第二章 实验数据的处理-4

HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@1/472.5实验数据的拟合

在分析实验数据过程中，常常要面临将实验数据作解析描述的任务，即用近似解析函数的形式描述物理规律。我们通过实验获得的数据，有些情况下具有如下特点：数据量往往比较大数据本身存在一定的误差

对这样的数据如果采用插值方法近似求整个数据区间描述物理规律的解析函数，必然存在下列缺点：在一个包含有很多数据点的区间内构造插值函数，必然使用高次多项式。而高次插值多项式是不稳定的。由于数据本身存在误差，利用插值方法得到的插值多项式必然保留了所有的测量误差，导致插值函数与物理规律差异较大。实验数据的拟合可以克服插值方法在处理这类问题中存在的缺点。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@2/472.5实验数据的拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@3/472.5实验数据的拟合实验数据拟合的基本思想：

使近似函数尽量靠近数据点，而不要求近似函数一定通过所有数据点。

实验数据拟合可以在一定精度内、一定范围内找出反映物理量间客观函数关系的近似解析式。如果实验数据存在误差，这种做法可以部分抵消原来数据中的测量误差，从而使所得到的拟合函数更好地反映物理规律。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@4/472.5实验数据的拟合利用拟合可以解决两类物理问题：物理规律已知，但描述物理规律的解析式中某些系数未知，可以利用实验方法获得了物理量之间的关系，通过拟合的方法，求出这些系数的近似值。物理规律未知，利用实验方法获得了物理量之间的关系，通过拟合的方法，得到一个近似的解析式，用于描述物理规律。多项式拟合是经常使用的拟合方法。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@5/472.5实验数据的拟合

首先，从一个简单的例子来讨论一元线性拟合与最小二乘法问题。为了具有一般性，把上式改写为：

通过实验测量的方法，求金属铜电阻温度系数α，金属电阻与温度关系如下：2.5.1一元线性拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@6/472.5实验数据的拟合

通过实验测得金属铜温度x与电阻y数据如下：xi(℃)Yi(Ω)xi(℃)Yi(Ω)xi(℃)Yi(Ω)04.38755.581406.74104.56805.741506.94204.70905.961607.12304.861006.061707.28405.081106.261807.42505.241206.441907.60605.401306.582007.78HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@7/472.5实验数据的拟合

设一元线性拟合函数为：将实验数据代入拟合函数，得到超定方程组HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@8/472.5实验数据的拟合

由于以上超定方程组不能确定一组唯一的A0和A1，也就是说，由方程组可求得A0和A1的多组解，那么究竟哪一组解最接近客观真实值呢?

按照拟合的思想，应当使在每一个测量值尽量接近拟合函数的函数值，这样的拟合函数才是满足要求的，即：在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，即只考虑yi的误差。设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，即只考虑测量过程中的偶然误差，其分布为正态分布。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@9/472.5实验数据的拟合在正态分布、无偏估计条件下，利用统计理论和概率论原理，可以得出最小二乘原理，即偏差的平方和最小，就可以保证在每一个测量点的偏差都很小。可以利用求函数极值的方法，就可以得到满足拟合要求的A0和A1HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@10/472.5实验数据的拟合令：求函数φ极值得到：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@11/472.5实验数据的拟合即上式也可写为：矩阵形式为：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@12/472.5实验数据的拟合解得：就可以得到线性拟合函数：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@13/472.5实验数据的拟合线性拟合matlab程序HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@14/472.5实验数据的拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@15/472.5实验数据的拟合

线性拟合在物理实验中应用十分广泛，例如弹性介质杨氏模量测量中应变与应力的关系，电阻电路中电流与电压的关系等。

有些物理量之间在一定范围内是线性关系，也可使用线性拟合的方法，只是要注意其适用范围。

还有一种情况是量物理量之间并不存在线性关系，但经过适当变换后可转化为线性关系。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@16/472.5实验数据的拟合

