概率论与数理统计 第八章 假设检验

概率论与数理统计主讲教师陈争第7章假设检验§7.1假设检验的基本概念§7.2单个正态总体的假设检验§7.3两个正态总体的假设检验第7章假设检验§7.1假设检验的基本概念、假设检验问题

假设检验是统计推断的基本问题之一.它根据历史

资料和实际经验，首先对总体的某种统计特征作出推断

或假设，然后利用样本值所提出的信息，运用统计分析

方法来检验假设是否正确，最后作出接受或拒绝原假设

的决定.假设检验是对总体的概率分布及参数而言的.如果

是检验总体是否具有某种已知类型的分布，则称这种检

验为分布的假设检验.如果是检验总体某参数是否具有某种特征，则称这种检验为参数的假设检验.§7.1假设检验的基本概念例1

抛掷一枚硬币100次，“正面”出现了60次，问这枚硬币是否均匀？这是一个总体的检验问题.若用X

描述抛掷一枚“X=1”及“X=0”分别表示“正面朝上”和“正面朝下”，上述问题就是要检验X是否服从的0－1分布.是概率分布的检验问题.

硬币的试验，

例2

从2005年的新生儿(女)中随机地抽取20个，

测得其平均体重为3160克，样本标准差为300克.而根据过去统计资料，新生儿(女)平均体重为3140克.问现在与过去新生儿(女)体重有无显著差异(假定新生儿体重服从正态分布）？

这是一个总体的检验问题，是关于随机变量的参数的判断，叫做一个总体的参数检验问题.若把所有2005年新生儿(女)体重视为一个总体，用X表示，问题就是判断E(X)=3140是否成立.

例3

在10个相同的地块上对甲、乙两种玉米进行品比试验，得如下资料(单位：公斤)：

甲951，966，1008，1082，983乙730，864，742，774，990假定农作物产量服从正态分布，问这两种玉米产量有无显著差异？这是两个总体的参数检验问题.从直观上看，两者差异显著.但是一方面由于抽样的随机性，我们不能以个别值进行比较就得出结论；另一方面直观的标准可能因人而异.因此，这实际上需要比较两个正态总体的期望值是否相等？关于总体的假设通常是提出两个相互对立的假设，把需要检验是否为真的假设称为原假设或零假

这里所说的“假设”只是一个设想，至于它是否成立，在建立假设时并不知道，需要进行考察.通过样本对一个假设作出“是”或“否”的判断程序，称为检验这个假设.

具体的判断规则称为该假设的一个检验.检验的结果若是肯定该命题，则称接受这个假设，否则称否定或拒绝这个假设.

表示.表示，而把与之对立的另一个假设称为备设，用选假设，用二、假设检验的基本思想与方法

1.小概率原理小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的.小概率事件是指概率很小的事件.

倘若某事件A发生的概率α=0.001，则可认为大体在1000次试验中A才出现一次.因此，概率很小的事件在一次试验中实际上不大可能出现，这个原理称为小概率原理.

例如“飞机失事”、“优秀生高考落榜”、“从废品率极低的产品中抽到一件废品”都被视为小概率事件.小概率原理是人们在长期实践中总结出来的.2.小概率原理是假设检验的理论依据定这个“假设”是真的，然后根据样本提供的信息为了检验一个“假设”如果抽得的样本使小概率事件发生了，我不真，从而拒绝原假设；如果抽得样本没有从而接受来判断.们认为这是一种不合理的现象，有理由怀疑原假设导致小概率事件发生，则没有足够理由否定原假设，是否为真，我们先假3.显著性水平

至于什么算“概率很小”，这要根据具体情况而定.在检验之前都事先指定.

比如概率为5％，1％等.

一般记作α，即α是一个事先指定的正数，称为显著性水平或检验水平.三、假设检验的形式对总体的分布或分布函数的某些参数作出“假设”称为待检假设(也称为零假设)，通常记作例如

(对总体均值

)对立面称为备择假设，用单侧检验.第一个式子称为双侧检验，二、三两个式子称为的表示.

在显著水平下，根据统计量的分布将样本空间划分成互不相交的两个区域：其中一个是接受零假设的

样本值全体组成的，称为接受域；反之称为拒绝域

(也称临界域).

