2017学年高中数学2.2平面向量的线性运算2.2.3含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2。3向量数乘运算及其几何意义课时目标1.掌握向量数乘的定义.2。理解向量数乘的几何意义.3。了解向量数乘的运算律.4。理解向量共线的条件．1．向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个__________,这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：（1）|λa｜＝__________.（2)λa（a≠0)的方向eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（当时，与a方向相同，当时，与a方向相反));特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝2．向量数乘的运算律(1)λ(μa）＝________.（2）（λ＋μ）a＝____________。(3）λ（a＋b）＝____________。特别地,有(－λ）a＝____________＝________；λ（a－b）＝____________。3．共线向量定理向量a(a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ,使______________．4．向量的线性运算向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b)＝一、选择题1．设e1,e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R）与向量n＝e2－2e1共线，则（）A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝eq\f(1，2）2．已知向量a、b，且eq\o(AB，\s\up6（→))＝a＋2b,eq\o（BC，\s\up6（→))＝－5a＋6b，eq\o（CD，\s\up6(→））＝7a－2b,则一定共线的三点是()A．B、C、DB．A、B、CC．A、B、DD．A、C、D3．已知△ABC的三个顶点A，B,C及平面内一点P,且eq\o(PA，\s\up6（→)）＋eq\o（PB,\s\up6（→））＋eq\o（PC，\s\up6(→））＝eq\o(AB,\s\up6(→）),则（)A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上4．已知△ABC和点M满足eq\o(MA，\s\up6(→))＋eq\o(MB，\s\up6（→)）＋eq\o(MC,\s\up6（→）)＝0.若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o（AC，\s\up6（→）)＝meq\o（AM，\s\up6(→))成立，则m的值为(）A．2B．3C．4D5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且eq\o（CD,\s\up6（→）)＝4eq\o（BD，\s\up6(→)）＝req\o（AB,\s\up6（→))＋seq\o(AC，\s\up6（→）)，则r－s等于()A．0B.eq\f（4,5）C。eq\f（8，3)D．36．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，eq\o(BC,\s\up6（→)）2＝16，｜eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o（AC,\s\up6(→））｜＝｜eq\o（AB，\s\up6（→））－eq\o(AC,\s\up6(→)）｜，则|eq\o（AM，\s\up6(→)）|等于(）A．8B．4C．2D题号123456答案二、填空题7．若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（y－\f（1,3)a））－eq\f(1,2)(c＋b－3y）＋b＝0,其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_______。8．已知平面内O,A,B，C四点，其中A,B，C三点共线，且eq\o（OC,\s\up6(→))＝xeq\o（OA，\s\up6（→）)＋yeq\o(OB，\s\up6(→））,则x＋y＝________。9.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点,则向量eq\o(CD，\s\up6（→））＝______。(填写正确的序号）①－eq\o（BC,\s\up6（→))＋eq\f（1，2）eq\o（BA,\s\up6(→)）②－eq\o（BC，\s\up6(→）)－eq\f(1,2)eq\o（BA，\s\up6（→）)③eq\o（BC，\s\up6(→))－eq\f(1，2）eq\o（BA，\s\up6(→)）④eq\o(BC,\s\up6(→）)＋eq\f（1,2)eq\o（BA，\s\up6（→））10。