2017学年高中数学学业分层测评10余弦函数的图象与性质（含解析）4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10学必求其心得，业必贵于专精PAGE学业分层测评(十)余弦函数的图象与性质（建议用时：45分钟）[学业达标]一、选择题1。(2016·广州高一检测)已知函数f（x)＝－cosx，下面结论错误的是(）A.函数f(x）的最小正周期为2πB。函数在区间eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2)））上是增函数C.函数f(x）的图象关于直线x＝0对称D。函数f（x）是奇函数【解析】∵f（x)＝－cosx的图象即为函数f(x)＝cosx的图象绕x轴翻转而成的,∴A、B、C均正确，函数f(x)应是偶函数，故选D。【答案】D2.（2016·南昌高一检测）函数y＝|cosx|－1的最小正周期是()A。2kπ(k∈Z) B。3πC。π D.2π【解析】因为函数y＝｜cosx｜－1的周期同函数y＝｜cosx｜的周期一致，由函数y＝|cosx|的图象知其最小正周期为π，所以y＝|cosx|－1的最小正周期也为π,故选C.【答案】C3.函数y＝1－2coseq\f（π,2）x的最小值，最大值分别是（）A。－1,3 B。－1，1C。0，3 D.0,1【解析】∵coseq\f（π,2）x∈[－1，1],∴－2coseq\f（π，2）x∈［－2，2］，∴y＝1－2coseq\f（π，2)x∈［－1,3]的最小值为－1,最大值为3.【答案】A4。下列关系式中正确的是(）A.sin11°<cos10°〈sin168°B.sin168°<sin11°〈cos10°C。sin11°〈sin168°〈cos10°D.sin168°〈cos10°<sin11°【解析】∵sin168°＝sin(180°－12°）＝sin12°＝cos78°，sin11°＝cos79°.由余弦函数的单调性得cos79°〈cos78°〈cos10°，即sin11°〈sin168°〈cos10°.【答案】C5.在（0,2π)内使sinx>|cosx|的x的取值范围是（）A.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，4），\f（3π，4）)) B.eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(π,4),\f(π,2))）∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（5π,4），\f（3π,2))）C。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,4）,\f（π，2）)） D。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π，4），\f（7π，4)））【解析】∵sinx〉|cosx|，∴sinx〉0,∴x∈(0，π),在同一坐标系中画出y＝sinx，x∈(0，π）与y＝｜cosx|，x∈（0，π）的图象,观察图象易得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，4),\f(3π,4)））.【答案】A二、填空题6.函数y＝2coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，3)－ωx)）的最小正周期为4π，则ω＝________。【解析】∵4π＝eq\f(2π,|－ω|）,∴ω＝±eq\f(1，2）。【答案】±eq\f（1，2)7.利用余弦曲线,写出满足cosx>0,x∈［0，2π]的x的区间是__________.【解析】画出y＝cosx，x∈［0，2π］上的图象如图所示.cosx>0的区间为eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2）))∪eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（3π,2),2π）)。【答案】eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2))）∪eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（3π,2)，2π)）8.（2016·徐州高一检测）函数y＝lg（eq\r(3）－2cosx）的定义域为________。【解析】由题意知eq\r(3）－2cosx＞0，即cosx＜eq\f（\r(3）,2），所以eq\f(π,6)＋2kπ＜x＜eq\f(11π,6）＋2kπ（k∈Z)，即函数的定义域为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，6)＋2kπ，\f(11π，6）＋2kπ)）（k∈Z)。【答案】eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,6)＋2kπ,\f（11π,6)＋2kπ）)（k∈Z)三、解答题9。判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期.(1)y＝3cos2x，x∈R;（2)y＝coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，4)x＋\f（3π，2）))，x∈R。【导学号：72010029】【解】(1)把2x看成一个新的变量u，那么cosu的最小正周期为2π,这就是说，当u增加到u＋2π且必须至少增加到u＋2π时,函数cosu的值重复出现。而u＋2π＝2x＋2π＝2（x＋π），所以当自变量x增加到x＋π且必须至少增加到x＋π时,函数值重复出现，因此，y＝3cos2x的周期为π。∵y＝f（x）＝3cos2x，f（－x）＝3cos(－2x)＝3cos2x，∴y＝3cos2x为偶函数.（2)函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3,4）x＋\f(3π,2)）)的周期T＝eq\f(2π，\f(3，4))＝eq\f(8π，3）。∵x∈R，且f（x)＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3，4)x＋\f(3π，2）））＝sineq\f(3,4）x，∴f(－x)＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（3,4）x））＝－sineq\f（3，4)x＝－f（x），∴y＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3,4）x＋\f(3π，2）)）为奇函数.10.求函数y＝sin2x＋acosx－eq\f(1,2)a－eq\f(3，2）的最大值为1时a的值。【解】y＝1－cos2x＋acosx－eq\f（1,2)a－eq\f（3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cosx－\f(a，2)））2＋eq\f（a2,4）－eq\f(1，2)a－eq\f（1，2).因为cosx∈[－1,1］，要使y最大，则必须满足eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（cosx－\f(a，2))）2最小。①当eq\f(a,2)〈－1，即a〈－2时，若cosx＝－1,则ymax＝－eq\f(3,2)a－eq\f（3,2）.由题设，令－eq\f（3,2)a－eq\f（3,2）＝1，得a＝－eq\f（5，3）>－2（舍去）；②当－1≤eq\f（a，2)≤1，即－2≤a≤2时，若cosx＝eq\f(a,2）,则ymax＝eq\f(a2,4)－eq\f(a，2)－eq\f(1,2)。由题设，令eq\f（a2，4)－eq\f（a，2)－eq\f（1，2）＝1，得a＝1±eq\r(7）（舍去正值)；③当eq\f(a,2)>1，即a>2时，若cosx＝1,则ymax＝eq\f(a，2）－eq\f(3,2），由题设,令eq\f（a，2)－eq\f(3,2)＝1，得a＝5.综上所述a＝5或a＝1－eq\r(7).[能力提升]1。(2016·潍坊高一检测)函数y＝coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（3π，2）))的(）A.最小正周期为2πB。图象关于y轴对称C。图象关于原点对称D。图象关于x轴对称【解析】函数y＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（3π，2））)的周期为:eq\f（2π，2）＝π。所以A不正确；函数y＝coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(3π,2)）)＝sin2x，当x＝0时，函数取得0，函数关于原点对称，故B不正确,D不正确。【答案】C2。(2014·江苏高考）已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为eq\f（π，3)的交点，则φ的值是________.【解析】由题意，得sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)＋φ）)＝coseq\f（π，3），因为0≤φ≤π，所以φ＝eq\f（π,6)。【答案】eq\f(π，6)3。已知函数f(x)＝2cosωx（ω＞0)，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为eq\f(π，2)。(1)求feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，8）)）的值；（2）将函数y＝f（x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x）的单调递减区间.【解】(1）∵f（x)的周期T＝π，故eq\f（2π,ω）＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝2cos2x，∴feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,8）)）＝2coseq\f（π，4）＝eq\r(2).(2)将y＝f(x)的图象向右平移eq\f（π，6)个单位后,得到y＝feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π，6）））的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变,得到y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x,4)－\f(π，6））)的图象，所以g(x）＝feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(x,4）－\f（π,6）））＝2coseq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（2\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x，4）－\f(π,6)））））＝2coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（x,2)－\f(π，3)))。当2kπ≤eq\f(x，2)－