双侧检验的拒绝域位于概率分布图形的两端，单侧检验的拒绝域位于概率分布图形的一端.四、假设检验的两类错误

由于人们作出判断的依据是一个样本，也就是由

部分来推断整体，因而假设检验不可能绝对准确，它也可能犯错误.其可能性的大小，也是以统计规律性为依据的，所可能犯的错误有两类.

第一类错误是：原假设符合实际情况，而检验结果把它否定了，这称为弃真错误.第二类错误是：原假设不符合实际情况，而检验结果把它肯定下来了，这称为取伪错误.五、假设检验的一般步骤根据实际问题提出原假设构造适当的统计量，并在假设确定该统计量的分布或渐进分布.给定检验水平拒绝域(和接受域).由样本的观测值计算出统计量的数值.1234为真的条件下查表确定临界值，从而确定和备择假设作出判断：若统计量的观测值落入拒绝域，则若统计量的值落入接受域，则接受假设5拒绝假设

提出假设

根据统计调查的目的,提出原假设H0

和备选假设H1作出决策抽取样本检验假设

对差异进行定量的分析，确定其性质(是随机误差还是系统误差.为给出两者界限，找一检验统计量T，在H0成立下其分布已知.）拒绝还是不能拒绝H0显著性水平P(TW)=-----犯第一类错误的概率，W为拒绝域小结设总体为的假设检验，本节介绍下列几种：已知方差未知方差

未知均值μ，已知均值μ，其中关于总体参数检验假设检验假设检验假设检验假设都是已知数.中的§7.2单个正态总体参数的假设检验§7.2单个正态总体的假设检验1.总体方差例1

根据长期经验和资料的分析，某砖瓦厂生产砖的“抗断强度”X服从正态分布，方差从该厂产品中随机抽取6块，测得抗断强度如下:32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03检验这批砖的平均抗断强度为32.50是否成立？一、单个总体均值的假设检验(1)双侧检验原假设备择假设已知时，总体均值μ的假设检验一、正态总体均值的假设检验建立假设基本思想：如果来自正态总体解正确，即样本即与存在着差异，若比较大的可能性小，而比较小的可能性大.

成立，则这个差异因此，可以根据的大小来判断是否成立，这就需要分析说大于一个什么值，这是一个小概率事件.的分布来求，如果这个值找到了，比如为那么根据观测值计算大到什么程度，或者成立时，若即小概率事件发生了，则可以认为，就不能否定

不成立；若即原假设成立.

这要根据而成立时，关键在于找出成立时，总体服从

得其统计量给定检验水平

，为了求值方便，将其标准化，的分布，当所以服从构造一个小概率事件，使得其中然后计算U

的观察值，若可由标准正态分满足则小概率事件发生，拒绝若小概率事件没有发生，接受布表查到.(2)当(3)

(4)计算统计量观察值：认为这批产品的平均抗断强度是32.50

综合以上分析，有以下解题步骤：成立时，拒绝域为∴拒绝即不能(1)建立假设即U—检验法的检验步骤为：

提出原假设当

给定的检验水平

，根据样本观察值计算统计量U

的值观察值；若若1243成立时，查表确定临界值使则否定则接受备选假设5从而得拒绝域：(2)右侧检验原假设备选假设已知对于给定的α，查表确定使得：中含有未知参数μ，所以它不是统计量，在原假设成立时，有从而即当时，小概率事件发生，拒绝时，接受原假设当例2

已知某正态总体的方差为50，抽取容量n=25的样本，样本均值为56.7，问总体均值小于55是否成立？解已知n=25，(1)建立假设

(2)构造检验函数(3)

拒绝域为(4)计算所以，接受(3)左侧检验原假设备择假设类似于右侧检验，当统计量时，拒绝原假设时，接受原假设当统计量练习1

设在正常情况下，某包装机包装出来的奶粉净重.现从包装好的奶粉中随机随机抽取9袋，测得其净重(单位：g)为：504496512490520505508499511问每包奶粉净重是否为500g？(2)当(3)(4)计算解∴接受拒绝域为成立时，(1)假设总体方差未知，可用样本方差代替，这时统计量利用T统计量进行检验的方法称为T检验法.2.总体方差未知时，总体均值μ的假设检验一般步骤为：