如图所示，在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up6（→)）＝a，eq\o(AD,\s\up6(→）)＝b，eq\o（AN，\s\up6（→）)＝3eq\o(NC，\s\up6（→）)，M为BC的中点，则eq\o（MN，\s\up6(→）)＝______.(用a,b表示）三、解答题11．两个非零向量a、b不共线．（1）若Aeq\o（B,\s\up6(→)）＝a＋b，Beq\o(C，\s\up6（→))＝2a＋8b，Ceq\o(D，\s\up6（→))＝3（a－b)，求证:A、B、D三点共线；（2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线12.如图所示，在▱ABCD中,eq\o(AB，\s\up6（→))＝a，eq\o(AD，\s\up6(→)）＝b，eq\o(AN，\s\up6（→）)＝3eq\o(NC,\s\up6（→）)，M为BC的中点,则eq\o(MN,\s\up6（→)）＝______.(用a，b表示）能力提升13．已知O是平面内一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6（→））＝eq\o(OA，\s\up6（→）)＋λeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o（AB，\s\up6（→）），|\o（AB，\s\up6（→）)｜）＋\f(\o(AC，\s\up6（→）),|\o(AC,\s\up6（→)）｜))）（λ∈[0，＋∞）），则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若eq\o（AC,\s\up6(→)）＝a,eq\o(BD,\s\up6（→)）＝b，则eq\o（AF，\s\up6(→）)等于（)A.eq\f(1，4）a＋eq\f（1，2）bB.eq\f(2，3)a＋eq\f（1，3）bC.eq\f（1，2)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3）b1．实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的｜λ｜倍．向量eq\f(a,|a｜）表示与向量a同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．2．2.3向量数乘运算及其几何意义知识梳理1．向量数乘λa（1)|λ||a｜（2）λ〉0λ〈0002．(1）(λμ)a(2）λa＋μa（3)λa＋λb－（λa)λ（－a）λa－λb3．b＝λa4．加减数乘λμ1a±λμ2作业设计1．D［当k＝eq\f（1,2)时，m＝－e1＋eq\f(1,2）e2，n＝－2e1＋e2.∴n＝2m，此时，m，n共线2．C[∵eq\o（BD,\s\up6（→))＝eq\o（BC，\s\up6(→））＋eq\o(CD,\s\up6(→））＝2a＋4b＝2eq\o（AB，\s\up6(→）)，∴A、B、D三点共线．]3．D[eq\o（PA,\s\up6（→）)＋eq\o（PB，\s\up6(→)）＋eq\o(PC,\s\up6(→）)＝eq\o(PB,\s\up6（→))－eq\o（PA,\s\up6(→)），∴eq\o(PC,\s\up6(→））＝－2eq\o（PA，\s\up6(→))，∴P在AC边上．］4．B[∵eq\o(MA,\s\up6（→）)＋eq\o(MB，\s\up6(→）)＋eq\o（MC,\s\up6（→）)＝0，∴点M是△ABC的重心．∴eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o（AC,\s\up6（→)）＝3eq\o（AM,\s\up6（→))，∴m＝3.]5．C[∵eq\o(CD，\s\up6(→)）＝eq\o（CB，\s\up6(→）)＋eq\o（BD,\s\up6(→）)＝4eq\o（BD，\s\up6（→)),∴eq\o（CB，\s\up6（→）)＝3eq\o(BD,\s\up6(→)）.∴eq\o（CD,\s\up6（→))＝eq\o（AD，\s\up6(→)）－eq\o(AC，\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o（AC，\s\up6(→））＝eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\f(1，3）eq\o(CB，\s\up6（→））－eq\o（AC，\s\up6（→）)＝eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\f（1，3)(eq\o(AB，\s\up6(→)）－eq\o（AC，\s\up6（→)))－eq\o(AC，\s\up6（→）)＝eq\f(4，3）eq\o（AB，\s\up6（→））－eq\f(4,3)eq\o（AC，\s\up6（→))∴r＝eq\f(4,3)，s＝－eq\f（4，3)，r－s＝eq\f(8,3）。］6．C[∵eq\o(BC,\s\up6(→）)2＝16，∴|eq\o(BC，\s\up6(→)）｜＝4。