2017-2018版高中数学第二章平面向量2.2向量的减法学案4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE2。2向量的减法学习目标1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义。3.能熟练地进行向量的加、减运算．知识点一相反向量思考实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫作什么?梳理与a________________的向量，叫作a的相反向量，记作________．（1)规定：零向量的相反向量仍是________．(2)－(－a）＝a。（3）a＋(－a)＝________＝________。（4)若a与b互为相反向量，则a＝________，b＝________,a＋b＝____.知识点二向量的减法思考1根据向量的加法，如何求作a－b？思考2向量减法的三角形法则是什么？梳理(1）定义：向量a加上____________,叫作a与b的差，即a－b＝__________。求两个向量____的运算，叫作向量的减法．（2）几何意义：在平面内任取一点O,作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o（OB，\s\up6（→）)＝b，则向量a－b＝________，如图所示．(3）文字叙述：如果把向量a与b的起点放在O点,那么由向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量eq\o（BA,\s\up6(→))就是a—b。知识点三｜a|－｜b｜，｜a±b｜,｜a|＋｜b｜三者的关系思考在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，｜a｜－｜b|,｜a±b|，|a｜＋|b｜三者关系是怎样的？梳理当向量a,b不共线时，作eq\o（OA,\s\up6(→））＝a，eq\o（AB,\s\up6（→)）＝b,则a＋b＝eq\o(OB,\s\up6(→）),如图(1)，根据三角形的三边关系，则有||a|－|b||〈｜a＋b｜<|a|＋|b|。当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图（2）,此时|a＋b｜＝|a｜＋|b|。当a与b共线且反向或a,b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b｜,作法同上，如图(3),此时｜a＋b｜＝｜|a|－｜b｜|。故对于任意向量a，b，总有|｜a｜－|b|｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜.①因为｜a－b|＝|a＋(－b）|,所以|｜a｜－｜－b||≤｜a－b|≤|a｜＋｜－b｜,即|｜a｜－｜b||≤｜a－b|≤｜a｜＋｜b|。②将①②两式结合起来即为｜｜a|－|b｜｜≤|a±b|≤|a｜＋|b｜。类型一向量减法的几何作图例1如图,已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.引申探究若本例条件不变，则a－b－c如何作？反思与感悟在求作两个向量的差向量时,当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点,并指向被减向量，就得到两个向量的差向量;若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．跟踪训练1如图所示,已知向量a，b,c，d,求作向量a－b，c－d。类型二向量减法法则的应用例2化简下列式子：（1）eq\o(NQ，\s\up6(→））－eq\o（PQ,\s\up6(→））－eq\o(NM，\s\up6(→）)－eq\o(MP，\s\up6（→））；（2)（eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\o(CD，\s\up6(→）)）－（eq\o(AC，\s\up6（→)）－eq\o(BD，\s\up6（→)））．反思与感悟向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点．跟踪训练2化简:（1）(eq\o（BA，\s\up6（→））－eq\o(BC，\s\up6（→)))－(eq\o(ED，\s\up6（→)）－eq\o(EC,\s\up6（→）));(2）（eq\o(AC,\s\up6（→））＋eq\o(BO,\s\up6(→)）＋eq\o（OA，\s\up6（→）)）－(eq\o（DC，\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6（→))－eq\o(OB,\s\up6(→）））．类型三向量减法几何意义的应用例3已知|eq\o（AB，\s\up6（→))｜＝6,｜eq\o（AD，\s\up6（→））|＝9,求|eq\o（AB,\s\up6（→））－eq\o(AD，\s\up6(→））｜的取值范围．反思与感悟(1)如图所示,在平行四边形ABCD中，若eq\o（AB，\s\up6(→)）＝a，eq\o（AD,\s\up6（→)）＝b，则eq\o（AC,\s\up6（→))＝a＋b,eq\o(DB,\s\up6(→）)＝a－b.（2）在公式｜｜a|－｜b|｜≤|a＋b｜≤|a｜＋|b|中，当a与b方向相反且|a｜≥|b|时，｜a|－|b|＝｜a＋b｜;当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a｜＋｜b|。(3）在公式||a｜－｜b｜｜≤|a－b｜≤|a｜＋｜b｜中，当a与b方向相同且｜a｜≥｜b｜时，｜a｜－｜b｜＝｜a－b｜；当a与b方向相反时，|a－b|＝｜a|＋|b｜。跟踪训练3在四边形ABCD中，设eq\o（AB,\s\up6（→）)＝a,eq\o(AD,\s\up6（→)）＝b，且eq\o(AC，\s\up6（→))＝a＋b，若|a＋b|＝｜a－b｜，则四边形ABCD的形状是（)A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形1。如图所示，在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up6（→)）＝a，eq\o(AD,\s\up6（→))＝b，则用a，b表示向量eq\o(AC，\s\up6（→)）和eq\o（BD,\s\up6(→）)分别是（)A．a＋b和a－bB．a＋b和b－aC．a－b和b－aD．b－a和b＋a2．化简eq\o(OP,\s\up6（→))－eq\o(QP,\s\up6(→）)＋eq\o(PS,\s\up6（→)）＋eq\o（SP,\s\up6（→））的结果等于（）A.eq\o(QP，\s\up6(→）) B。eq\o(OQ，\s\up6(→)）C。eq\o（SP，\s\up6(→）） D。eq\o（SQ，\s\up6(→))3．