提出原假设当

给定α，查表确定临界值根据样本观察值计算统计量T的值，若若1243成立时，使则否定则接受备择假设(1)双侧检验5未知，所以用

分析：

例3从2005年的新生儿(女)中随机抽取20个,测得其平均体重为3160克，样本标准差为300克.而根据过去统计资料，新生儿(女)平均体重为3140克.问现在与过去新生儿(女)体重有无显著差异(假定新生儿体重服从正态分布)?(α=0.05)已知解选统计量

代替由于给定检验水平α,

成立时，即具有19个自由度的t

分布.然后计算T

的观察值，接受拒绝时，统计量服从在构造一个小概率事件，使若若(2)当(3)

(4)计算即可认为现在与过去的新生儿(女)体重没有显著差异.解题步骤为：成立时，∴接受(1)假设拒绝域为

(2)右侧检验原假设备择假设已知对于给定的μ，查表确定使中含有未知参数μ，所以它不是统计量.在原假设成立时，有从而即当时，小概率事件发生，拒绝时，接受原假设当(3)左侧检验原假设备择假设类似于右侧检验，当统计量时，拒绝原假设时，接受原假设当统计量(2)构造统计量例4某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查了20个集市，计算得如下数据：解(3)

已知鸡蛋的售价服从正态分布，且往年的售价一直稳定在3.25元/500克左右，能否认为当前鸡蛋的售价明显高于往年？拒绝域为，(1)假设(4)由样本计算(5)因为即鸡蛋的价格较往年明显上涨.

故拒绝

练习2

根据长期资料分析，钢筋强度服从正态分布，今测得六炉钢生产出钢的强度分别为

48.549.053.549.556.052.5能否认为其强度的均值为52.0？(2)当

解成立时，即认为钢筋强度的均值为52.0.

∴接受(1)假设拒绝域为(4)计算课外作业：总习题七2,31.总体均值μ已知时，总体方差的假设检验二、单个正态总体方差的检验假设(1)双侧检验一般步骤为：

提出原假设当

给定检验水平α，查表确定临界值123成立时，和备择假设使二、单个正态总体方差的假设检验利用样本观察值计算若若4的值,则接受则拒绝或5(2)右侧检验提出原假设备择假设

给定检验水平α，查表确定临界值使计算统计量的值，时，拒绝时，接受当当(3)左侧检验提出原假设备择假设

给定检验水平α，查表确定临界值使计算统计量的值，时，拒绝时，接受当当2.总体均值μ未知时，总体方差的假设检验(1)双侧检验一般步骤为：

提出原假设当

给定检验水平α，查表确定临界值123成立时，和备择假设使或利用样本观察值计算若若4的值,则接受则拒绝或5例4

某炼铁厂的铁水含碳量X在正常情况下服从正态分布，现对操作工艺进行了某些改进，从中抽取

5炉铁水测得含碳量数据如下：

4.4214.0524.3574.2874.683据此是否认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为

已知解成立时，计算得(1)假设工艺的方差是∴否定即不能认为新查表得：(4)计算拒绝域为练习3

某项试验中测量其温度，通常情况下，温度方差保持在.现在某天里抽测了25次，计算得.问该天的试验温度方差与要求比有无显著差异？(该温度值服从正态分布，)成立时，∴接受解(1)假设(4)计算(2)右侧检验原假设备择假设已知对于给定的α，查表确定临界值使中含有未知参数所以它不是统计量，在原假设成立时，有从而即当时，小概率事件发生，拒绝时，接受原假设当(3)左侧检验提出原假设备择假设

给定检验水平α，查表确定临界值使计算统计量的值，时，拒绝时，接受当当例5

打包机包装水泥，现规定每袋水泥标准重量重量为100公斤，标准差不超过2公斤，为了检查打包机工作是否正常，抽取了9袋水泥，其假定水泥的重量服从正态分布，问该天打包机工作是否

正常？

(2)成立时∴接受解(1)假设(4)计算拒绝域为(2)构造检验函数∴接受综上，该天打包机工作正常.检验方差即认为方差不超过成立时，有(1)假设(4)计算练习4

某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。今在生产的一批导线中取样品8根，测得s＝0.007(欧姆)，设总体为正态分布，问在α=0.05下能否认为这批导线的标准差显著地偏大？(2)构造检验函数∴接受解(4)计算(1)假设练习5

