第二章 命题逻辑

ACourseinLogic--进入--逻辑学教程第二章命题逻辑第一节命题逻辑概述05二月20233命题（1）西南大学在重庆。（2）闪光的东西都是金子。（3）如果小王有作案动机，那么他就会作案。上述（1）是真命题;而（2）、（3）是假命题。命题是通过语句来反映事物情况的思维形态。例如：命题的主要特征：命题有真假05二月20234命题和语句首先，有的语句不能直接表达命题，如：（1）西南大学在重庆吗?（2）请把门关上！一般来讲：陈述句与反诘句可以直接表达命题。其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如：“所有的鸟都会飞”与“没有鸟不会飞”表达了相同的命题。

此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来表达。再次，同一语句，可以表达不同的命题，如：小张将书还给小王，因为他要回家了。

任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命题并非一一对应：05二月20235命题和判断

一个命题是否能成为判断，与断定者的知识、立场等有关。如：“杜甫是伟大的诗人”能否被断定就与断定者的知识水平有很大关系。充分假言命题被断定是前后件的关系，而不是支命题。如：“如果物体受到摩擦，那么物体发热”这个命题，我们既没有断定“物体受到摩擦”，也没有断定“物体发热”，我们所断定的只是前件是后件的充分条件。判断：就是被断定者断定了的命题。判断的主要特征：有所断定。05二月20236语句(直陈句和反诘句)有内涵也有外延。语句的内涵即它表达的命题。语句的外延即真、假这两个真值。采用这种观点的逻辑理论，称为二值外延逻辑或经典逻辑。我们所说的命题，一般指这种或者为真，或者为假的抽象的语句。语句的内涵和外延语句(直陈句和反诘句)有内涵也有外延。语句的内涵即它表达的命题。语句的外延即真、假这两个真值。采用这种观点的逻辑理论，称为二值外延逻辑或经典逻辑。逻辑学上所说的命题，一般指这种或者为真或者为假的抽象语句。05二月20237命题的分类模态命题命题非模态命题简单命题复合命题05二月20238命题分析的层次将联结词所联结的命题作为一个完整的单位来看待

——研究关于联结词的推理(命题逻辑)深入到命题内部，把命题分析为主项、谓项、量项和联项

——研究关于量项和联项的推理(传统词项逻辑)深入到命题内部，把命题分析为个体词、谓词、量词及联结词

——研究关于量词的推理(现代谓词逻辑)把命题中包含的模态词分析出来

——研究关于模态词的推理(模态逻辑)05二月20239推理的种类非演绎推理推理演绎推理复合命题的推理类比推理简单命题的推理归纳推理模态命题的推理溯因推理05二月202310

推理是由前提和结论组成的，前提和结论之间的关系称为推出（推论、推理）关系。例如：小王既有缺点，又有优点，所以，小王有优点。在推理中，前提是“小王既有缺点，又有优点”，结论是“小王有优点”，“所以”标志前提和结论之间的推出关系。

推理形式：p且q，所以，q。

逻辑学是从两个方面来研究推理的：

(1)从前提和结论的真假方面进行

(2)从前提和结论的形式方面进行推出关系05二月202311自然演绎系统L自然演绎系统L:由形式语言L的初始符号、公式的形成规则、定义以及一组变形(推导)规则所组成的。逻辑语形(语法)学:研究符号与符号关系的逻辑理论。逻辑语义学:研究符号及其解释的逻辑理论，如:把p、q、r解释为取真假值的命题变元，把∧、∨、→解释为真值集上的运算，把p∧q、p∨q、p→q解释为真值函数的表达式。05二月202312推出关系的双重刻画从语形方面来刻画推出关系从语义方面来刻画推出关系根据L的推理规则能够从A1,A2,…，An推导出B；A1,A2,…，An├LB(n≥1);具有语法推出关系的推理称为形式正确的推理；语形推出关系可表示为：

p∧q├Lq。如果在A1,A2,…，An为真的一切解释C中B都是真的。A1,A2,…，Aｎ=C

B(n≥1);具有语义推出关系的推理称为有效的推理；语义推出关系可表示为：

p∧q=Cq。小王既有缺点，又有优点，所以，小王有优点。05二月202313逻辑系统的可靠性和完全性如果有A1,A2,…,An├B当且仅当A1,A2,…，An

=B(n≥1)，我们就说这样的形式系统既可靠又完全。这样的逻辑系统能保证从真前提推出真的结论，决不会推出假结论甚至逻辑矛盾。凡是从真前提推出真结论的推出关系都包含在这个逻辑系统中，在系统之外，没有从真前提推出真结论的推出关系。可靠性：语法推出关系都是语义推出关系。完全性：语义推出关系都是语法推出关系。推理的三种不同分析方法05二月202314直言命题推理复合命题推理量化命题推理直言命题推理05二月202315所有的S都是P所以，有些P是S所有的M都是P所以，所有的S都是P所有的S都是M复合命题推理05二月202316如果p则q所以，q如果非p则qP或者非p量化命题推理05二月202317有的学生尊敬所有的老师，所以，所有的老师都有人尊敬。第二章命题逻辑第二节复合命题及其推理05二月202319负命题(1)并非选修逻辑的学生都是文科生。(2)这个班的学生不都学英语。(3)如果它是三角形，则内角和等于180°，这个观点不对。注：负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。负命题的形式:并非p（¬p）负命题的逻辑性质：负命题的真假与被否定的命题的真假是相反的。负命题是否定一个命题而形成的复合命题。例如：05二月202320负命题由于真值集合只有两个元素{T,F}，因此，用列表的方式表示真值运算最为方便、直观。这种表称为真值表。当p在真值集合｛T，F｝上取真值后，

p的真值也唯一确定。所以，

p是p的函数，表达形式为f(p)=p，这种函数称真值函数。的真值表如下：FT¬pp

根据这个真值表，也可以给f(p)=p这个一元真值函数下如下定义：p为真当且仅当p为假；p为假当且仅当p为真。TF真值表的作用05二月202321负命题根据负命题的逻辑性质，可对¬p再否定得到¬¬p，其真值与p相同，真值表如下：FTFTFT¬¬p¬pp由上真值表知，对任意公式A，有等值关系：A

