2017-2018版高中数学第二章函数3函数的单调性（二）学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18学必求其心得，业必贵于专精PAGE3函数的单调性（二）学习目标1。理解函数的最大（小)值的概念及其几何意义。2.会借助单调性求最值.3。掌握求二次函数在闭区间上的最值．知识点一函数的最大(小）值思考在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？梳理对于函数y＝f（x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x）＝M，使得对于任意的x∈D,都有f(x）≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f（x0）是函数y＝f（x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．知识点二函数的最大(小）值的几何意义思考函数y＝x2,x∈［－1,1］的图像如图所示：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．梳理一般地,函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．类型一借助单调性求最值例1已知函数f(x）＝eq\f(x,x2＋1)(x〉0)，求函数的最大值和最小值．反思与感悟(1）若函数y＝f(x)在区间［a，b]上递增，则f（x)的最大值为f（b)，最小值为f(a)．（2)若函数y＝f(x)在区间［a，b］上递减，则f(x)的最大值为f（a），最小值为f（b）．(3)若函数y＝f(x）有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大（小)．函数的最大(小）值是整个值域范围内最大（小）的．（4）如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．跟踪训练1已知函数f（x）＝eq\f(2,x－1）（x∈[2,6］)，求函数的最大值和最小值．类型二求二次函数的最值例2(1）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈［0,2]，求函数f（x）的最值；(2）已知函数f（x)＝x2－2x－3，若x∈［t，t＋2］，求函数f(x)的最值；(3）已知函数f(x)＝x－2eq\r(x）－3，求函数f（x)的最值；(4）“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)＝－4。9t2＋14。7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1m)反思与感悟（1）二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关,求解时要注意这两个因素．（2)图像直观,便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题．跟踪训练2（1)已知函数f(x）＝x4－2x2－3,求函数f（x）的最值;(2）求二次函数f（x）＝x2－2ax＋2在[2，4]上的最小值;（3）如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h（单位：m)与水平距离x（单位：m)之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋eq\f(5，4）,x∈[0，eq\f（5,2)]．求水流喷出的高度h的最大值是多少？类型三函数最值的应用例3已知x2－x＋a〉0对任意x∈(0，＋∞）恒成立，求实数a的取值范围．引申探究把例3中“x∈（0,＋∞)”改为“x∈（eq\f(1，2），＋∞）"，再求a的取值范围．反思与感悟恒成立的不等式问题,任意x∈D，f（x)〉a恒成立，一般转化为最值问题:f（x）min〉a来解决．任意x∈D，f(x)<a恒成立⇔f(x）max<a.跟踪训练3已知ax2＋x≤1对任意x∈（0，1］恒成立，求实数a的取值范围．1．函数y＝－x＋1在区间[eq\f（1,2),2]上的最大值是（)A．－eq\f(1，2)B．－1C。eq\f（1，2）D．32．函数f(x）＝eq\f(1，x）在［1，＋∞）上（)A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值3．函数f（x）＝x2，x∈[－2,1]的最大值,最小值分别为（）A．4，1 B．4，0C．1,0 D．以上都不对4．已知函数f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋6，x∈[1,2］，，x＋7，x∈［－1，1，))则f(x）的最大值，最小值分别为（）A．10,6 B．10,8C．8，6 D．以上都不对5．若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈(0，eq\f（1,2)]成立，则a的最小值为()A．0B．－2C．－eq\f(5，2）D．－eq\f（1,2)1．函数的最值与值域、单调性之间的联系（1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝eq\f(1，x）.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f（x）在闭区间［a,b］上单调，则f(x）的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f（b)，最小值是f(b）或f（a)．2．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f（x）的草图，然后根据图像的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大（小）值不一定在顶点处取得．

