2017学年高中数学学业分层测评25两角和与差的正弦（含解析）4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10学必求其心得，业必贵于专精PAGE学业分层测评(二十五）两角和与差的正弦(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.（2015·全国卷Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝(）A。－eq\f（\r（3),2） B.eq\f(\r（3）,2)C。－eq\f(1，2) D.eq\f(1,2)【解析】sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝eq\f(1，2）,故选D.【答案】D2.（2016·北京高一检测)在△ABC中,A＝eq\f（π,4），cosB＝eq\f(\r（10），10),则sinC等于(）A.eq\f(2\r(5）,5） B.－eq\f（2\r（5),5)C.eq\f(\r(5),5) D。－eq\f(\r(5),5)【解析】因为cosB＝eq\f(\r(10）,10)且0〈B<π，所以sinB＝eq\f（3\r(10），10）又A＝eq\f（π，4),所以sinC＝sin（A＋B)＝sineq\f(π,4)cosB＋coseq\f（π，4）sinB＝eq\f(\r(2),2）×eq\f（\r（10）,10）＋eq\f(\r（2),2)×eq\f(3\r（10)，10）＝eq\f(2\r(5),5）.【答案】A3.已知eq\f(π，4）＜β＜eq\f(π，2),sinβ＝eq\f(2\r（2），3)，则sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（β＋\f(π,3))）＝（)A.1 B。2C.eq\f(2\r(2)＋\r（3）,6) D。eq\f（2\r(2)－\r（3)，6）【解析】∵eq\f（π,4)＜β＜eq\f（π,2）,∴cosβ＝eq\r(1－sin2β）＝eq\r（1－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2\r（2）,3)）)2）＝eq\f（1,3),∴sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（β＋\f（π，3)）)＝eq\f(1，2）sinβ＋eq\f（\r(3），2)cosβ＝eq\f（1,2)×eq\f(2\r（2),3)＋eq\f（\r（3）,2）×eq\f（1,3)＝eq\f(2\r(2)＋\r(3)，6）。【答案】C4。(2016·温州高一检测）在△ABC中，若sinB＝2sinAcosC，那么△ABC一定是（）A。等腰直角三角形 B。等腰三角形C。直角三角形 D.等边三角形【解析】在△ABC中，因为sinB＝sin[π－(A＋C)］＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝2sinAcosC，所以sinAcosC－cosAsinC＝0，即sin(A－C)＝0，因为0＜A＜π，0＜C＜π，所以－π＜A－C＜π，所以A－C＝0，即A＝C,所以△ABC一定是等腰三角形，故选B.【答案】B5.已知sin(α＋β)＝eq\f（3，5），sin（α－β）＝－eq\f（2,3)，则eq\f(tanα,tanβ)＝（）【导学号：72010080】A。eq\f(1,15) B.eq\f(2,5）C。eq\f（1,19) D.－eq\f（1,19)【解析】由已知sin(α＋β)＝eq\f（3，5),sin（α－β)＝－eq\f(2，3）,得sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(3，5），sinαcosβ－cosαsinβ＝－eq\f(2，3），两式分别相加减得sinαcosβ＝－eq\f(1,30），cosαsinβ＝eq\f(19，30),所以eq\f(tanα,tanβ）＝eq\f(sinαcosβ,cosαsinβ）＝eq\f（－\f（1，30）,\f(19,30））＝－eq\f（1，19），故选D.【答案】D二、填空题6.求值:eq\f(sin10°－\r(3）cos10°,cos40°)＝________。【解析】eq\f（sin10°－\r(3）cos10°，cos40°）＝eq\f（2\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）sin10°－\f（\r（3)，2）cos10°）），cos40°）＝eq\f（2sin10°－60°，cos40°)＝eq\f（－2sin50°，cos40°)＝－2。【答案】－27。(2016·汕头高一检测）已知cosα＝eq\f(1,7）,cos(α＋β)＝－eq\f(11，14)，α，β∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0,\f（π，2)）),则β＝________.【解析】由题意得：sinα＝eq\f（4\r（3），7)，sin(α＋β)＝eq\f（5\r(3),14），所以cosβ＝cos[(α＋β)－α］＝cos(α＋β)cosα＋sin（α＋β)sinα＝－eq\f（11,14)×eq\f（1，7)＋eq\f（5\r(3),14)×eq\f（4\r（3），7）＝eq\f(1，2)，又β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2))），所以β＝eq\f（π，3)。【答案】eq\f(π，3)8。若8sinα＋5cosβ＝6,8cosα＋5sinβ＝10，则sin(α＋β）＝________.【解析】由8sinα＋5cosβ＝6,两边平方，得64sin2α＋80sinαcosβ＋25cos2β＝36。①由8cosα＋5sinβ＝10,两边平方，得64cos2α＋80cosαsinβ＋25sin2β＝100。②①＋②，得64＋25＋80(sinαcosβ＋cosαsinβ）＝136，∴sin（α＋β)＝eq\f(47，80)。【答案】eq\f(47,80）三、解答题9。已知:eq\f(π，6)＜α＜eq\f（π,2），且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（α－\f(π,6)）)＝eq\f（15，17)，求cosα，sinα的值。【解】因为eq\f（π,6)＜α＜eq\f（π,2）,所以0＜α－eq\f（π，6）＜eq\f(π，3）.因为coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(α－\f(π，6）)）＝eq\f（15,17），所以sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（α－\f（π，6)））＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α－\f（π，6)）)）＝eq\f(8,17)。