¬¬A负命题的推导规则:双重否定引入规则（¬¬+）：从A可推出A。图示：A——¬¬A双重否定消去规则（¬¬-）：从A可推出A。图示：¬¬A——A05二月202322联言命题（1）小张歌唱得好并且舞跳得好。（2）这样建立的逻辑系统既有可靠性，又有完全性。联言命题的形式：p并且q（p∧q）。p称为∧的左辖域，q称为∧的右辖域。p∧q是二元真值函数：

f(p,q)=p∧q。∧是在两个真值变元p和q上进行运算的二元运算。联言命题是由命题联结词“并且”联结支命题而形成的复合命题，又称合取命题。例如：05二月202323FFTFFTTTp∧qqp从上表可以得出联言命题的逻辑性质：当p、q同时为真，p∧q为真；只要p、q其中一个为假，则p∧q为假。合取词∧的真值表TFFF由∧的真值表,可得出∧运算的规律:（1）∧的交换律：p∧qq∧p（2）∧的结合律：p∧(q∧r)(p∧q)∧r（3）∧的重言（幂等）律：p∧pp05二月202324合取引入规则（∧+）：从A和B可推出A∧B。图示如下：AB——A∧B合取消去规则（∧-）：从A∧B可推出A，从A∧B可推出B。图示如下：

A∧BA∧B

——

——BA小张喜爱音乐，小张喜爱体育，所以，小张不但喜爱音乐，也喜爱体育。根据∧+作出一个形式正确的推理，推理形式为：p,q├p∧q小张既有优点，也有缺点，所以，小张是有优点的。根据∧_作出一个形式正确的推理，推理形式为：p∧q├p。联言命题的推导规则05二月202325选言命题(1)李明或者是诗人，或者是小说家。(2)要么武松打死老虎，要么老虎吃掉武松。选言命题的种类：一、相容的选言命题二、不相容的选言命题

选言命题用“或者”、“要么”等命题联结词联结支命题而形成的复合命题，例如：05二月202326一、相容选言命题及其推理(1)小王或者是班干部，或者是学生会干部(二者可以得兼)。(2)这份统计材料，或者是原始材料有错误，或者是计算有错误，或者两种情况都存在。相容选言命题的形式：p或者q(p∨q)相容选言命题逻辑特征：相容选言命题为真，它的选言支至少有一个为真，反过来讲，选言命题至少有一个选言支为真，则选言命题为真。相容选言命题又称弱析取命题，是用“或者”联结支命题而形成的选言命题，例如：05二月202327一、相容选言命题及其推理∨的真值表∨的运算规律FFTFFTTTp∨qqp(1)∨的交换律：p∨qq∨p，(2)∨的结合律：p∨(q∨r)(p∨q)∨r,(3)∨的重言律：p∨p

p。TFTT05二月202328一、相容选言命题及其推理∧和∨的混合运算规律

(1)∧对∨的分配律:p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)。

(2)∨对∧的分配律：

p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)。

(3)吸收律：

p∧(p∨q)p；

p∨(p∧q)p。

(4)德·摩根律：

¬(p∧q)

¬p∨¬q；

¬(p∨q)¬p∧¬q。05二月202329一、相容选言命题及其推理用真值表检验德·摩根律：从上真值表，可得：¬(p∧q)<=>¬p∨¬q应用德·摩根律的实例:

并非这件衣服物美(而且)价廉这件衣服或者物不美，或者价不廉。并非小李或者喜欢音乐，或者喜欢体育小李既不喜欢音乐，也不喜欢体育。TTFTTFFTTFFTTFTTFTFFTFFTFFTTp∨q(p∧q)p∧qqpqp05二月202330一、相容选言命题及其推理析取消去规则(∨－)从A∨B和¬A可推出B；从A∨B和¬B可推出A。A∨BA∨B¬B¬A——

——AB析取消去规则应用实例：或者李某是嫌疑犯，或者王某是嫌疑犯(或者二者都是)；李某不是嫌疑犯；所以，王某是嫌疑犯。其推理形式为：

p∨q,¬p├q肯定一部分选言支，不能否定另一部分选言支。下述推理形式均错误：A∨B,A├¬B；A∨B，B├¬A规则：否定一部分选言支，就要肯定其余的选言支。05二月202331一、相容选言命题及其推理析取引入规则(记为∨＋)：

析取引入规则(记为∨＋)：从A可推出A∨B；从B可推出A∨B。AB————A∨BA∨B05二月202332二、不相容选言命题及其推理(1)鱼，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼。(2)要么选老王当村长，要么选小李当村长。不相容选言命题是用“要么”联结两个支命题构成的选言命题，例如：形式：要么p,要么q（pq）q＝df(p∨q)∧(p∧q)p05二月202333二、不相容选言命题及其推理FFTFFTTTpqqp的真值表的运算规律的交换律：pqqP(qr)(pq)的结合律：prFTTF05二月202334二、不相容选言命题及其推理消去规则(记为_):从AB和A可推出B；从AB和B可推出A；ABA——BABB——A从AB和

A可推出B；从AB和

B可推出A；AB

A——BAB

B——A05二月202335假言命题（1）如果寒潮到来，那么气温就会下降。（2）只有你去，我才放心。（3）人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人。由“如果”、“只有”引出的支命题称为前件，由“那么”、“才”引出的支命题称为后件。假言命题的种类一、充分条件假言命题二、必要条件假言命题三、充分必要条件假言命题