若菱形ABCD的边长为2，则｜eq\o（AB，\s\up6(→））－eq\o（CB,\s\up6(→））＋eq\o(CD,\s\up6（→))|＝________.4．若向量a与b满足|a｜＝5,|b｜＝12，则｜a＋b|的最小值为________，|a－b｜的最大值为________．5.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq\o(AB,\s\up6(→)）＝a,eq\o(AC，\s\up6(→））＝b,eq\o（AE,\s\up6（→）)＝c，试用a,b，c表示向量eq\o（BD，\s\up6（→))，eq\o（BC,\s\up6(→)），eq\o（BE，\s\up6（→）)，eq\o（CD，\s\up6（→)）及eq\o(CE，\s\up6(→))。1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－eq\o(AB,\s\up6(→））＝eq\o（BA，\s\up6(→))就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b）．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断,防止混淆．3．平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别为eq\o(AB,\s\up6（→))＝a,eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则两条对角线表示的向量为eq\o（AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o（BD，\s\up6（→))＝b－a,eq\o(DB，\s\up6（→）)＝a－b,这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．

答案精析问题导学知识点一思考相反向量．梳理长度相等、方向相反－a（1）零向量（3）（－a)＋a0（4）－b－a0知识点二思考1先作出－b，再按三角形法则或平行四边形法则作出a＋（－b）．思考2（1）两个向量a，b的始点移到同一点;（2)连接两个向量(a与b）的终点；（3）差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a－b的方法叫作向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．梳理（1）b的相反向量a＋（－b）差（2)eq\o(BA,\s\up6(→)）知识点三思考它们之间的关系为|｜a|－｜b｜|≤｜a±b｜≤|a｜＋｜b｜。题型探究例1解方法一如图①，在平面内任取一点O，作eq\o（OA，\s\up6（→）)＝a，eq\o(AB，\s\up6(→))＝b，则eq\o（OB，\s\up6（→））＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up6（→))＝c,则eq\o(CB，\s\up6（→))＝a＋b－c.方法二如图②，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6（→）)＝a,eq\o（AB，\s\up6（→））＝b，则eq\o(OB,\s\up6（→))＝a＋b，再作eq\o（CB，\s\up6（→）)＝c,连接OC，则eq\o（OC,\s\up6（→))＝a＋b－c.引申探究解如图，在平面内任取一点O，作eq\o（OA，\s\up6（→）)＝a，eq\o（OB，\s\up6(→))＝b，则eq\o（BA,\s\up6（→））＝a－b.再作eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，则eq\o（BC，\s\up6（→））＝a－b－c.跟踪训练1解如图所示，在平面内任取一点O，作eq\o（OA，\s\up6（→)）＝a，eq\o（OB，\s\up6(→))＝b，eq\o（OC,\s\up6(→）)＝c，eq\o（OD，\s\up6（→))＝d。则a－b＝eq\o（BA，\s\up6(→)），c－d＝eq\o（DC，\s\up6(→））。例2解(1)原式＝eq\o(NP,\s\up6(→））＋eq\o(MN,\s\up6（→）)－eq\o(MP,\s\up6(→）)＝eq\o(NP,\s\up6（→））＋eq\o(PN,\s\up6（→)）＝eq\o(NP,\s\up6（→））－eq\o(NP,\s\up6(→）)＝0。（2）原式＝eq\o(AB，\s\up6（→））－eq\o(CD，\s\up6(→）)－eq\o(AC,\s\up6(→））＋eq\o(BD，\s\up6(→)）＝（eq\o（AB，\s\up6（→)）－eq\o(AC，\s\up6(→)）)＋(eq\o（DC,\s\up6(→)）－eq\o(DB，\s\up6（→)))＝eq\o(CB，\s\up6（→））＋eq\o（BC，\s\up6（→)）＝0.跟踪训练2解（1)（eq\o(BA,\s\up6（→））－eq\o（BC,\s\up6（→））)－（eq\o(ED，\s\up6（→))－eq\o（EC,\s\up6（→）））＝eq\o（CA，\s\up6(→)）－eq\o（CD,\s\up6(→））＝eq\o（DA,\s\up6(→））.（2)（eq\o（AC,\s\up6（→)）＋eq\o（BO，\s\up6(→))＋eq\o（OA，\s\up6（→)))－(eq\o(DC，\s\up6（→))－eq\o(DO,\s\up6（→））－eq\o（OB，\s\up6(→）)）＝eq\o（AC,\s\up6(→））＋eq\o（BA,\s\up6（→))－eq\o(DC,\s\up6（→))＋(eq\o（DO,\s\up6（→)）＋eq\o（OB,\s\up6(→）)）＝eq\o（AC，\s\up6（→)）＋eq\o（BA，\s\up6（→))－eq\o(DC，\s\up6(→）)＋eq\o（DB,\s\up6（→)）＝eq\o(BC，\s\up6(→）)－eq\o（DC,\s\up6(→））＋eq\o（DB，\s\up6（→))＝eq\o（BC,\s\up6（→）)＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o（DB,\s\up6(→)）＝eq\o（BC，\s\up6(→))＋eq\o(CB，\s\up6（→)）＝0.例3解∵|｜eq\o（AB，\s\up6（→)）|－｜eq\o（AD，\s\up6（→)）｜|≤|eq\o(AB，\s\up6(→)）－eq\o(AD,\s\up6（→))|≤|eq\o(AB,\s\up6（→))｜＋|eq\o(AD,\s\up6(→))｜，且|eq\o（AD,\s\up6(→）)｜＝9，｜eq\o（AB,\s\up6(→））|＝6，∴3≤｜eq\o（AB,\s\up6(→）)－eq\o(AD,\s\up6（→))|≤15。当eq\o（AD,\s\up6(→））与eq\o（AB，\s\up6(→））同向时，｜eq\o(AB