答案精析问题导学知识点一思考最大的函数值为4，最小的函数值为2。1没有A中的元素与之对应，不是函数值．知识点二思考x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图像中的最高点,x＝0时，y有最小值0，对应的点为图像中的最低点．题型探究例1解设x1，x2是区间(0，＋∞）上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1）－f(x2)＝eq\f(x1,x\o\al(2,1)＋1)－eq\f(x2,x\o\al(2，2）＋1）＝eq\f（x1x\o\al（2，2)＋1－x2x\o\al(2，1）＋1，x\o\al(2,1)＋1x\o\al(2，2)＋1）＝eq\f(x2－x1x2x1－1,x\o\al（2，1）＋1x\o\al（2，2）＋1)。当x1〈x2≤1时，x2－x1〉0，x1x2－1〈0,f（x1)－f（x2)〈0，f(x1)〈f（x2)，∴f（x）在（0，1］上递增；当1≤x1〈x2时，x2－x1>0，x1x2－1〉0，f（x1）－f（x2)>0,f(x1)〉f（x2)，∴f（x)在[1,＋∞）上递减．∴f（x)max＝f(1)＝eq\f（1,2)，无最小值．跟踪训练1解设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则f（x1)－f（x2）＝eq\f(2，x1－1)－eq\f（2，x2－1)＝eq\f(2[x2－1－x1－1]，x1－1x2－1)＝eq\f（2x2－x1,x1－1x2－1)。由2≤x1〈x2≤6，得x2－x1〉0，(x1－1)(x2－1）>0，于是f（x1）－f(x2）〉0,即f(x1)〉f（x2）．所以函数y＝eq\f（2，x－1)在区间[2，6]上是减函数．因此，函数y＝eq\f（2，x－1）在区间［2,6］的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是eq\f(2，5）。例2解（1）∵函数f（x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f(x）在[0，1]上递减，在［1,2]上递增，且f(0）＝f（2）．∴f（x）max＝f(0）＝f(2)＝－3，f（x)min＝f（1)＝－4.(2)∵对称轴x＝1，①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x）max＝f（t)＝t2－2t－3，f(x）min＝f(t＋2）＝t2＋2t－3.②当eq\f（t＋t＋2，2)≤1〈t＋2，即－1<t≤0时，f（x）max＝f(t)＝t2－2t－3，f（x)min＝f(1）＝－4.③当t≤1〈eq\f(t＋t＋2,2），即0<t≤1时，f(x)max＝f(t＋2）＝t2＋2t－3,f(x）min＝f（1）＝－4.④当1<t，即t>1时，f（x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t）＝t2－2t－3。设函数最大值为g（t），最小值为φ(t），则有g（t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－2t－3t≤0，,t2＋2t－3t>0,))φ（t）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（t2＋2t－3t≤－1，，－4－1〈t≤1，，t2－2t－3t>1。）)（3)设eq\r(x）＝t(t≥0），则x－2eq\r（x）－3＝t2－2t－3.由(1）知y＝t2－2t－3（t≥0)在[0，1]上递减，在[1，＋∞）上递增．∴当t＝1即x＝1时，f（x)min＝－4，无最大值．(4)作出函数h（t）＝－4。9t2＋14.7t＋18的图像(如图）．显然,函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识,对于函数h(t)＝－4.9t2＋14。7t＋18,我们有：当t＝－eq\f（14。7，2×－4.9)＝1。5时，函数有最大值h＝eq\f（4×－4。9×18－14.72，4×－4。9）≈29.于是,烟花冲出后1。5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m。跟踪训练2解（1）设x2＝t（t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.y＝t2－2t－3(t≥0）在［0,1］上递减,在［1，＋∞）上递增．∴当t＝1即x＝±1时，f（x）min＝－4，无最大值．(2)∵函数图像的对称轴是x＝a,∴当a〈2时，f（x)在[2，4]上是增函数，∴f(x)min＝f（2)＝6－4a.当a〉4时，f(x)在［2，4]上是减函数，∴f（x）min＝f（4)＝18－8a.当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a）＝2－a2。∴f（x）min＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(6－4a，a〈2，,2－a2，2≤a≤4，,18－8a，a〉4.））(3)由函数h＝－x2＋2x＋eq\f（5,4),x∈[0，eq\f（5，2）]的图像可知，函数图像的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．对于函数h＝－x2＋2x＋eq\f（5，4）,x∈[0，eq\f(5,2)]，当x＝1时，函数有最大值hmax＝－12＋2×1＋eq\f(5，4）＝eq\f(9,4）.于是水流喷出的最高高度是eq\f（9，4)m。例3解方法一令y＝x2－x＋a，要使x2－x＋a〉0对任意x∈（0，＋∞）恒成立，只需ymin＝eq\f(4a－1,4）>0，解得a>eq\f（1，4）.∴实数a的取值范围是（eq\f(1,4),＋∞）．方法二x2－x＋a>0可化为a>－x2＋x.要使a>－x2＋x对任意x∈（0，＋∞)恒成立，只需a〉(－x2＋x)max,又(－x2＋x）max＝eq\f（1，4），∴a>eq\f(1，4).∴实数a的取值范围是(eq\f(1,4），＋∞）．引申探究解f(x）＝－x2＋x在(eq\f(1,2），＋∞)上为减函数，∴f(x)的值域为(－∞，eq\f（1，4))，要使a〉－x2＋x对任意x∈（eq\f(1，2）,＋∞）恒成立,只需a≥eq\f（1,4），∴a的取值范围是[eq\f（1,4)，＋∞)．跟踪训练3解∵x〉0，∴ax2＋x≤1可化为a≤eq\f（1，x2）－eq\f(1,x）。要使a≤eq\f(1，x2)－eq\f（1,x）对任意x∈(0,1]恒成立,只需a≤（eq\f(1,x2）－eq\f（1，x))min。设t＝e