假言命题是由“如果，那么”、“只有，才”、“当且仅当”等联结词联结两个支命题而形成的复合命题，例如：05二月202336假言命题的种类一、充分条件假言命题(1)只要你不断地坚持锻炼，你的身体就会康复。(2)假如语言能创造财富，那么，夸夸其谈的人就会成为世界上最富有的人。

充分条件假言命题的形式：如果p，那么q(p→q)在蕴涵式p→q中，p称为→的前件(左辖域)，q称为→的后件(右辖域)。充分条件假言命题亦称条件命题或者实质蕴涵命题,是用“如果，那么”等联结词联结前、后件形成的假言命题，例如：05二月202337假言命题的种类→的真值表

充分条件假言命题的逻辑性质是：除了前件为真而后件为假时充分条件假言命题是假的之外,其它情况下,充分条件假言命题都是真的。FFTFFTTTp→qqpTTTF05二月202338假言命题的种类二、必要条件假言命题(1)只有由细菌引起的疾病，才能用抗生素治疗。(2)我不去，除非你去。必要条件假言命题的形式：只有p,才q(p←q)用“只有，才”联结前、后件形成的假言命题，例如：在蕴涵式p←q中，p称为←的前件(左辖域)，q称为←的后件(右辖域)。05二月202339假言命题的种类←的真值表必要条件假言命题的逻辑性质是：除了前件为假而后件为真时充分条件假言命题是假的之外,其它情况下,充分条件假言命题都是真的。pqp←qTTTTFTFTFFFT05二月202340假言命题的种类三、充分必要条件假言命题(1)a和b平行,当且仅当它们的同位角相等。(2)人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。充要条件假言命题的形式：p当且仅当q(pq)在充要条件式pq中，称p为的前件(左辖域)，称q为的后件(右辖域)。充分必要条件假言命题又称双条件命题，简称充要条件假言命题，是用“当且仅当”作为联结词的命题，例如：05二月202341假言命题的种类的真值表的逻辑性质：当p和q的真值相同时，pq的真值为真；当p和q的真值不相同时，pq的真值为假。FFTFFTTTp

qqpFFTT05二月202342→、←、的运算规律（１）→的定义：p→q=df(p∧q)（２）←的定义：p←q=df(p∧q)（３）pq的定义：pq＝df(p→q)∧(p←q)（４）←转换为→：p←qq→pp←qp→q（5）蕴析律：p→qp∨q（6）假言易位律：p→qq→ppqqppqqp(7)对→的否定：(p→q)p∧q(8)对←的否定：(p←q)p∧q(9)对的否定：(pq)(p→q)∨(q→p) (pq)pq (pq)pq (pq)p∨q (pq)(p∧q)∨(p∧q)05二月202343关于→的推理规则(1)蕴涵消去规则,也称分离规则(略缩为M.P.)或肯定前件式(记为→_)从A→B和A可推出B。图示：A→BA——B(2)否定后件式(略缩为M.T.)

从A→B和B可推出A。图示：

A→B

B——

A规则：肯定前件就要肯定后件规则：否定后件就要否定前件05二月202344关于→的推理规则的应用（1）如果甲方付给了定金,乙方就得按时发货。甲方已付给了定金。所以乙方得按时发货。其推理形式为：p→q，p├q（2）如果这部电影受观众欢迎，那么买票的人就多。买票的人不多。所以这部电影不受观众欢迎。其推理形式为：p→q,q├p05二月202345案例：下列语句序列是否包含推理？是何推理？并分析其推理的形式正确与否？（1）这辆违章车还没交清罚款，（因此，）不能给它办理年检手续。（2）A:走，我们去看看唐明。B:唐明不在家。A:你怎么知道的？B:如果他在家，他的汽车会停在他家门口。但是，我来时看到，他的汽车没有停在他家门口。（3）既然你非知道不可，我就把这件事情告诉你吧。（4）吃了饭从来不给钱，这不是土匪吗？（5）假如中医没有用，那么病人为什么愿意找中医看病呢？05二月202346关于→的推理的错误应用在日常思维中，关于→的推理，容易发生的错误是：从A→B和B推出A；从A→B和

A推出

B。例如如是小K是持枪杀人凶手，那么他肯定有枪。小K有枪。所以，他是持枪杀人凶手。如是小K是持枪杀人凶手，那么他肯定有枪。小K不是持枪杀人凶手。所以，他肯定没有枪。为避免错误，制定了这样的规则：肯定后件不能肯定前件；否定前件不能否定后件。05二月202347逻辑趣话：“杀不杀猪”曾妻：“你在家好好念书，我回来后就杀猪炖肉给你吃。”05二月202348逻辑趣话：“我要嫁给希特勒”“假如要你在两个人中选择一个做你的终身伴侣，你会选择谁？这两个人，一个是波兰大音乐家肖邦，一个是法西斯头子希特勒！”“我要嫁给希特勒！”05二月202349(2)肯定后件规则:从A←B和B可推出A

图示：

A←

BB——A(1)否定前件规则:从A←B和A可推出B图示：A←

BA——B规则：否定前件就要否定后件规则：肯定后件就要肯定前件关于←的推理规则的应用05二月202350关于←的推理规则应用(1)只有你学习努力，才能取得好成绩。你学习不努力，所以，你不能取得好成绩。其推理形式为：p←q，p├q(2)除非发生了意外情况，这趟列车不会停在这个地方。它既然停在这个地方，可见，发生了意外情况。其推理形式为：p←q,q├p05二月202351关于←的推理的错误应用在日常思维中，关于←的推理的错误应用，容易发生的错误是:从A←B和A推出B；从A←B和

B推出

A。例如:

只有小A在作案现场，他才是杀人凶手。有人证明小A在作案现场，所以，小A是杀人凶手。只有小A在作案现场，他才是杀人凶手。小A不是杀人凶手，所以，小A不在作案现场。为避免错误，制定了这样的规则：肯定前件不能肯定后件；否定后件不能否定前件。05二月202352关于的推理规则(1)等值引入规则(记为+)：从A→B和B→A可推出AB。图示：A→BB→A——AB(2)等值消去规则(记为－)：从AB可推出A→B；从AB可推出B→A。图示：AB——A→BAB——B→A05二月202353其他常见的推理1.假言易位推理：

A→B├┤B→A；A→B├┤B→A；A→B├┤B→A2.二难推理：简单构成式：A→C,B→C,A∨B├C

复杂构成式：A→C,B→D,A∨B├C∨D

简单破坏式：A→B,A→C,B∨C├A

复杂破坏式：A→C,B→D,C∨D├A∨B3.假言三段论：A→B，B→C├A→C4.反三段论：(A∧B)→C├┤(A∧C)→B

(A∧B)→C├┤(B∧C)→A5.反证法：A→B，A→B├A6.归谬法：A→B，A→B├A05二月202354二难推理构造反二难推理

所谓构造反二难推理，就是承认选言的小前提，但改变大前提，从而引出矛盾的结论，使对方处于同样的二难困境。05二月202355据说古希腊智者普罗泰哥拉曾招收一位名叫欧提勒士的的学生跟他学诉讼。两人订有契约：欧提勒士毕业时付给普罗泰哥拉一半学费，另一半学费等欧提勒士第一次出庭打赢官司时付清。但是，欧提勒士毕业后并不出庭打官司，普罗泰哥拉等的不耐烦，诉诸法庭，向欧提勒士提出：

假若我打赢这官司，根据判决你要付另一半学费

假若我输了这官司，根据契约你也要付另一半学费

或者我赢了这官司，或者我输了这官司

所以，你都要付另一半学费

05二月202356欧提勒士对普罗泰哥拉提出以下的反诉：

假若我打赢这官司，根据判决我不该付另一半学费

假若我输了这官司，根据契约我也不该付另一半学费

或者我赢了这官司，或者我输了这官司

所以，我都不该付另一半学费

欧提勒士在这里提出的反诉是有效的，其内在的逻辑依据是：

如果普罗泰哥拉那样的推论有效，则欧提勒士的推论也有效；如果欧提勒士的推论无效，则普罗泰哥拉的推论也无效。但是，这并不意味着普罗泰哥拉的立论是正确的。普罗泰哥拉利用双重标准讲歪理，欧提勒士则利用双重标准反驳歪理，论证的立场不同，从而决定普罗泰哥拉作了一个不正确的推论，欧提勒士则作了一个有效的反驳。这一著名的案例就是“半费之讼”。05二月202357思考：1.上帝万能悖论如果上帝可以创造一块他举不起的大石头，那么他不是万能的

如果上帝不能创造一块他举不起的大石头，那么他也不是万能的

上帝要么能够创造这块石头，要么不能创造这块石头

所以，上帝不是万能的

2.伊壁鸠鲁悖论

如果是上帝想阻止“恶”而阻止不了，那么上帝就是无能的

如果是上帝能阻止“恶”而不愿阻止，那么上帝就是坏的

如果是上帝既不想阻止也阻止不了“恶”，那么上帝就是既无能又坏

如果是上帝既想阻止又能阻止“恶”，那为什么我们的世界充满了“恶”呢05二月2023583.寻找真理一人在寻找真理，别人问他：“你真的不知道真理是什么吗？”那个人说：“当然！”别人又问：“你既然不知道真理是什么，当你找到真理的时候，你又如何辨别出来呢？”“如果你辨别得出真理与否，那说明你已经知道了真理是什么，又何来寻找呢？”

这个二难推理的形式如下：

如果你不知道真理是什么，你就无法辨别出真理，那么你就不必寻找真理

如果你能辨别出真理，你就已经知道了真理是什么，那么你也不必寻找真理

或者你知道真理是什么，或者你不知道真理是什么

所以，你都不必寻找真理05二月202359二难推理及其有效式基本定义：二难推理（dilemma)是由两个假言命题和一个二支的选言命题做前提构成的推理。从二难推理的原理来说，它不属于新的推理种类，而是假言推理和选言推理的综合运用。

2.伊壁鸠鲁悖论

如果是上帝想阻止“恶”而阻止不了，那么上帝就是无能的

如果是上帝能阻止“恶”而不愿阻止，那么上帝就是坏的

如果是上帝既不想阻止也阻止不了“恶”，那么上帝就是既无能又坏

如果是上帝既想阻止又能阻止“恶”，那为什么我们的世界充满了“恶”呢05二月2023601.简单构成式（simpleconstructive）“如果p，则q”并且“如果r，则q”

p或者r

所以q

其逻辑形式为：[(p→q)∧(r→q)∧(p∨r)]→q

如果刺激老虎，那么它是要吃人的

如果不刺激老虎，它也是要吃人的

或者刺激老虎，或者不刺激老虎

所以，老虎总是要吃人的05二月2023612.复杂构成式（complerconstructive）“如果p，则q”并且“如果r，则s”

p或者r

所以q或者s

其逻辑形式为：[(p→q)∧(r→s)∧(p∨r)]→(q∨s)

如果孙悟空打死妖怪，那么唐僧就会将他赶走

如果孙悟空不打死妖怪，那么唐僧就会被妖怪吃掉

孙悟空打死妖怪，或者他不打死妖怪

所以，不是孙悟空被唐僧赶走，就是唐僧被妖怪吃掉

05二月2023623.简单破斥式（simpledestructive）“如果p，则q”并且“如果p，则r”