又|eq\o(AB,\s\up6（→））－eq\o(AC，\s\up6(→）)|＝｜eq\o（CB,\s\up6（→)）｜＝4，∴｜eq\o(AB,\s\up6(→））＋eq\o（AC,\s\up6(→）)｜＝4。∵M为BC中点，∴eq\o(AM,\s\up6(→)）＝eq\f（1，2)（eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\o(AC，\s\up6(→））），∴|eq\o(AM，\s\up6(→））|＝eq\f(1，2)｜eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o（AC,\s\up6（→）)|＝2。］7.eq\f（4,21)a－eq\f（1,7）b＋eq\f（1，7）c8．1解析∵A，B，C三点共线,∴∃λ∈R使eq\o(AC,\s\up6（→）)＝λeq\o（AB,\s\up6（→）).∴eq\o(OC，\s\up6(→））－eq\o（OA,\s\up6（→））＝λ（eq\o(OB,\s\up6（→))－eq\o（OA，\s\up6（→)))．∴eq\o(OC，\s\up6（→）)＝（1－λ）eq\o（OA,\s\up6（→))＋λeq\o（OB,\s\up6(→）)。∴x＝1－λ，y＝λ,∴x＋y＝1.9．①解析－eq\o（BC,\s\up6(→）)＋eq\f(1，2）eq\o（BA,\s\up6(→)）＝eq\o(CB,\s\up6(→）)＋eq\f(1，2）eq\o(BA，\s\up6（→））＝eq\o(CB,\s\up6（→))＋eq\o（BD，\s\up6(→）)＝eq\o(CD，\s\up6(→)）.10。eq\f(1,4)（b－a)解析eq\o(MN，\s\up6（→)）＝eq\o（MB,\s\up6（→））＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN，\s\up6（→))＝－eq\f（1,2）b－a＋eq\f(3,4)eq\o（AC，\s\up6(→)）＝－eq\f(1,2）b－a＋eq\f(3，4)（a＋b)＝eq\f（1,4）（b－a)．11．（1）证明∵Aeq\o（D,\s\up6(→））＝Aeq\o（B，\s\up6（→）)＋Beq\o（C,\s\up6(→）)＋Ceq\o（D，\s\up6(→）)＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6Aeq\o(B,\s\up6（→）),∴A、B、D三点共线．(2)解∵ka＋b与2a＋kb共线,∴ka＋b＝λ（2a＋k∴（k－2λ）a＋(1－λk)b＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（k－2λ＝0,,1－λk＝0）)⇒k＝±eq\r（2)。12．证明设eq\o（BA,\s\up6（→））＝a，eq\o(BC,\s\up6（→))＝b,则由向量加法的三角形法则可知：eq\o(CM，\s\up6(→）)＝eq\o(BM，\s\up6（→））－eq\o(BC,\s\up6(→））＝eq\f（1，2）eq\o(BA，\s\up6(→））－eq\o(BC,\s\up6（→）)＝eq\f（1,2)a－b.又∵N在BD上且BD＝3BN,∴eq\o（BN，\s\up6（→））＝eq\f（1,3）eq\o（BD，\s\up6(→))＝eq\f(1，3）（eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o（CD,\s\up6(→）））＝eq\f(1,3）（a＋b)，∴eq\o(CN，\s\up6（→)）＝eq\o(BN,\s\up6（→）)－eq\o(BC，\s\up6（→))＝eq\f(1，3)（a＋b）－b＝eq\f（1，3）a－eq\f(2,3)b＝eq\f(2，3）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）a－b）)，∴eq\o（CN,\s\up6（→)）＝eq\f(2,3)eq\o(CM，\s\up6（→)），又∵eq\o(CN,\s\up6（→）)与eq\o（CM,\s\up6（→）)共点为C，∴C、M、N三点共线．13．B[eq\f（\o（AB,\s\up6(→))，｜\o(AB，\s\up6(→）)｜）为eq\o（AB，\s\up6(→）)上的单位向量，eq\f(\o(AC,\s\up6(→）），|\o(AC，\s\up6（→)）|）为eq\o（AC，\s\up6（→)）上的单位向量，则eq\f（\o(AB，\s\up6（→）),|\o（AB,\s\up6（→））｜）＋eq\f（\o(AC,\s\up6（→）），|\o(AC,\s\up6（→））｜）的方向为∠BAC的角平分线eq\o(AD,\s\up6(→))的方向．又λ∈[0，＋∞），∴λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\o(AB，\s\up6（→）），｜\o（AB，\s\up6(→))|）＋\f(\o(AC,\s\up6(→））,|\o(AC,\s\up6（→)）|））)的方向与eq\f(\o（AB，\s\up6（→)）,｜\o(AB,\s\up6（→））｜）＋eq\f(\o(A