常用的线性变换

函数变换后的函数HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@17/472.5实验数据的拟合

影响一个物理量的因素，很多情况下不止一个，为了得到描述物理规律的近似函数，就必须采取多元线性拟合。设物理量y随x1，x2，…，xk等k个物理量而变化，即：

为了寻求描述物理规律的近似函数，通过实验测得n组数据(一般n>k)，利用拟合的方法求近似函数。2.5.2多元线性拟合设近似函数为HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@18/472.5实验数据的拟合测得n组实验数据如下：i123……nx1ix11x12x13……x1nx2ix21x22x23……x2nx3ix31x32x33……x3n.....xki.....xk1.....xk2.....xk3.....Xknyiy1y2y3……ynHarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@19/472.5实验数据的拟合

与一元线性拟合的思路相同，由n组实验数据代入上式，得到n个方程式构成的k元线性方程组，用最小二乘原理确定函数系数A0,A1,…,Ak,使yi与Yi的偏差的平方和最小。令利用分别对系数A0,A1,…,Ak求极值，就可以求解。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@20/472.5实验数据的拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@21/472.5实验数据的拟合化简整理后可得

改写矩阵形式为HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@22/472.5实验数据的拟合其中HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@23/472.5实验数据的拟合

物理学及各科学技术领域都普遍存在非线性函数关系，对此不能直接使用线性拟合的方法，对这类问题可以采取不同的方法解决。方法一：变换为线性拟合有些非线性函数可以经过变量替换，转化成线性函数关系，然后对替换变量进行线性拟合，最后再还原为原始的物理量。但不是所有的函数关系都可经过变量替换而转化成线性函数关系的。方法二：多项式拟合

任何一个连续函数，在一个比较小的邻域内均可用多项式任意逼近。所以在物理学的许多问题中，不论物理量直接存在何种函数关系，都可用多项式进行数据拟合。2.5.3非线性拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@24/472.5实验数据的拟合

设有n组实验数据xi，yi，（i=1,2,…,n），用k次多项式拟合，设拟合方程为：即：多项式拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@25/472.5实验数据的拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@26/472.5实验数据的拟合多项式拟合也可转化为多元线性拟合，只要令一元非线性拟合转化为多元线性拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@27/472.5实验数据的拟合2.5.4线性代数方程组的解法

在计算机上求解线性代数方程组的方法：矩阵解法：矩阵运算是matlab的基本运算。直接解法：在计算过程中，如果所有运算都是精确的，在理论上，经过有限次运算就可以得到精确解，适用于A为低阶稠密矩阵（n不大且元多为非0）的方程组。迭代解法：近似解法，运算次数因要求的计算精度而变化，适用于A为大型稀疏矩阵（n很大且元多为0）的方程组。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@28/472.5实验数据的拟合1正则线性方程组矩阵形式为：矩阵解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@29/472.5实验数据的拟合2超定线性方程组矩阵形式为：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@30/472.5实验数据的拟合最小二乘解矩阵形式为：由于HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@31/472.5实验数据的拟合极小条件：即HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@32/472.5实验数据的拟合多元线性拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@33/472.5实验数据的拟合例2.5.1设y是x1和x2的线形函数,已知下列一组测量值,利用二元一次线形函数进行拟合x10.19340.68220.30280.54170.15090.69790.37840.86000.85370.5936x20.49660.89980.82160.64490.81800.66020.34200.28970.34120.5341y2.24553.57312.95052.90752.72143.11432.01662.38992.61122.7092设拟合函数为:HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@34/472.5实验数据的拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@35/472.5实验数据的拟合多项式拟合函数格式：p=polyfit(x,y,m)说明：x，y输入同维数据向量m拟合多项式次数p输出拟合多项式的系数向量2.5.5matlab拟合函数HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@36/472.5实验数据的拟合例2.5.2：多项式拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@37/472.5实验数据的拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@38/472.5实验数据的拟合非线性函数拟合格式：a=lsqcurvefit(‘fun’,a0,x,y)

说明：x，y输入同维数据向量fun拟合函数文件a输出拟合函数的系数向量a0

a的初值HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@39/472.5实验数据的拟合例2.5.3：已知利用下列数据，求a,b,c,dHarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@40/472.5实验数据的拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@41/472.5实验数据的拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@42/472.5实验数据的拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@43/472.5实验数据的拟合HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@44/472.5实验数据的拟合

拟合的基本思想就是使近似函数尽量靠近测量点，但并不要求测量点完全落在近似函数曲线上，判断近似函数靠近测量点的数学方法采用最小二乘法，即近似函数值与测量值的偏差