非q或者非r

所以非p

其逻辑形式为：[(p→q)∧(p→r)∧(┐q∨┐r)]→┐p

如果夏洛克履行契约，就必须割下安东尼奥的一块肉

如果夏洛克履行契约，就不能让安东尼奥流一滴血

或者不割安东尼奥的肉，或者让安东尼奥流血

所以，夏洛克不能履行契约05二月2023634.复杂破斥式（complerdestructive）“如果p，则q”并且“如果r，则s”

非q或者非s

所以，非p或者非r

其逻辑形式为：[(p→q)∧(r→s)∧(┐q∨┐s)]→(┐p∨┐r)

如果子孙贤能而为他们多留财产，则会使他们丧失志气

如果子孙愚笨而为他们多留财产，则会使他们增加过错

为了不使子孙丧失志气，或者不使子孙增加过错

所以，无论子孙贤能或者愚笨，都不为他们多留财产05二月202364摆脱两难困境二难推理的主要特征通过小前提所提供的非此即彼或亦此亦彼的选择而体现出来，因而，如果能突破小前提的限制，就能摆脱不利的结论。这就叫做摆脱进退维谷的困境。

如何突破小前提的限制？主要有两种方法：一种是指出在p或者r这两个选言支以外，还有第三种选言情况存在，这样便瓦解了小前提的限制。另一种是指出p或者r进行选择的一个无法满足的先决条件，由于这个先决条件的无法满足而瓦解了小前提的限制。

05二月202365（1）学生宿舍区饮食管理委员会认为，快餐店的零售价格足够高了，因此，他们通知持有零售快餐许可证的快餐店，要保持目前的价格不变，否则将被吊销营业执照。

通知给快餐店设置了一个两难选择，要么保持价格不变，要么吊销营业执照。面对这个似乎是非此即彼的二难选择，减少快餐的分量这个第三者便是一个反例，它使这个二难选择不能成立。05二月202366（2）伊索的主人酒醉狂言，发誓要喝干大海，并以他的全部财产和管辖的奴隶作赌注。次日醒来，发觉失言，但全城的人都早已得知此事。这时主人陷入以下的二难困境：

如果实现诺言，就要喝干大海

如果不实现诺言，就会失信于人

或者实现诺言，或者不实现诺言

所以，或者喝干大海，或者失信于人

面对这个二难的困境，主人听从了伊索的计策，到海边对围观的人说：“不错，我要喝干大海，但是现在千百万条江河不停地流入大海，谁能把河水与海水的界限分开，我保证喝干大海。”伊索为主人指出了进行二难选择的先决条件，即把河水与海水分开，由于这个条件无法满足，因而破解了二难的困境。第二章命题逻辑第三节：

命题逻辑的自然演绎系统NP05二月202368自然演绎系统NP

命题逻辑的自然演绎系统NP是由形式语言L′和一组推导（变形）规则构成的。其中形式语言L′包括初始符号、形成规则和定义。一、初始符号(1)甲类符号：p1,p2,p3,…；(2)乙类符号：，∧，∨，→；(3)丙类符号：(，)。这些符号构成的有穷长的序列叫做符号串，例如:p,p∧q，p∨q,p→q；(p∧q)→r，p∧(q→r)，…

构建命题逻辑的形式系统，可以采用公理化方法，也可采用自然演绎的方法。为接近人们日常思维的实践，x现采用自然演绎的方法来构建命题逻辑的一个形式系统NP。05二月202369自然演绎系统NP二、形成规则(1)任何单个的命题变元p是合式公式；(2)如果A是合式公式，则A是合式公式；(3)如果A和B是合式公式，则A∧B、A∨B、A→B是合式公式；只有（1）----（3）形成的符号串是合式公式。三、定义：用来表示缩写的，定义两边的符号串可以相互代替。如：(AB)=df(A→B)∧(B→A)。形式语言L′的全体合式公式记为Form(L′)。形式语言L′是我们的研究对象，叫对象语言。讨论对象语言的语言叫元语言或语法语言。05二月202370形成规则的作用（1）以递归的方式定义合式公式。（2）提供一种能行、可判定的方法判定任一符号串是不是合式公式。（3）检验合式公式的性质。如:(((p∨q)∧(p))→q)的形成过程是：p，q，(p∨q)，(p)，((p∨q)∧(p))，q，(((p∨q)∧(p))→q)。这个字符串是反复运用形成规则而形成的，因此它是合式公式。05二月202371合式公式的子公式合式公式的子公式：在生成合式公式的过程中，每一步所生成的公式。

A的子公式是A和A；A∧B的子公式是A、B和A∧B；A∨B的子公式是A、B和A∨B；A→B的子公式是A、B和A→B。如：p，q，（p∨q），(p)，((p∨q)∧(p))，(((p∨q)∧(p))→q)都是(((p∨q)∧(p))→q)的子公式。主联结词：辖域最大的联结词。(((p∨q)∧(p))→q)的主联结词是→。省略括号的约定：(1)公式最外层的括号可以省略。(2)联结词的结合力依下列次序递减：，∧，∨，→，。如：(((p∨q)∧(p))→q)可简记为(p∨q)∧p→q。05二月202372NP系统的推导规则1.合取引入规则(记为∧+)：从A和B推出A∧B；2.合取消去规则(记为∧_):

从A∧B推出A；从A∧B推出B；3.析取引入规则(记为∨+)：从A推出A∨B；从B推出A∨B；4.析取消去规则(记为∨_):

从A∨B和A推出B；从A∨B和B推出A；5.蕴涵引入规则(记为→+)：如果从公式集Γ和A推出B，则从Γ推出A→B；6.蕴涵消去规则(记为→_)：从A→B和A推出B；7.否定消去规则(记为_)：如果从Γ和A推出B∧B，则从Γ推出A。又称条件证明规则或演绎定理，是把从Γ推出A→B的推理转化为从Γ和临时的假设A推出B的推理。(即移出律)又称间接证明或反证法，是把由Γ推出A的推理转化为由Γ和临时的假设A推出B∧B的推理。05二月202373有前提的形式推演