所以sinα＝sineq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（α－\f（π，6）)）＋\f(π,6）)）＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f（π，6)）)coseq\f（π，6）＋coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6）)）sineq\f（π，6）＝eq\f（8\r（3）＋15，34)，cosα＝coseq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（α－\f（π，6)))＋\f(π,6))）＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(α－\f（π,6）)）coseq\f（π，6）－sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（α－\f（π,6)）)sineq\f（π，6)＝eq\f（15\r(3）－8,34)。10.(2016·普宁高一检测)已知eq\f(π，4)〈α<eq\f(3π,4)，0<β〈eq\f(π，4）,coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，4）＋α)）＝－eq\f（3，5)，sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3π，4）＋β）)＝eq\f(5，13）,求sin（α＋β）的值。【解】因为eq\f(π,4)<α<eq\f（3π，4），所以eq\f(π,2)<eq\f(π,4)＋α<π，所以sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,4)＋α)）＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，4)＋α）)）＝eq\f(4,5).又因为0<β〈eq\f（π,4)，eq\f(3π，4）〈eq\f（3π，4）＋β〈π，所以coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3π,4）＋β））＝－eq\r(1－sin2\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3π,4）＋β)））＝－eq\f（12,13),所以sin(α＋β）＝－sin（π＋α＋β)＝－sineq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,4）＋α)）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3π，4）＋β)））)＝－eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，4)＋α)）cos\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3π，4）＋β）)＋cos\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，4)＋α））sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3π,4）＋β))))＝－eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（4，5)×\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(12,13))）＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(3，5））)×\f（5，13）))＝eq\f(63，65）。［能力提升］1。已知f（x)＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，3)x＋\f（π,3））)－eq\r(3）coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，3）x＋\f(π，3)))，则f（1）＋f(2）＋…＋f（2016）的值为(）A。2eq\r(3） B.eq\r（3）C.1 D.0【解析】f（x)＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，3）x＋\f（π，3)）)－eq\r（3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，3)x＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，3)x＋\f(π，3)))－\f（π，3)）)＝2sineq\f(π，3)x，因为周期为6，且f（1)＋f（2)＋…＋f(6)＝0,所以f(1)＋f(2)＋…＋f（2016）＝0。【答案】D2。（2016·衡水高一检测)使函数f(x)＝sin（2x＋φ)＋eq\r(3)cos（2x＋φ）为奇函数,且在区间eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f（π,4）)）上为减函数的φ的一个值为(）A.eq\f(π,3) B。eq\f(5π，3)C。eq\f（2π,3） D。eq\f（4π，3）【解析】f(x）＝sin(2x＋φ)＋eq\r(3)cos(2x＋φ)＝2eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)sin2x＋φ＋\f(\r(3),2）cos2x＋φ))＝2eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(sin2x＋φcos\f(π，3)＋cos2x＋φsin\f（π，3)））＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋φ＋\f(π,3））)为奇函数，所以φ＋eq\f(π，3)＝kπ（k∈Z），所以φ＝kπ－eq\f(π，3）(k∈Z），排除A和D；因为f（x)＝2sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋φ＋\f(π,3)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（0，\f（π，4）））上为减函数,又2x＋φ＋eq\f(π,3）＝2x＋kπ∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（kπ，kπ＋\f（π，2）））k∈Z,所以k为奇数，故选C。【答案】C3.在△ABC中，若4sinA＋2cosB＝1,2sinB＋4cosA＝3eq\r(3），则sinC的值为________.【解析】由已知得(4sinA＋2cosB)2＋（2sinB＋4cosA)2＝28,即16＋4＋16(sinAcosB＋cosAsinB）＝28，∴20＋16sin（A＋B）＝28,∴sin（A＋B)＝eq\f(1,2），∴sinC＝sin[π－（A＋B）］＝sin(A＋B)＝eq\f(1,2）。【答案】eq\f（1,2）4.若函数f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx，0≤x＜eq\f（π，2）。(1