2017学年高中数学学业分层测评21向量数量积的运算律（含解析）4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE9学必求其心得，业必贵于专精PAGE学业分层测评（二十一）向量数量积的运算律（建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知|b｜＝3,a在b方向上的投影是eq\f(2，3），则a·b为()A。eq\f(1，3) B。eq\f(4，3）C。3 D。2【解析】由数量积的几何意义知a·b＝eq\f（2,3)×3＝2，故选D。【答案】D2.已知向量a，b满足｜a|＝1，|b｜＝3，且|2a＋b｜＝eq\r（7），则a与b的夹角θ为（)【导学号:72010065】A.eq\f（π,6) B。eq\f（2π，3)C.eq\f(π，3） D.eq\f(5π,6)【解析】∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7，∴a·b＝－eq\f（3,2),∴cosθ＝eq\f（a·b,|a||b｜)＝－eq\f(1,2）。又θ∈［0，π]，∴θ＝eq\f（2π,3）。【答案】B3。设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于（）A.－2 B.－1C.1 D。2【解析】因为｜e1|＝｜e2｜＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2）·（－3e1＋4e2)＝－9|e1｜2＋8｜e2｜2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1。故选B。【答案】B4.若向量a与b的夹角为60°，｜b|＝4，且(a＋2b）·(a－3b)＝－72，则a的模为()A.2 B.4C。6 D。12【解析】∵（a＋2b)·（a－3b）＝a2－a·b－6b2＝｜a｜2－｜a｜·｜b|cos60°－6｜b｜2＝｜a|2－2｜a｜－96＝－72，∴|a|2－2|a｜－24＝0，∴｜a|＝6.【答案】C5。已知向量a，b的夹角为120°,｜a｜＝|b｜＝1，c与a＋b同向，则｜a－c｜的最小值为()A。1 B.eq\f（1,2)C.eq\f(3，4） D.eq\f（\r(3),2）【解析】∵｜a｜＝｜b|＝1,c与a＋b同向，∴a与c的夹角为60°。又|a－c｜＝eq\r（a2－2a·c＋c2）＝eq\r（1－|c｜＋|c|2）＝eq\r（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(|c｜－\f(1，2)））2＋\f(3,4))，故｜a－c|的最小值取eq\f(\r（3）,2）.【答案】D二、填空题6.已知a⊥b,|a|＝2，｜b｜＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________。【解析】∵（3a＋2b）⊥（λa－b)，∴(λa－b)·(3a＋2b）＝0，∴3λa2＋(2λ－3）a·b－2b2＝0。又∵|a|＝2，｜b｜＝1，a⊥b，∴12λ＋（2λ－3)×2×1×cos90°－2＝0，∴12λ－2＝0，∴λ＝eq\f（1，6）。【答案】eq\f(1,6)7.已知|a｜＝|b｜＝｜c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0,其中a与b的夹角为60°,则实数m＝________.【解析】∵3a＋mb＋7c＝0,∴3a＋mb＝－7c,∴（3a＋mb)2＝（－7c)2，化简得9＋m2＋6ma·b＝49。又a·b＝|a｜|b|cos60°＝eq\f（1，2），∴m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.【答案】5或－8三、解答题8。已知|a|＝4，｜b｜＝2.(1）若a、b的夹角为120°,求|3a－4b|；（2)若|a＋b｜＝2eq\r（3）,求a与b的夹角θ。【解】（1）a·b＝|a|｜b｜cos120°＝4×2×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)))＝－4。又|3a－4b｜2＝（3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304,∴|3a－4b|＝4eq\r（19).（2)∵|a＋b｜2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2a·b＋22＝(2eq\r（3）)2，∴a·b＝－4，∴cosθ＝eq\f(a·b,｜a||b｜）＝eq\f（－4,4×2)＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π],∴θ＝eq\f(2π,3)。9。在△ABC中,eq\o(BC,\s\up13（→）)＝a，eq\o（CA，\s\up13（→））＝b，eq\o（AB，\s\up13(→)）＝c，且a·b＝b·c＝c·a,试判断△ABC的形状。【解】如图，a＋b＋c＝0。则a＋b＝－c，即（a＋b）2＝（－c）2，故a2＋2a·b＋b2＝c2.①同理，a2＋2a·c＋c2＝b2，②b2＋2b·c＋c2＝a2.③由①－②，得b2－c2＝c2－b2，即2b2＝2c2，故|b｜＝|c｜.同理,由①－③，得｜a|＝|c｜。故｜a|＝|b|＝｜c｜,故△ABC为等边三角形.[能力提升]1。(2016·玉溪高一检测)已知｜a|＝2｜b|≠0，且关于x的方程x2＋|a｜x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，6））） B。eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（π,3)，π)）C。eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(π,3)，\f（2,3)π)） D.eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（π,6)，π）)【解析】因为Δ＝a2－4｜a｜·｜b|cosθ（θ为向量a与b夹角）。若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b｜cosθ≥0，又|a|＝2|b|，∴4|b｜2－8｜b|2cosθ≥0，∴cosθ≤eq\f(1，2）,又0≤θ≤π,∴eq\f(π,3)≤θ≤π.【答案】B2。已知单位向量e1,e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角。【解】∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，∴e1·e2＝1×1×cos60°＝eq\f(1，2)。∵a·b＝（e1＋e2）·(e2－2e1）＝－2－e1·e2＋1＝－2－eq\f(1,2）＋1＝－eq\f（3,2），|a|＝eq\r(a2)＝eq\r（e1＋e22)＝eq\r（1＋2×\f(1，2)＋1)＝eq\r（3)，｜b｜＝eq\r(b2）＝eq\r（e2－2e12)＝eq\r（1＋4－4×\f(1,2)）＝eq\r(3),∴cosθ＝eq\f（a·b,|a｜｜b｜）＝－eq\f(3,2）×eq\f（1