一个有穷的公式序列B1,B2,…，Bm是从前提集Γ(Γ不是空集)到结论B的有前提的形式推演，如果每一个公式Bi(1≤i≤m)满足以下条件之一：

(1)Bi∈Γ(即Bi是前提集Γ中的一个公式)；

(2)Bi是一个据→+或-临时引入的假设；

(3)Bi是该序列中在前的若干公式应用NP系统的推导规则得到的公式；

(4)B=Bm。则我们称Γ和B具有语法推出关系，B从Γ中可演绎的，或者说，从Γ可以推出B，记为：Γ├NPB。05二月202374NP系统中的语法(语形)推出关系

我们以T1，T2，…来给由基本推导规则确立的语法推论关系的编号，用(1)，(2)，…

，(m)给形式推理过程中的公式序列中的每一个公式编号。T1A├A(肯定前提)(1)A前提A既是该序列的第1个公式，也是第m个公式(m=1)。T2A，B├A(肯定前提)T3A，B├B(1)AA1(2)BA2B是第2个公式，也是第m个公式(m=2)。05二月202375NP系统中的语法(语形)推出关系T4A，B├A∧BT5(a)A∧B├AT5(b)A∧B├BT6(a)A├A∨BT6(b)B├A∨BT7(a)A∨B,A├BT7(b)A∨B,B├AT8A→B,A├B05二月202376NP系统中的语法(语形)推出关系T8:A→B,A├B(1)A→BA1(2)AA2(3)B(1)，(2)，→_T9

(假言三段论，记为H.S.)：A→B，B→C├A→C(1)A→BA1(2)B→CA2(3)AH1(→+的假设)(4)B(1)，(3)，→_(5)C(2)，(4)，→_(6)A→C(3)—(5)，→+(消去H1)05二月202377NP系统中的语法(语形)推出关系T10(双重否定消去规则，记为_)：A├A(1)AA(2)AH（_的假设）

(3)A∧A(1)，(2)，∧+(4)A(2)—(3)，_(消去H)T11(双重否定引入规则，记为+):A├A(1)AA(2)AH（_的假设）

(3)A(2)

，_(4)A∧A(1)，(3)，∧+(5)A(2)—(4)，_（消去H）05二月202378NP系统中的语法(语形)推出关系T12A，Ａ├

B

T13Ａ，A├B只证T12：(1)AA1(2)AA2(3)A∨B(1),∨+(4)B(3)，(2)，∨_T14A→B，A→B├A(归谬法，记为+)(1)A→BA1(2)A→BA2(3)AH1(_的假设)(4)A(3)，_(5)B(1)，(4)，→_(6)B(2)，(4)，→_(7)B∧B(5)，(6)，∧+(8)A(3)—(7)，_（消去H1）05二月202379NP系统中的语法(语形)推出关系T15(a)A→B├B→A(假言易位)T15(b)B→A├A→B只证T１5(a)：(1)A→BA(2)BH1（→+的假设）

(3)AH2(_的假设)(4)A(3)，_(5)B(1)，(4)，→_(6)B∧B(2)，(5)，∧+(7)A(3)—(6)，_（消去H2）(8)B→A(2)—(7)，→+（消去H1）T15(c)A→B├┤B→AT15(d)A→B├┤B→A05二月202380NP系统中的语法(语形)推出关系可证等价关系也称演绎等值关系,如果A├B且B├A，A和B就具有可证等价关系，记为A≡B。据T15(a)和T15(b)，有如下可证等价关系：

A→B≡B→A。可证等价置换规则(记为R．P．)：如果A≡B，则在A出现的公式C中(即A是C的子公式)，可以用B代替A，在B出现的公式C中(即B是C的子公式)，可以用A代替B。05二月202381NP系统中的语法(语形)推出关系T16A→B，B├A(否定后件,记为M.T.)(1)A→BA1(2)BA2(3)B→A(1)，R．P．(4)A(2)，(3)，→_T17A∨B，A→C，B→C├C(二难推理,记为D.C.)(1)A∨BA1(2)A→CA2(3)B→CA3(4)CH1（_的假设）

(5)A(2)，(4)，M．T．

(6)B(1)，(5)，∨_(7)C(3)，(6)，→_(8)C∧C(4)，(7)，∧+(9)C(4)—(8)，_（消去H1）05二月202382NP系统中的语法(语形)推出关系T18(a)

(A∧B)├┤A∨B(记为DeM.)T18(b)(A∨B)├┤A∧B(记为DeM.)T19(a)(A∨B)├AT19(b)(A∨B)├BT20(a)A├(A∧B)T20(b)B├(A∧B)05二月202383NP系统中的语法(语形)推出关系T18(a)

(A∧B)├┤A∨B的证明先证(A∧B)├A∨B:(1)(A∧B)A(2)(A∨B)H1(_的假设)(3)AH2(_的假设)(4)A∨B(3)，∨+(5)(A∨B)∧(A∨B)(2),(4),∧+(6)A(3)—(5),_(消去H2)(7)BH3(_的假设)(8)A∨B(7)，∨+(9)(A∨B)∧(A∨B)(2)，(8)，∧+(10)B(7)—(9)，_(消去H3)(11)A∧B(6)，(10),∧+(12)(A∧B)∧(A∧B)(1)，(11),∧+(13)A∨B(2)—(12)，_(消去H1)05二月202384NP系统中的语法(语形)推出关系T18(a)