设某次考试的学生成绩服从正态分布，从

中随机抽取30位考生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15分.问：(1)是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？(2)是否可认为这次考试考生的成绩的方差为？解设该次考试考生的成绩为ξ，则ξ服从正态分布，且均为未知参数。1.检验均值(1)假设成立时，∴接受查表得(4)计算拒绝域为2.检验方差∴接受成立时，(1)假设(4)计算拒绝域为§7.3两个正态总体参数的假设检验设

的样本，且两组样本相互独立.正态总体

§7.3两个正态总体参数的假设检验分别是来自和正态总体一、两个正态总体均值的假设检验已知时均值的检验(1)双侧检验一般步骤为：

提出原假设1备择假设当

给定检验水平α，查表确定临界值23成立时，统计量满足根据样本观察值计算统计量U

的值，若若4则否定则接受5例1

从甲、乙两厂生产的钢丝总体X、Y中各取50截1米长的钢丝作拉力强度试验，得设钢丝的拉抗强度服从正态分布，且问甲、乙两厂钢丝的拉抗强度是否有显著差别？解假设1当2成立时，统计量认为两厂钢丝3查N(0,1)分布表，得计算4所以拒绝强度有显著差别.5(2)右侧检验原假设备择假设当统计量时，拒绝原假设时，接受原假设当统计量给定检验水平α，查表确定临界值满足(3)左侧检验原假设备择假设当统计量时，拒绝原假设时，接受原假设当统计量给定检验水平α，查表确定临界值满足成立时

2未知，但知道(1)双侧检验一般步骤为：

提出原假设1备择假设时均值的检验

给定α，查表确定临界值若

计算统计量T

的值，34满足则拒绝则接受若5例2

一种钢轴产品的长度服从正态分布，从两台同类型机床生产出来的两批产品中，分别取出容量的样本，测其长度得到样本均值及样本方差：若其长度方差，问在检验水平时可否认为两种产品的长度相等。成立时，解(1)假设∴拒绝即认为两种产品的长度有显著差异.(4)计算(2)右侧检验原假设备择假设拒绝原假设接受原假设给定α，查t分布表得临界值满足当当时，时，(3)左侧检验原假设备择假设类似于右侧检验，时，拒绝原假设时，接受原假设当当二、两个正态总体方差的假设检验已知时，正态总体方差的假设检验(1)双侧检验一般步骤为：

提出原假设当12成立时，备择假设二、两个正态总体方差的假设检验其中，3满足给定α，查表确定临界值计算统计量F的值，4时，接受当当和时，拒绝5(2)右侧检验提出原假设备择假设满足给定α，查表确定临界值计算统计量F

的值，

时，拒绝当时，接受当(3)左侧检验提出原假设备择假设满足给定α，查表确定临界值计算统计量F

的值，

时，拒绝当时，接受当未知时，正态总体方差的假设检验(1)双侧检验一般步骤为：

提出原假设当12成立时，统计量备择假设给定α，查表确定临界值3满足其中，计算统计量F的值，4时，接受当当和时，拒绝5例3

比较甲、乙两种枪弹的速度的稳定性，在相同条件下进行速度测定，算得样本均方差如下：

甲：

乙：

假定枪弹速度服从正态分布，问两种枪弹速度的方差

有无显著差异.

设甲、乙两种枪弹的速度分别为

且它们相互独立，假定检验两者方差是否相等.解(1)

假设成立时，∴接受(4)计算查表得：(2)右侧检验提出原假设备择假设满足给定α，查表确定临界值计算统计量F

的值，

时，拒绝当时，接受当(3)左侧检验提出原假设备择假设满足给定α，查表确定临界值计算统计量F

的值，

时，拒绝当时，接受当例4

在10个相同的地块上对甲、乙两种玉米进行品种比较试验，得如下资料(单位：公斤)：甲：95196610081082983乙：730864742774990

假定农作物产量服从正态分布，问这两种玉米产量有无显著差异？

分析：记独立的，并且假设

即未知

关于两个正态总体的期望值相等的假设检验，需

要用到两个总体方差相等的条件.所以，需先检验两总体的方差是否相等.分别表示甲、乙玉米产量，它们是假设检验(1)假设成立时，∴接受解(4)计算查表得:成立时，∴拒绝即认为两种玉米的产量有显著差异.解(1)假设(4)计算成立时，练习2

甲、乙两厂生产同一零件，假定其日产量都服从正态分布，现分别在甲、乙两厂作了