－x1的最小值为()A．22B．2C．4D．32解析：选A∵l与圆相切，|m|∴原点到直线的距离 d＝ ＝1，1＋k22y＝kx＋，222m∴m＝1＋k，由x2－y2＝1得(1－k)x－2mkx－(m＋1)＝0，1－k2≠0，＝422＋－k22＋＝2＋1－k2＝8＞0，∴m2x1x2＝1＋m2＜0，k－122mk∴k＜1，∴－1＜k＜1，由于x1＋x2＝1－k2，21＝122122222∴x－xx＋x－4xx＝|1－k2|＝1－k2，∵0≤k2＜1，∴当k2＝0时，x2－x1取最小值22.故选A.2＝4y的焦点为F，点A，B―→11．(2019·安庆模拟)设抛物线x在抛物线上，且满足AF＝―→―→3λFB，若|AF|＝，则λ的值为________．2解析：设(1，y1)，(2，2)，AxBxy由抛物线x2＝4y得焦点F的坐标为(0,1)，4准线方程为y＝－1，―→331∵|AF|＝2，∴y1＋1＝2，解得y1＝2，∴x1＝±2，由抛物线的对称性取x1＝2，∴A1AF的方程为y＝－2x＋1，2，2，∴直线4由y＝－2＋1，x＝2，x＝－22，4x解得1或＝2，x2＝4y.y＝2y∴(－22，2)，∴|―→|＝2＋1＝3，BFB―→＝λ―→―→―→31∵AFFB，∴|AF|＝λ|FB|，∴＝3λ，解得λ＝.22答案：12x2212．(2019·武汉调研)已知直线MN过椭圆2＋y＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直|PQ|2线PQ过原点O且与直线MN平行，直线PQ与椭圆交于P，Q两点，则||＝________.MN解析：法一：由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为x＝＋1，则直线MNMNmyPQ的方程为 x＝my.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4).22y1mm122m1222∴||＝1＋2|1－2|＝m＋122·2.MNmyym＋2

x＝my＋1，x22＋y2＝1?(m2x＝my，222＋y234342222m＋1∴|PQ|＝1＋m|y3－y4|＝222＋2.m|Q|2故|MN|＝22.2b2法二：取特殊位置，当直线MN垂直于x轴时，易得|MN|＝a＝2，|PQ|＝2b＝2，则|PQ|2|MN|＝2 2.5答案：2 213．(2019·石家庄重中高中摸底 )已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)，直线l：y＝ 3(x－16，l与C交于A，B两点，若|AB|＝3，则p＝________.y2＝2px，解析：由y＝3x－消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2p＋6，x1x2＝1，所以|AB|＝2x1＋x22－4x1x2＝23p＋216－4＝，所以p＝2.93答案：214．(2018·深圳二模)设过抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2＝8px(p＞0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2＝8px(p＞0)的另一个交点为Q，则S△ABQ________.S△ABO解析：设直线 OP的方程为y＝kx(k≠0)，y＝kx，2p2p联立得y2＝2px，解得Pk2，k，y＝kx，8p8p联立得y2＝8px，解得Qk2，k，424221＋2∴|OP|＝k4＋k2＝k2，|PQ|＝36p236p26p1＋k2k4＋k2＝k2，S△Q|PQ|AB＝3.∴＝|△ABO|答案：315．已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.求抛物线E的方程；过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，求直线l的方程．解：(1)抛物线E：y2＝2px(p＞0)的准线方程为 x＝－p，26p由抛物线的定义可知 3－－2 ＝4，解得p＝2，∴抛物线 E的方程为y2＝4x.法一：由(1)得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，设A，B两点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，2＝4x1，则y12＝4x2，y2两式相减，整理得2－y1＝4(x1≠x2)．yx2－x1y2＋y1∵线段AB中点的纵坐标为－1，∴直线l的斜率kAB＝4＝4＝－2，y2＋y1－∴直线l的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.法二：由(1)得抛物线E的方程为y2＝4，焦点(1,0)，xF设直线l的方程为x＝my＋1，由y2＝4x，消去x，得y2－4my－4＝0.x＝＋1my设A，B两点的坐标分别为A(x，y)，B(x，y)，1122∵线段AB中点的纵坐标为－1，y1＋y24m1∴2＝2＝－1，解得m＝－2，∴直线的方程为＝－1＋1，即2＋－2＝0.lx2yxy16．(2019·佛山模拟)已知直线l过点P(2,0)且与抛物线E：y2＝4x相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在第四象限，O为坐标原点．当A是PC中点时，求直线l的方程；以AB为直径的圆交直线OB于点D，求|OB|·|OD|的值．解：(1)∵A是PC的中点，P(2,0)，C在y轴上，∴A点的横坐标为1，又A在第四象限，∴A(1，－2)．∴直线l的方程为y＝2x－4.显然直线l的斜率不为0，设l的方程为x＝＋2，(1，1)，(2，2)，联立得方程组x＝my＋2，消去xy2＝4x，myAxyBxy得y2－4－8＝0，my722y1y2∴y1y2＝－8，故x1x2＝4·4＝4，∵D在以AB为直径的圆上，且在直线―→―→OB上，∴AD⊥OD，―→―→，λy2)，设OD＝λOB＝(λx2―→―→―→λx2－x1，λy2－y1)，则AD＝OD－OA＝(∴―→·―→＝(λ2－x1)λ2＋(λ2－1)λy2＝0，ADODxxyy2222即λx2－4λ＋λy2＋8λ＝0，易知λ≠0，∴λ(x22＋y22)＝－4.22222y222222|λ|(x2＋y2)＝4.y217．(2019·广州调研)如图，在直角坐标系xOy中，椭圆C：a2＋x2126b2＝1(a＞b＞0)的上焦点为F1，椭圆C的离心率为2，且过点1，3.求椭圆C的方程；设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆C交于点B(B不在y轴上)，垂直于l的直线―→―→，且|MO|＝|MA|，求直线l的