(A∧B)├┤A∨B的证明再证A∨B├(A∧B)：(1)A∨BA(2)(A∧B)H(_的假设)(3)A∧B(2)，_(4)A(3)，∧_(5)B(3)，∧_(6)A(4)，+(7)B(1),(6),∨_(8)B∧B(5),(7),∧+(9)(A∧B)(2)—(8),_(消去H)05二月202385NP系统中的语法(语形)推出关系交换律T21(a)A∧B├┤B∧AT21(b)A∨B├┤B∨A结合律T22(a)A∨(B∨C)├┤(A∨B)∨CT22(b)A∧(B∧C)├┤(A∧B)∧C分配律T23(a)A∧(B∨C)├┤(A∧B)∨(A∧C)T23(b)A∨(B∧C)├┤(A∨B)∧(A∨C)05二月202386NP系统中的语法(语形)推出关系

T21(b)A∨B├┤B∨A的证明先证A∨B├B∨A(1)A∨BA(2)AH1(→+的假设)(3)B∨A(2)，∨+(4)A→B∨A(2)—(3)，→+（消去H1）(5)BH2(→+的假设)(6)B∨A(5)，∨+(7)B→B∨A(5)—(6)，→+（消去H2）(8)B∨A(1)，(4)，(7)，D.C.同理，可证B∨A├A∨B。05二月202387NP系统中的语法(语形)推出关系T24(a)

A→B├┤(A∧B)T24(b)(Ａ→B)├┤A∧BT25(a)A→B├┤A∨B

(蕴析律)T25(b)A∨B├┤A→ＢT26(a)(A∧B)├┤A→ＢT26(b)A∧Ｂ├┤(A→Ｂ)T27(a)A∧Ｂ├┤(A∨Ｂ)T27(b)A∨Ｂ├┤(A∧Ｂ)T28(b)A→B,A→C,B∨C├A(二难推理)T28(c)A→C，B→D，A∨B├B∨DT28(d)A→C，B→D，C∨D├A∨B05二月202388NP系统中的语法(语形)推出关系T29(a)A∧B→C├┤A∧C→B(反三段论)T29(b)A∧B→C├┤B∧C→AT30A∧B→C├A→(B→C)(条件输出)T31A→(B→C)├A∧B→C(条件输入)T32A→(B→C)├┤B→(A→C)(条件互易)T33A→(B→C)├┤(A→B)→(A→C)T34A→(A→B)├┤A→B(条件融合)T35(a)A→B├A∧C→B∧C(前件附加)T35(b)A→B├A∨C→B∨CT35(c)A→B├(C→A)→(C→B)T36（A→B）→C├B→C05二月202389NP系统中的语法(语形)推出关系T37A→B，B→A├AB(+)T38(a)AB├A→B(_)T38(b)AB├B→AT39A→C,B→C├A∧B→C(前件合取)T40A→B,A→C├A→B∧C(后件合取)T41A∧B→C├┤(A→C)∨(B→C)T42A∨B→C├┤(A→C)∧(B→C)T43A→B∧C├┤(A→B)∧(A→C)T44A→B∨C├┤(A→B)∨(A→C)……05二月202390NP系统中的语法(语形)推出关系应用实例(一)如果不换8号上场（p），或者换12号上场(q)，甲队的形势不会好转(r)。教练没有换8号上场，也没有换12号上场。所以，甲队的形势不会好转。首先，将前提和结论形式化：

A1：(p∨q)→rA2：p∧qB：r(1)(p∨q)→rA1(2)p∧qA2(3)(p∨q)(2)，DeM.(4)r(1)，(3)，→_05二月202391NP系统中的语法(语形)推出关系应用实例(二)如果线段L有存在无穷多个点，那么，如果这些点有长度，则线段L将无穷长，而且，如果这些点都没有长度,则线段L也不会有长度。但是，一条线段既不会无穷长,也不会没有长度。所以L上不会有无穷多个点。前题和结论符号化：A1：p→(q→r)∧(q→s)A2：r∧sB：p05二月202392(1)p→(q→r)∧(q→s)A1(2)r∧sA2(3)pH（_的假设)(4)p(3),_(5)(q→r)∧(q→s)(1)，(4)，→_(6)q→r(5),∧_(7)q→s(5),∧_(8)r(2),∧_(9)s(2),∧_(10)q(6),(8),M.T.(11)q(7),(9),M.T.(12)q∧q(10),(11),∧+(13)p(3)—(12)，_,(消去H)05二月202393NP系统中的语法(语形)推出关系应用实例(三)如果货币供应量保持现状，而货币需求量增加，则银行利率就会上升。如果货币需求量增加导致银行利率上升，则在银行存款更被看好。主管部门已宣布货币供应总是保持不变。因此，在银行存款更被看好。A1：p∧q→rA2：(q→r)→sA3：pB：s05二月202394NP系统中的语法(语形)推出关系应用实例(三)方法一：（1）p∧q→rA1（2）（q→r）→sA2（3）pA3(4)qH1（→+的假设)(5)p∧q(3)，(4)，∧+(6)r(1)，(5)，→_(7)q→r(4)—(6)，→+(消去H1)(8)s(2)，(7)，→_05二月202395NP系统中的语法(语形)推出关系应用实例(三)方法二：（1）p∧q→rA1（2）（q→r）→sA2（3）pA3 (4)sH（→_的假设) (5)（q→r）(2),(4)M.T. (6)q∧r(5),R.P. (7)r(6)，∧_ (8)(p∧q)(1),(7)M.T. (9)p∨q(8),R.P. (10)q(6)，∧_ (11)q(10),+ (12)p(9),(11),∨_ (13)p∧p(3),(12),∧+(14)s(4)—(13),_(消去H)05二月202396证明公式集不一致

包括逻辑矛盾的公式(命题)集称为不相容(不一致,不协调)的公式集.判定公式集｛A∨B→C，(A→C)→D，B∧D｝是否为不一致的公式集.(1)A∨B→CA1(2)C→DA2(3)A∧DA3(4)A(3)，∧_(5)D(3)，∧__(6)A∨B(4)，∨+(7)C(1)，(6)，→_(8)D(2)，(7)，→_(9)D∧D(5)，(8)，∧+故原公式集是不一致的公式集。第二章命题逻辑第四节：命题逻辑有效性的判定05二月202398真值指派和真值赋值真值指派（简称指派）：给每个命题变元指定一个真值的过程，记为ρ。从直观上讲，真值指派实质上可看成是给构成复合命题的支命题（表示为命题变元）指定真值的过程。ρ(p)=T（ρ(p)=F）就是把p解释为一个真（假）命题。真值赋值（简称赋值）:给定一个真值指派以后，给每个公式确定一个唯一的真值的过程。这个过程称为由该真值指派导出的真值赋值，记为δ。公式A在赋值δ下的值，记为δ(A)。真值指派ρ导出真值赋值δ，实质上可看成由支命题（表示为命题变元）的真值确定复合命题（表示为公式）的真值的过程。05二月202399形式语言L′的基本语义解释设ρ为任一指派，δ是由ρ导出的赋值：(Ⅰ)对任何命题变元p，δ(p)=ρ(p)，其中ρ(p)已有定义。(Ⅱ)δ(A)=T当且仅当δ(A)=F;(Ⅲ)δ(A∧B)=T当且仅当δ(A)=T并且δ(B)=T;(Ⅳ)δ(A∨B)=T当且仅当δ(A)=T或者δ(B)=T;(Ⅴ)δ(A→B)=T当且仅当δ(A)=F或者δ(B)=T。给定一个真值指派ρ:ρ(p)=T,ρ(q)=F,ρ(r)=T,…。根据基本语义解释，可以导出一个真值赋值δ,以确定由这些命题变元构成的任何公式在δ下的真值。例如：δ(p)=F,δ(p∧r)=T,δ(p∨q→r)=T,δ(p∨r→q)=F，…。真值条件语义学：上述基本基本语义解释，实质上是以严格的形式陈述了真值表所表示的真值运算或真值函数，陈述了命题变元或子公式与公式的真值对应关系或真值条件联系，因此，我们也把这种对形式语言L′所作的语义解释，称为真值条件语义学。形式语言L′的语义解释，就是根据基本语义解释来确定L′的全体公式的真值。05二月2023100重要的语义概念可满足性：对任何公式A，如果存在赋值δ,使得δ(A)=T，则称A是可满足的。如果对任何赋值δ，都有δ(A)=F，则称A为不可满足的。协调性：对公式集Γ(Γ={A1,A2,…,An})中的任一公式Ai(i=1,2,…,n)，如果存在赋值δ,使得δ(Ai)=T，则称公式集Γ是协调的。语义后承：设Γ是一个公式集，B是一个公式，如果对任何赋值δ都有：如果δ(Γ)=T(即δ（A1）=T，δ（A2）=T，…，δ（An）=T)，则δ（B）=T，则称B是Γ的语义后承（或Γ逻辑蕴涵B，Γ能有效地推出B，Γ与B具有语义推出关系），记为：Γ=B。语义等值：如果A=B并且B=A，则称A语义等值于B（或A逻辑等值于B），记为AB。05二月2023101基本推导规则的保真性逻辑的中心任务是从语形方面和语义方面刻画前提和结论之间的推出关系。从语义方面看,任何推导规则的根本作用在于保证从真前提能而且只能得出真结论。∧+的保真性

1.∧+:从A，B推出A∧B(A,B├A∧B)

对任何赋值δ，如果δ（A）=T,δ（B）=T，那么，根据基本语义解释(Ⅲ)，δ（A∧B）=T，因此：A，B=A∧B。故∧+能保证从真前提必然得出真结论。05二月2023102基本推导规则的保真性∨_的保真性2.∨_：从A∨B,A推出B；从A∨B,B推出A（A∨B,A├B；A∨B,B├A）。

(1)假设存在赋值δ，使得δ(A∨B)=T，δ(A)=T,但是δ(B)=F；

(2)根据基本语义解释（Ⅱ），由δ(A)=T，得δ(A)=F;(3)由δ(A)=F和δ(B)=F,根据基本语义解释（Ⅳ），得δ(A∨B)=F；

(4)δ（A∨B）=F，与假设δ(A∨B)=T矛盾；因此，假设不成立，即没有赋值δ，使得：δ(A∨B)=T，δ(A)=T，但是δ(B)=F；所以，A∨B，A=B。同理，A∨B,B=A。故∨_能保证从真前提必然得出真结论。05二月2023103基本推导规则的保真性→_的保真性3.→_:从A→B和A推出B(A→B,A├B)

(1)假设存在赋值δ，使得δ(A→B)=T，δ(A)=T,但是δ(B)=F;

(2)根据基本语义解释（Ⅴ），由δ(A)=T,δ(B)=F,得δ(A→B)=F;

(3)δ(A→B)=T而且δ(A→B)=F，矛盾。

(4)因此，假设不成立，即对任何赋值δ，如果δ(A→B)=T,并且δ(A)=T，那么δ(B)=T，即A→B,A=B

故→_能保证从真前提必然得出真结论。05二月2023104基本推导规则的保真性→+的保真性4.→+：如果Γ，A├B,则Γ├A→B（1）假设Γ，A=B，但是Γ≠A→B，即对任何赋值δ，只要δ(Γ)=T，δ(A)=T，那么δ(B)=T；但是，又存在赋值δ，使得δ(Γ)=T，并且δ(A→B)=F；（2）由δ（A→B）=F，得δ（A）=T，并且，δ(B）=F；（3）这就是说存在赋值δ,使得